Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12



Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Bài toán liên quan

    Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Chú ý:

- Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

    Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1): f1(x), (C2):f2(x) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong đó: x1, xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x)=g(x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y=3-x2, đường thẳng y=-2x+3, trục tung và x=1.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3-x2=-2x+3 ⇔ x2-2x=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=-2x2 và y=-2x-4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của y=-2x2 và y=-2x-4 là:

-2x2=-2x-4 ⇔ -2x2+2x+4=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-3x và y=x

Hướng dẫn:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3-4x=0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2x-x2 và đường thẳng x+y=2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+x-1 và y=x4+x-1 là

x2+x-1=x4+x-1 ⇔ x2 (x2-1)=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: x2 (x2-1) ≤ 0 ∀x ∈ [-1;1]. Do đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3-x và y=x-x2.

Phương trình hoành độ giao điểm

x3-x=-x2+x ⇔ x=0; x=-2; x=1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cosx; Ox; Oy; x=π

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=cosx và trục Ox (y=0) là:

cosx=0 ⇔ x=π/2+kπ(k ∈ Z)

Xét trên [0;π] nên x=π/2.

Do đó

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex; y=1 và x=1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=ex và trục y=1 là:

ex=1 ⇔ x=0.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=(e+1)x ,y=(1+ex )x

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=(e+1)x và y=(1+ex)x là:

(e+1)x = (1+ex )xToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin2x,y=cosx và hai đường thẳng x=0 ,x=π/2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sin2x và y=cosx là:

sin2x=cosx ⇔ cosx.(2sinx-1)=0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét trên [0;π/2] nên nhận x=π/6

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y=√x và y=x2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm sốy=√xvà y=x2 là :

x2=√x ⇔ x=x4 ⇔ x4-x=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: x2-√x ≤ 0,∀x ∈ [0;1]. Do đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx; y=cosx; x=0; x=π

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sinx; y=cosx; x=0; x=π là:

sinx=cosx ⇔ tanx=1 ⇔ x=π/4+kπ,k ∈ Z

Vì x ∈ [0;π] nên x=π/4.

Ta có: sinx-cosx ≤ 0, ∀x ∈ [0;π/4]; sinx-cosx ≥ 0,∀x ∈ [π/4;π]

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x và đồ thị hàm số y=8/x là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác