Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia. Xem ngay!

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng

Dạng bài: Mặt cầu có tâm thuộc d, tiếp xúc với mặt phẳng (P) và thỏa mãn một điều kiện cho trước

Phương pháp giải

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Điều kiện cho trước:

1) Mặt cầu đi qua A cho trước:

Do mặt cầu đi qua A cho trước và tiếp xúc với (P) nên IA = d(I;(P))=R

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I và bán kính R

2) Biết bán kính R của mặt cầu

Khi đó d(I;(P))=R

⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I

3) 2 mặt phẳng cùng tiếp xúc với mặt cầu

Khi đó, cho khoảng cách từ tâm đến các mặt phẳng bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho điểm A (1; 3; 2), đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà mặt phẳng (P): 2x – 2y +z – 6 = 0. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với (P) là:

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t)

Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=IA=R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 65t2 +110t-175=0

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2=16

(x+(83/13))2 +(y -(87/13))2 +(z -(70/13))2=13456/169

Bài 2: Cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB/6 có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)

Hướng dẫn:

AB=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB |=2√3

Gọi R là bán kính của mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có:

R=AB/6= √3/3

Đường thẳng AB đi qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương

AB=(-2;2;-2) có phương trình là: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Tâm I thuộc đường thẳng AB nên I(1-2t; -2+2t;3-2t)

Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án⇔ |-2t+6|=1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)

Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4)

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :

(x+4)2 +(y-3)2 +(z+2)2=1/3

(x+6)2 +(y-5)2 +(z+4)2=1/3

Bài 3: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là?

Hướng dẫn:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

d(I;(Q))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ |8t+9|=|9t+9|Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t=0 thì I(1;2;3);R=3

Với t=-18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R=3/17

Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:

(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2=9

(x+(19/17))2 +(y-(16/17))2 +(z-(15/17))2=9/289

Bài 4: Cho đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A (1; -1; 1)

Hướng dẫn:

Phương trình tham số của đường thẳng d là: Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t)

Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:

d(I;(P))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

IA2 =(1+3t-1)2 +(-1+t+1)2 +(t-1)2 =11t2 -2t +1

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ (5t+3)2 =11t2 -2t +1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1

Với t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R= IA =5929/1369

Theo bài ra, cần viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất nên viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1

(x-1)2 +(y+1)2 +z2=1

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 99K


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác