Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng
Bài viết Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng.
Viết phương trình mặt cầu có tâm thuộc đường thẳng và tiếp xúc với mặt phẳng
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Phương pháp giải
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:
d(I;(P))=
+ Điều kiện cho trước:
1) Mặt cầu đi qua A cho trước:
Do mặt cầu đi qua A cho trước và tiếp xúc với (P) nên IA = d(I;(P))=R
⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I và bán kính R
2) Biết bán kính R của mặt cầu
Khi đó d(I;(P))=R
⇒ Tìm được t ⇒ Tọa độ tâm I
3) 2 mặt phẳng cùng tiếp xúc với mặt cầu
Khi đó, cho khoảng cách từ tâm đến các mặt phẳng bằng nhau và cùng bằng bán kính mặt cầu.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho điểm A (1; 3; 2), đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x – 2y +z – 6 = 0. Phương trình mặt cầu (S) đi qua A, có tâm thuộc d, đồng thời tiếp xúc với (P) là:
Lời giải:
Phương trình đường thẳng
Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc d nên I (-1+2t; 4 – t; -2t)
Khoảng cách từ I đến mặt phẳng (P) là:
d(I;(P))
IA
Do mặt cầu đi qua A và tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=IA=R
⇔ 65t2 +110t-175=0
Khi đó, phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x-1)2 +(y-3)2 +(z+2)2=16
(x+(83/13))2 +(y -(87/13))2 +(z -(70/13))2=13456/169
Bài 2: Cho hai điểm A(1; -2; 3), B(-1; 0; 1) và mặt phẳng (P): x + y + z + 4 =0. Viết phương trình mặt cầu (S) có bán kính AB/6 có tâm thuộc đường thẳng AB và (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P)
Lời giải:
AB→=(-2;2;-2) ⇒ AB=|AB→ |=2√3
Gọi R là bán kính của mặt cầu (S). Theo giả thiết ta có:
R=AB/6= √3/3
Đường thẳng AB đi qua A (1; -2; 3) và có một vecto chỉ phương
AB→=(-2;2;-2) có phương trình là:
Tâm I thuộc đường thẳng AB nên I(1-2t; -2+2t;3-2t)
Khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) là:
d(I;(P))
Do mặt cầu tiếp xúc với (P) nên d(I;(P))=R
⇔ |-2t+6|=1
Với t=5/2 thì I ( -4; 3; -2)
Với t=7/2 thì I ( -6; 5; -4)
Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn là :
(x+4)2 +(y-3)2 +(z+2)2=1/3
(x+6)2 +(y-5)2 +(z+4)2=1/3
Bài 3: Cho đường thẳng và hai mặt phẳng (P): x + 2y + 2z – 2 = 0 và (Q): 2x + y + 2z – 1 = 0. Mặt cầu có tâm I nằm trên d và tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình là?
Lời giải:
d(I;(P))
d(I;(Q))
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với 2 mặt phẳng (P) và (Q) nên
⇔ |8t+9|=|9t+9|
Với t=0 thì I(1;2;3);R=3
Với t=-18/17 thì I(-19/17; 16/17; 15/17); R=3/17
Vậy có 2 phương trình mặt cầu thỏa mãn đề bài là:
(x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2=9
(x+(19/17))2 +(y-(16/17))2 +(z-(15/17))2=9/289
Bài 4: Cho đường thẳng và mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm nằm trên đường thẳng d có bán kính nhỏ nhất tiếp xúc với (P) và đi qua điểm A (1; -1; 1)
Lời giải:
Phương trình tham số của đường thẳng d là:
Gọi I là tâm mặt cầu, do I thuộc đường thẳng d nên I(1+3t; -1+t;t)
Khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (P) là:
d(I;(P))
IA2 =(1+3t-1)2 +(-1+t+1)2 +(t-1)2 =11t2 -2t +1
Do mặt cầu tiếp xúc với (P) và đi qua A nên d(I;(P))=IA
⇔ (5t+3)2 =11t2 -2t +1
Với t = 0, ta có I (1; -1; 0), R = IA = 1
Với t=24/37, ta có I(109/37; (-13)/37; 24/37); R= IA =5929/1369
Theo bài ra, cần viết phương trình mặt cầu có bán kính nhỏ nhất nên viết phương trình mặt cầu có tâm I (1; -1; 0), R = 1
(x-1)2 +(y+1)2 +z2=1
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12