Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay - Toán lớp 12



Ứng dụng của tích phân: Tính thể tích khối tròn xoay

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Quảng cáo

Gọi B là phần vật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các điểm a và b; S(x) là diện tích thiết diện của vật thể bị cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm x, (a ≤ x ≤ b). Giả sử S(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a;b].

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), trục hoành và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường x=g(y), trục hoành và hai đường thẳng y=c, y=d quanh trục Oy:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=f(x), y=g(x) và hai đường thẳng x=a, x=b quanh trục Ox:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=(1-x2 ), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox.

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường

y = (1-x2), y=0, x=0 và x=2 khi quay quanh trục Ox là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Cho hình phẳng giới hạn bởi các đường y=√x; y=x quay quanh trục Ox. Tính thể tích khối tròn xoay tạo.

Hướng dẫn:

Giải phương trình √x = x ⇔ x ∈ {0;1}.

Thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi các đường y=√x;y=x khi quay quanh trục Ox là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=tanx; Ox; x=0; x=π/4 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra do quay hình phẳng giới hạn bởi các đường y=x3, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay được giới hạn bởi các đường y=x3, trục Ox, x=-1, x=1 một vòng quanh trục Ox là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường y=2x-x2; Ox. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của (H)

Phương trình hoành độ giao điểm:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính thể tích khối tròn xoay giới hạn bởi y=lnx,y=0,x=e quay quanh trục Ox.

Phương trình hoành độ giao điểm: lnx=0 ⇔ x=1

Khi đó thể tích cần tìm là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Cho hình phẳng (H) được giới hạn bởi đường cong Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án trục Ox và trục Oy. Tính thể tích của khối tròn xoay khi cho hình (H) quay quanh trục Ox .

Phương trình hoành độ giao điểm:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Suy ra

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Gọi (H) là hình phẳng giới hạn bởi các đường: y=3x ;y=x ; x=1. Quay (H) xung quanh trục Ox ta được khối tròn xoay. Tính thể tích của khối tròn xoay (H).

Phương trình hoành độ giao điểm: 3x =x ⇔ x=0.

Suy ra:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Cho hình (H) giới hạn bởi các đường y=x+1; y=6/x; x=1; x > 0. Quay hình (H) quanh trục Ox ta được khối tròn xoay có thể tích là bao nhiêu?

Phương trình hoành độ giao điểm: x+1 =6/x ⇔ x2+x-6=0 ⇒ x=2.

Suy ra:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Tính thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4

Thể tích khối tròn xoay được tạo bởi phép quay quanh trục Ox hình phẳng giới hạn bởi các đường y=1/cosx, x=0 và x=π/4 là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Tính thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án xung quanh trục Ox.

Thể tích V của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường

y=√tanx, y=0, x=0, x=π/4 xung quanh trục Ox là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi đồ thị hàm số y=e2x, y=0, x=0 và x=2. Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục Ox.

Thể tích khối tròn xoay tạo thành là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Quảng cáo

Bài 10: Cho hình phẳng (H) giới hạn bởi các đường Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Tính thể tích của khối tròn xoay được tạo thành khi quay (H) xung quanh trục x .

Thể tích cần tìm là

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12