Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng - Toán lớp 12



Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Bài toán liên quan

    Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Chú ý:

- Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

    Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1): f1(x), (C2):f2(x) là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Trong đó: x1, xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x)=g(x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y=3-x2, đường thẳng y=-2x+3, trục tung và x=1.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3-x2=-2x+3 ⇔ x2-2x=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=-2x2 và y=-2x-4.

Hướng dẫn:

Phương trình hoành độ giao điểm của y=-2x2 và y=-2x-4 là:

-2x2=-2x-4 ⇔ -2x2+2x+4=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-3x và y=x

Hướng dẫn:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3-4x=0 Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2x-x2 và đường thẳng x+y=2

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+x-1 và y=x4+x-1 là

x2+x-1=x4+x-1 ⇔ x2 (x2-1)=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: x2 (x2-1) ≤ 0 ∀x ∈ [-1;1]. Do đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3-x và y=x-x2.

Phương trình hoành độ giao điểm

x3-x=-x2+x ⇔ x=0; x=-2; x=1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cosx; Ox; Oy; x=π

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=cosx và trục Ox (y=0) là:

cosx=0 ⇔ x=π/2+kπ(k ∈ Z)

Xét trên [0;π] nên x=π/2.

Do đó

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex; y=1 và x=1

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=ex và trục y=1 là:

ex=1 ⇔ x=0.

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=(e+1)x ,y=(1+ex )x

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=(e+1)x và y=(1+ex)x là:

(e+1)x = (1+ex )xToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin2x,y=cosx và hai đường thẳng x=0 ,x=π/2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sin2x và y=cosx là:

sin2x=cosx ⇔ cosx.(2sinx-1)=0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét trên [0;π/2] nên nhận x=π/6

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y=√x và y=x2

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm sốy=√xvà y=x2 là :

x2=√x ⇔ x=x4 ⇔ x4-x=0Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: x2-√x ≤ 0,∀x ∈ [0;1]. Do đó:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx; y=cosx; x=0; x=π

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sinx; y=cosx; x=0; x=π là:

sinx=cosx ⇔ tanx=1 ⇔ x=π/4+kπ,k ∈ Z

Vì x ∈ [0;π] nên x=π/4.

Ta có: sinx-cosx ≤ 0, ∀x ∈ [0;π/4]; sinx-cosx ≥ 0,∀x ∈ [π/4;π]

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởiToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x và đồ thị hàm số y=8/x là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K


nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác