Ứng dụng của tích phân Tính thể tích khối tròn xoay (cực hay)

---

---

Bài viết Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay.

Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay

Bài giảng: Ứng dụng của tích phân tính diện tích, tính thể tích - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x² ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường

y = (1-x²), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo.

Lời giải:

Giải phương trình √x = x ⇔ x ∈ {0;1}.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y=√x;y=x khi quay quanh trục Ox là

Bài 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4 là:

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x³, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=x³, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Bài 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x-x²; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của (H)

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra

Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y=lnx,y=0,x=e quay quanh trục Ox.

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: lnx=0 ⇔ x=1

Khi đó thể tích cần tìm là:

Bài 4: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong trục Ox và trục Oy. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox .

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm:

Suy ra

Bài 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=3x ;y=x ; x=1. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay (H).

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: 3x =x ⇔ x=0.

Suy ra:

Bài 6: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=x+1; y=6/x; x=1; x > 0. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

Lời giải:

Phương trình hoành độ giao điểm: x+1 =6/x ⇔ x²+x-6=0 ⇒ x=2.

Suy ra:

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4 là:

Bài 8: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=√tanx, y=0, x=0, x=π/4 xung quanh trục Ox là:

Bài 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e²x, y=0, x=0 và x=2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Lời giải:

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

Bài 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục x .

Lời giải:

Thể tích cần tìm là

C. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng (P) cho hình vuông ABCD có cạnh bằng 7 và hình tròn (C) có tâm A, dường kính bằng 14 như hình vẽ. Tính thể tích của vật thể tròn xoay được tạo thành khi quay mô hình trên quanh trục là đường thẳng AC.

Bài 2. Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường y = $x.e^{\frac{x}{2}}$, y = 0, x = 0, x = 1. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục x.

Bài 3. Tính thể tích khối tròn xoay thu được khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\sqrt{2-x}$; y = x xung quanh trục Ox.

Bài 4. Viết công thức tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b], trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b quay quanh Ox?

Bài 5. Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b]. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = 0, x = a, x = b quay quanh trục Ox có thể tích là V₁. Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = $\sqrt{2018}$f(x), y = 0, x = a, x = b quay quanh trục Ox có thể tích là V₂. Tìm biểu thức liên hệ giữa V₁ và V₂?

Bài 6. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y = $\sqrt{3x^2+2}$, trục hoành và các đường thẳng x = 0, x = 2. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành?

Bài 7. Cho hình phẳng H giới hạn bởi đường cong y = 2x + 1, y = 0, x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành?

Bài 8. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = $\sqrt{1-x^2}$ và trục hoành. Khối tròn xoay tạo thành khi quay H quanh trục hoành có thể tích bằng $\frac{a}{b}\pi$ với a, b là các số nguyên dương và $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản. Tính T = 2a + b.

Bài 9. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = $\sqrt{\sin x}$, y = 0, x = 0, $x=\frac{3\pi }{4}$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục hoành?

Bài 10. Cho hình phẳng H giới hạn bởi các đường y = sinx + cosx, y = 0, x = 0, x = $\frac{\pi }{2}$. Tính thể tích khối tròn xoay khi quay H quanh trục hoành?

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

• Dạng 6: Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
• Trắc nghiệm tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất
• Dạng 7: Tính tích phân từng phần
• Trắc nghiệm tính tích phân từng phần
• Dạng 8: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
• Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 1
• Dạng 9: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
• Trắc nghiệm tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số loại 2
• Dạng 10: Tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Trắc nghiệm tính tích phân hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối
• Dạng 11: Tính tích phân hàm số hữu tỉ
• Trắc nghiệm tính tích phân hàm số hữu tỉ
• Dạng 12: Ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng
• Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính diện tích hình phẳng
• Trắc nghiệm ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay

---

---

---