Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay - Toán lớp 12

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay

A. Phương pháp giải

Quảng cáo

a) Thể tích vật thể

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x; a ≤ x ≤ b. Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Khi đó, thể tích của vật thể B được xác định:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

b) Thể tích khối tròn xoay

Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục hoành và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Chú ý:

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x = g(y), trục hoành và hai đường thẳng y = c; y = d quanh trục Oy:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

- Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x) và hai đường thẳng x = a; x = b quanh trục Ox:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Chú ý: Tính thể tích khối tròn xoay:

Trường hợp 1. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = 0; x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Trường hợp 2. Thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x); y = g(x); x = a và x = b (a < b) quay quanh trục Ox là:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Quảng cáo

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Thể tích vật thể tròn xoay khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 và trục hoành quanh trục Ox là:

A. 48π.     B. 36π.     C. 24π.     D. 6π.

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Ví dụ 2. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = cos2x; x = 0; x = π/4 và Ox. Tính thể tích khối tròn xoay quay xung quanh trục Ox.

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Ví dụ 3. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Ví dụ 4. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x2 + 1; y = 0; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Ví dụ 5. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = -x2 + x; y = 0 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Ví dụ 6. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Ví dụ 7. Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = tanx; y = 0; x = 0; x = π/4 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Lời giải

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Quảng cáo

C. Bài tập vận dụng

Câu 1: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 3x; y = x; x = 0; x = 1 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Câu 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = x√lnx; y = 0; x = e quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Câu 3: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 2x2; y2 = 4x quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Quảng cáo

Câu 4: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Câu 5: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12 quay xung quanh trục Ox. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành bằng:

Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12
Ứng dụng tích phân: Tính thể tích vật thể và khối tròn xoay | Toán lớp 12

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp

Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12