Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)

Bài viết Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ.

Cách tính tích phân của hàm số chẵn, hàm số lẻ (cực hay)

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải

+ Định nghĩa hàm số chẵn, lẻ.

Cho hàm số y = f(x) xác định trên miền K. Với mọi x ∈ K và -x ∈ K:

    - Nếu f(-x) = -f(x) thì hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

    - Nếu f(x) = f(-x) thì hàm số y = f(x) hàm số chẵn.

+ Mệnh đề: Nếu hàm số y = f(x) là hàm số chẵn và liên tục trên đoạn [-a;a] thì:

+ Mệnh đề: Nếu hàm số y = f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên đoạn [-a;a] thì:

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tính

A. 1998.     B. 2019.     C. 0.     D. 4038.

Lời giải

Ta xét hàm số f(x) = x¹¹ + 8x⁹ – x xác định và liên tục trên R.

Ta có: f(-x) = (-x)¹¹ + 8.(-x)⁹ – (-x) = -x¹¹ - 8x⁹ + x

⇒ f(-x) = -f(x)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên:

Chọn C.

Ví dụ 2. Tính

A. 0.     B. 2 + 2√2.     C. 3.     D. 2 + √3.

Lời giải

Xét hàm số y = f(x) = sinx + tanx

Với mọi x ≠ π/2 + kπ ta có: -x ≠ π/2 + kπ

⇒ f(-x)= sin(-x)+ tan(-x)= -sinx - tanx

⇒ f(-x)= -f(x). Do đó, hàm số y = f(x) là hàm số lẻ trên tập xác định.

Chọn A.

Ví dụ 3. Tính

A. 3.     B. 4 + 10√2.     C. 2 - 10.cos1.     D. 0.

Lời giải

Ví dụ 4. Tính

Lời giải

Xét hàm số y = f(x) = cos³x xác định và liên tục trên R.

Ta có: f(-x) = cos³(-x) = cos³x (vì cos(-x) = cosx)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số chẵn.

Chọn B.

Ví dụ 5. Tính

Lời giải

Xét hàm số y = f(x) = sin¹¹x xác định và liên tục với mọi x.

Ta có: f(-x) = sin¹¹(-x) = -sin¹¹x (vì sin(-x) = -sinx)

⇒ f(-x) = -f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Ví dụ 6. Tính

A. 8.     B. 6.     C.10.     D. Tất cả sai.

Lời giải

Ví dụ 7. Tính

A. 10.     B. 0.     C. 20.     D. 30.

Lời giải

Ví dụ 8. Tính

A. 4.     B. 3.     C. 0.     D. Tất cả sai.

Lời giải

Xét hàm số: y = f(x) = sinx(x⁴ + 2x²) hàm số liên tục và xác định với mọi x.

Ta có: f(-x) = sin(-x).[(-x)⁴ + 2.(-x)²] = -sinx.(x⁴ + 2x²)

⇒ f(-x) = -f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Ví dụ 9. Tính

Lời giải

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Tính

A. 3009.     B. 6018.     C. 0.     D. 4038.

Lời giải:

Ta xét hàm số f(x) = -2x⁹ + 8x¹¹ + 3x xác định và liên tục trên R.

Ta có: f(-x) = -2(-x)⁹ + 8.(-x)¹¹ + 3(-x) = 2x⁹ - 8x¹¹ – 3x

⇒ f(-x) = -f(x)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ nên:

Câu 2: Tính

A. 404.     B. 0.     C. 1616.     D. 808.

Lời giải:

Câu 3: Tính

A. 0.     B. 2 + 2√2.     B. 3.     D. 2.

Lời giải:

Câu 4: Tính

A. e - e^-1.     B. 4 + e√2.     C. 2e – e^-1.     D. e + 1.

Lời giải:

Câu 5: Tính

Lời giải:

Câu 6: Tính

Lời giải:

Xét hàm số y = f(x) = 2tan³x.x² xác định với mọi x ≠ π/2 + kπ.

Ta có: f(-x) = 2tan³(-x).(-x)² = -2tan³x.x² (vì tan(-x)= -tanx và (-x)² = x²)

⇒ Hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

Câu 7: Tính

A. 1/√2.     B. √2.     C. 0.     D. Đáp án khác.

Lời giải:

Câu 8: Tính

Lời giải:

Câu 9: Tính

A. -4.     B. 0.     C. 4.     D. 8.

Lời giải:

Câu 10: Tính

A. 10.     B. 5.     C. 0.     D. Tất cả sai.

Lời giải:

Xét hàm số: y = f(x) = cosx.(x³ + x), hàm số liên tục và xác định với mọi x.

Ta có: f(-x) = cos(-x).[(-x)³ - x] = cosx.(-x³ - x) = -cosx(x³ + x)

⇒ f(-x) = -f(x) nên hàm số y = f(x) là hàm số lẻ.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho f(x) là hàm số lẻ và liên tục trên R. Biết $\underset{0}{\overset{2}{\int }}f\left(-x\right)dx=2;\underset{1}{\overset{2}{\int }}f\left(-2x\right)dx=4$. Tính tích phân I = $\underset{0}{\overset{4}{\int }}f\left(x\right)dx=2$.

Bài 2. Tính tích phân I = $\underset{\frac{-\pi }{2}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\frac{\sin x}{\sqrt{x^2+1}-x}dx$.

Bài 3. Tính tích phân I = $\underset{-2021}{\overset{2021}{\int }}\left(x^{11}+8x^9-x\right)dx$.

Bài 4. Tính tích phân I = $\underset{-\frac{\pi }{4}}{\overset{\frac{\pi }{4}}{\int }}{\cos }^{3}xdx$.

Bài 5. Tính tích phân I = $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}+10\sin x\right)dx$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Bài tập tính tích phân nâng cao
• Tính tích phân hàm lượng giác bằng phương pháp tích phân từng phần
• Tính tích phân hàm số mũ, logarit bằng phương pháp tích phân từng phần
• Hàm số dưới dấu tích phân là thương của hàm chẵn và hàm mũ
• Tích phân của hàm trị tuyệt đối
• Bài tập tích phân nâng cao
• Ứng dụng tích phân: Tính diện tích hình phẳng
• Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

---