Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế lớp 12 (chi tiết nhất)

Bài viết Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế lớp 12 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế.

Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế lớp 12 (chi tiết nhất)

1. Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế

Ta có thể vận dụng các biểu thức liên quan đến tọa độ vectơ để giải các bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Ví dụ minh họa về Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế

Ví dụ 1. Trong không gian với một hệ trục tọa độ cho trước (đơn vị đo lấy theo km), ra đa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm A(900; 600; 8) đến điểm B(990; 660; 9) trong 20 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi C(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút bay tiếp theo. Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ và $\overrightarrow{\mathrm{BC}}$ cùng hướng. Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B gấp 2 lần thời gian bay từ B đến C nên AB = 2BC.

Do đó, $\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\left(\frac{990-900}{2};\frac{660-600}{2};\frac{9-8}{2}\right)=\left(45;30;\mathrm{0,5}\right)$.

Mặt khác, $\overrightarrow{BC}=\left(x-990;y-660;z-9\right)$ nên .

Vậy tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là (1 035; 690; 9,5).

Ví dụ 2. Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất nằm cách điểm xuất phát 3 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 1,5 km. Chiếc thứ hai nằm cách nằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc, 2,5 km về phía tây đồng thời cách mặt đất 1,8 km.

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz với gốc O đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất với trục Ox hướng về phía nam, trục Oy hướng về phía đông và trục Oz hướng thẳng đứng lên trên trời (hình vẽ), đơn vị đo lấy theo km.

a) Tìm tọa độ của mỗi chiếc khinh khí cầu đối với hệ trục tọa độ đã chọn.

b) Xác định khoảng cách giữa hai khinh khí cầu (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của km).

Hướng dẫn giải

a) Chiếc khinh khí cầu thứ nhất và thứ hai có tọa độ lần lượt là (3;1; 1,5) và (–1; –2,5; 1,8).

b) Khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là:

$\sqrt{{\left(3+1\right)}^2+{\left(1+\mathrm{2,5}\right)}^2+{\left(\mathrm{1,5}-\mathrm{1,8}\right)}^2}\approx \mathrm{5,3}\left(km\right)$

Vậy khoảng cách giữa hai khinh khí cầu là khoảng 5,3 km.

3. Bài tập tự luyện về Vận dụng tọa độ của vectơ để giải bài toán thực tế

Bài 1. Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trên trời (hình vẽ). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo km. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 40 km. Hỏi ra đa có thể phát hiện được một chiếc tàu ngầm có tọa độ là (30; 10; –25) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích.

Bài 2. Trong phòng treo hai bóng đèn. Bóng đèn thứ nhất cách mặt đất 2,5 m, cách mỗi bức tường 1,5 m. Bóng đèn thứ hai cách mặt đất 3 m và cách mỗi bức tường 2 m.

a) Hãy lập một hệ tọa độ phù hợp trong không gian và tìm tọa độ vị trí của mỗi bóng đèn trong hệ tọa độ đó.

b) Tính khoảng cách giữa hai bóng đèn.

Bài 3. Một chiếc đèn chùm có trọng lượng 200 N được treo bởi bốn sợi xích SA, SB, SC, SD sao cho S.ABCD là hình chóp tứ giác đều có $\mathrm{SA}=100\sqrt{2}\mathrm{cm},\widehat{\mathrm{ASC}}={90}^o$. Cho biết trọng lực của đèn được phân bố đều lên bốn sợi xích. Gọi $\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{F_3};\overrightarrow{F_4}$ là lực tác dụng của các sợi xích lên móc treo S. Với hệ tọa độ Oxyz như hình vẽ, hãy tìm tọa độ các lực $\overrightarrow{F_1};\overrightarrow{F_2};\overrightarrow{F_3};\overrightarrow{F_4}$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 sách mới hay, chi tiết khác:

• Tìm tọa độ trọng tâm tam giác trong không gian

• Sử dụng phương sai, độ lệch chuẩn đo độ rủi ro

• Hình thang cong là gì

• Diện tích hình thang cong

• Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ pháp tuyến

• Lập phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và biết vectơ chỉ phương

---