Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất - Toán lớp 12



Tính tích phân bằng định nghĩa và tính chất

A. Phương pháp giải & Ví dụ

I. KHÁI NIỆM TÍCH PHÂN

1. Diện tích hình thang cong

    • Giới thiệu cho học sinh về cách tính diện tích của một hình thang cong

    • Từ đó suy ra công thức:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

2. Định nghĩa tích phân

    • Cho hàm f liên tục trên một khoảng K và a, b là hai số bất kỳ thuộc K. Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số: F(b) – F(a) được gọi là tích phân của f đi từ a đến b, ký hiệu là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Có nghĩa là: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    • Gọi F(x) là một nguyên hàm của f(x) và Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án thì:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    Trong đó:

    a: là cận trên, b là cận dưới

    f(x) gọi là hàm số dưới dấu tích phân

    dx: gọi là vi phân của đối số

    f(x)dx: Gọi là biểu thức dưới dấu tích phân

II. TÍNH CHẤT CỦA TÍCH PHÂN

    Giả sử cho hai hàm số f và g liên tục trên K, a, b, c là ba số bất kỳ thuộc K. Khi đó ta có:

    1) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    2) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (Gọi là tính chất đổi cận)

    3) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    4)

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

(Tích phân của một tổng hoặc hiệu hai tích phân bằng tổng hoặc hiệu hai tích phân).

    5) Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (Hằng số k trong dấu tích phân, có thể đưa ra ngoài dấu tích phân được)

Ngoài 5 tính chất trên, người ta còn chứng minh được một số tính chất như sau:

    6) Nếu f(x) ≥ 0∀x ∈ [a;b] thì:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

    7) Nếu: ∀x ∈ [a;b]: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (Bất đẳng thức trong tích phân)

    8) Nếu: ∀x ∈ [a;b] và với hai số M, N ta luôn có: M ≤ f(x) ≤ N. Thì:Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án (Tính chất giá trị trung bình của tích phân)

III. PHƯƠNG PHÁP GIẢI TOÁN

    Để tính tích phần từ a đến b, ta tiến hành tìm nguyên hàm dựa vào bảng nguyên hàm rồi sau đó thay cận vào theo công thức

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 2: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 3: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 4: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 5: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 6: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 7: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 8: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 9: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Bài 10: Tính tích phân

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án
Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 có trong đề thi THPT Quốc gia khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


nguyen-ham-tich-phan-va-ung-dung.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác