Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng (cực hay)

---

---

Bài viết Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng.

Ứng dụng của tích phân Tính diện tích hình phẳng (cực hay)

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

1. Định lý: Cho hàm số y=f(x) liên tục, không âm trên [a;b]. Khi đó diện tích S của hình thang cong giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), trục hoành và 2 đường thẳng x=a, x=b là:

2. Bài toán liên quan

    Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x) liên tục trên đoạn [a;b], trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

    Bài toán 2: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y=f(x), y=g(x) liên tục trên đoạn [a;b] và hai đường thẳng x=a, x=b được xác định:

    Chú ý:

- Nếu trên đoạn [a;b], hàm số f(x) không đổi dấu thì:

- Nắm vững cách tính tích phân của hàm số có chứa giá trị tuyệt đối

    Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), x=h(y) và hai đường thẳng y=c, y=d được xác định:

    Bài toán 4: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi 2 đồ thị (C₁): f₁(x), (C₂):f₂(x) là:

Trong đó: x₁, x_n tương ứng là nghiệm nhỏ nhất của phương trình f(x)=g(x)

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi Parabol (P):y=3-x², đường thẳng y=-2x+3, trục tung và x=1.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3-x²=-2x+3 ⇔ x²-2x=0

Diện tích cần tìm được tính bằng công thức sau đây:

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=-2x² và y=-2x-4.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của y=-2x² và y=-2x-4 là:

-2x²=-2x-4 ⇔ -2x²+2x+4=0

Bài 3: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x³-3x và y=x

Lời giải:

Ta có phương trình hoành độ giao điểm x³-4x=0

Diện tích

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=2x-x² và đường thẳng x+y=2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=x²+x-1 và y=x⁴+x-1 là

x²+x-1=x⁴+x-1 ⇔ x² (x²-1)=0

Ta có: x² (x²-1) ≤ 0 ∀x ∈ [-1;1]. Do đó:

Bài 2: Tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường x³-x và y=x-x².

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm

x³-x=-x²+x ⇔ x=0; x=-2; x=1

Bài 3: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=cosx; Ox; Oy; x=π

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=cosx và trục Ox (y=0) là:

cosx=0 ⇔ x=π/2+kπ(k ∈ Z)

Xét trên [0;π] nên x=π/2.

Do đó

Bài 4: Tính Diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y=e^x; y=1 và x=1

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=e^x và trục y=1 là:

e^x=1 ⇔ x=0.

Bài 5: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=(e+1)x ,y=(1+e^x )x

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=(e+1)x và y=(1+e^x)x là:

(e+1)x = (1+e^x )x

Bài 6: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi các đường y=sin2x,y=cosx và hai đường thẳng x=0 ,x=π/2

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sin2x và y=cosx là:

sin2x=cosx ⇔ cosx.(2sinx-1)=0

Xét trên [0;π/2] nên nhận x=π/6

Bài 7: Tính diện tích hình phẳng được giới hạn bởi hai đường y=√x và y=x²

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm sốy=√xvà y=x² là :

x²=√x ⇔ x=x⁴ ⇔ x⁴-x=0

Ta có: x²-√x ≤ 0,∀x ∈ [0;1]. Do đó:

Bài 8: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi y=sinx; y=cosx; x=0; x=π

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số y=sinx; y=cosx; x=0; x=π là:

sinx=cosx ⇔ tanx=1 ⇔ x=π/4+kπ,k ∈ Z

Vì x ∈ [0;π] nên x=π/4.

Ta có: sinx-cosx ≤ 0, ∀x ∈ [0;π/4]; sinx-cosx ≥ 0,∀x ∈ [π/4;π]

Bài 9: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi

Lời giải:

Bài 10: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y=2x và đồ thị hàm số y=8/x là

Diện tích hình phẳng cần tìm là:

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Đồ thị hàm số y = cosx + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0 và $x=\frac{2\pi }{3}$

Bài 2. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = x³ – 1, trục hoành, trục tung và đường thẳng x = 2.

Bài 3. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = –x² + 3x – 2 và trục hoành.

Bài 4. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = 4 – x², y = –x + 2x.

Bài 5. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: đồ thị hàm số y = lnx, y = –lnx và x = e.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 6: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
• Trắc nghiệm tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
• Dạng 7: Tính tích phân từng phần
• Trắc nghiệm tính tích phân từng phần
• Dạng 8: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
• Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
• Dạng 9: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
• Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
• Dạng 10: Tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Trắc nghiệm tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Dạng 11: Tính tích phân hàm số hữu tỉ
• Trắc nghiệm tính tích phân hàm số hữu tỉ
• Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng
• Dạng 13: Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay
• Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay

---

---

---