Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và cắt đường thẳng - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng d và cắt đường thẳng

Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l và tâm I cách đường thẳng Δ một khoảng là h.

Phương pháp giải

Gọi M (a; b; c) thuộc Δ, u là một vecto chỉ phương

Khi đó, khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ được tính theo công thức:

h=d(I;(d))=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ Tìm được t ⇒ tọa độ điểm I

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R2=(l/2)2 +h2

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án, t∈R và Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ,t' ∈ R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈∆1, biết Δ2 cắt mặt cầu theo dây cung có độ dài là 8 và I cách Δ2 một khoảng bằng 3

Hướng dẫn:

Tâm I ∈Δ1 nên I(1;-t; -2+t)

Gọi R là bán kính của mặt cầu

⇒ R2 =(l/2)2 +h2 =(8/2)2 +32=25

Ta có: M (3; -2; 0) ∈Δ2, một Vecto chỉ phương của Δ2u=(0;1;1)

IM =(2; -2+t;2-t)

⇒ [IM ; u ]=(t-4;-2;2)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ2 là:

d(I; Δ2 )Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=3 ⇔ t2 -8t +24 =18

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=4 +√10 thì I(1; -4 -√10;2 +√10)

Với t=4 -√10 thì I(1; -4 +√10;2 -√10)

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y+4 +√10)2 +(z-2-√10)2=25

(x-1)2 +(y+4 -√10)2 +(z-2+√10)2=25

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho 2 đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án , t∈R và Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án , t'∈R. Lập phương trình mặt cầu (S) có tâm I ∈Δ1 và I cách Δ2 một khoảng bằng 3, cho biết mặt phẳng (P): 2x + 2y – 7z = 0 cắt mặt cầu (S) theo một đường tròn giao tuyến có bán kính r = 5.

Hướng dẫn:

Tâm I thuộc Δ1 nên I (t; -t; 0)

Điểm M (5; -2; 0) thuộc Δ2 và một vecto chỉ phương là u=(-2;0;1)

IM=(5-t; -2+t;0)

⇒ [IM ; u ]=(t-2;t-5;2t-4)

Khi đó, khoảng cách từ I đến Δ2 là:

d(I; Δ2 )Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=3 ⇔ 6t2 -30t+45=45

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Điểm I1(0;0;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

x2 +y2 +z2=25

+ Điểm I2 (5; -5;0) thuộc mặt phẳng (P) nên bán kính của đường tròn giao tuyến là bán kính của mặt cầu.

Phương trình mặt cầu là:

(x-5)2 +(y+5)2 +z2=25

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác