Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng (cực hay)
Bài viết Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng.
Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng (cực hay)
Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
A. Phương pháp giải & Ví dụ
1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b là:
2. Bài toán liên quan
Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:
Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:
Chú ý:
- Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:
- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối
Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định:
Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C1): f1(x), (C2):f2(x) là:
Trong đó: x1, xn tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x)=g(x)
Ví dụ minh họa
Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y=3-x2, đường thẳng y=-2x+3, trục tung và x=1.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm: 3-x2=-2x+3 ⇔ x2-2x=0
Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây:
Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=-2x2 và y=-2x-4.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của y=-2x2 và y=-2x-4 là:
-2x2=-2x-4 ⇔ -2x2+2x+4=0
Bài 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3-3x và y=x
Lời giải:
Ta có phương trình hoành độ giao điểm x3-4x=0
Diện tích
B. Bài tập vận dụng
Bài 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2x-x2 và đường thẳng x+y=2
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x2+x-1 và y=x4+x-1 là
x2+x-1=x4+x-1 ⇔ x2 (x2-1)=0
Ta có: x2 (x2-1) ≤ 0 ∀x ∈ [-1;1]. Do đó:
Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x3-x và y=x-x2.
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm
x3-x=-x2+x ⇔ x=0; x=-2; x=1
Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cosx; Ox; Oy; x=π
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=cosx và trục Ox (y=0) là:
cosx=0 ⇔ x=π/2+kπ(k ∈ Z)
Xét trên [0;π] nên x=π/2.
Do đó
Bài 4: Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=ex; y=1 và x=1
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=ex và trục y=1 là:
ex=1 ⇔ x=0.
Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=(e+1)x ,y=(1+ex )x
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=(e+1)x và y=(1+ex)x là:
(e+1)x = (1+ex )x
Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin2x,y=cosx và hai đường thẳng x=0 ,x=π/2
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sin2x và y=cosx là:
sin2x=cosx ⇔ cosx.(2sinx-1)=0
Xét trên [0;π/2] nên nhận x=π/6
Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y=√x và y=x2
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm sốy=√xvà y=x2 là :
x2=√x ⇔ x=x4 ⇔ x4-x=0
Ta có: x2-√x ≤ 0,∀x ∈ [0;1]. Do đó:
Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx; y=cosx; x=0; x=π
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sinx; y=cosx; x=0; x=π là:
sinx=cosx ⇔ tanx=1 ⇔ x=π/4+kπ,k ∈ Z
Vì x ∈ [0;π] nên x=π/4.
Ta có: sinx-cosx ≤ 0, ∀x ∈ [0;π/4]; sinx-cosx ≥ 0,∀x ∈ [π/4;π]
Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi
Lời giải:
Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường
Lời giải:
Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x và đồ thị hàm số y=8/x là
Diện tích hình phẳng cần tìm là:
C. Bài tập tự luyện
Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = cosx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và
Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = x3 – 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2.
Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = –x2 + 3x – 2 và trục hoành.
Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = 4 – x2, y = –x + 2x.
Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = lnx, y = –lnx và x = e.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:
- Dạng 6: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
- Trắc nghiệm tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
- Dạng 7: Tính tích phân từng phần
- Trắc nghiệm tính tích phân từng phần
- Dạng 8: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
- Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
- Dạng 9: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
- Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
- Dạng 10: Tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Trắc nghiệm tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
- Dạng 11: Tính tích phân hàm số hữu tỉ
- Trắc nghiệm tính tích phân hàm số hữu tỉ
- Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng
- Dạng 13: Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay
- Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12