Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và đi qua 2 điểm A, B

Phương pháp giải

Viết phương trình đường thẳng d về dạng tham số:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tâm I thuộc đường thẳng d nên I (x0+at; y0+bt; z0+ct)

Mặt cầu đi qua 2 điểm A, B cho trước nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒ Tìm được t

⇒ Tọa độ tâm và bán kính ⇒ Phương trình mặt cầu

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho các điểm A (1; 3; 1); B(3; 2; 2). Viết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc trục Oz

Hướng dẫn:

Do tâm I thuộc trục Oz nên I (0; 0; z)

IA2 =12 +32 +(z-1)2

IB2=32 +22+(z-2)2

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒ 12 +32 +(z-1)2=32 +22+(z-2)2

⇔ 2z=6 ⇔ z=3

⇒ I (0; 0; 3); R2 =IA2 =14

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

x2 +y2 +(z-3)2 =14

Bài 2: Cho các điểm A (0; 1; 3) và B (2; 2; 1) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu đi qua hai điểm A, B và tâm thuộc đường thẳng d

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình tham số của Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1+2t; 2 – t; 3 – 2t)

Ta có: IA2= (1+2t)2+(2-t-1)2+(3-2t-3)2=9t2+2t+2

IB2= (1+2t-2)2 +(2-t-2)2 +(3-2t-1)2= 9t2 -4t+5

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒9t2+ 2t +2= 9t2 -4t+5

⇔ t=1/2

⇒ I(2; 3/2;2); R2= IA2=21/4

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là

(x-2)2 +(y-3/2)2 +(z-2)2 =21/4

Bài 3: Cho các điểm A (-2; 4; 1) và B (2; 0; 3) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánGọi (S) là mặt cầu đi qua A, B và có tâm thuộc đường thẳng d. Tính bán kính mặt cầu (S)

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Phương trình tham số của Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm của mặt cầu, do I thuộc d nên I (1 + 2t; -2 – t; 3 – 2t)

Ta có: IA2=(1+2t+2)2 +(-2-t-4)2 +(3-2t-1)2 =9t2 +16t +49

IB2=(1+2t-22 +(-2-t)2 +(3-2t-3)2 =9t2 +8t +5

Do mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên IA = IB

⇒ IA2= IB2

⇒ 9t2+16t+49= 9t2 +8t+5

⇔ t=(-11)/2

⇒ R2 =IA2=933/4 ⇒ R=√(933)/2

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác