Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l cho trước

Phương pháp giải

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Độ dài dây cung l=AB

+ Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là:

d=d(I;(Δ))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

trong đó M là điểm thuộc Δ, u là VTCP của ∆

+ Gọi R là bán kính của mặt cầu

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

tại 2 điểm A, B với AB = 16

Hướng dẫn:

Chọn M (-1; 1; 0) ∈ Δ

IM=(3;2; 1)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; -4;1)

Ta có: [IM ; u ]=(2;4;14)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

Ta có:

RToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 2√(19)

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x-2)2+(y-3)2+(z+1)2=76

Bài 2: Cho điểm I (0; 0; 3) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông

Hướng dẫn:

Điểm M (-1; 0; 2) ∈d

IM=(-1;0; -1)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(2;0;-2)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Do tam giác IAB cân tại I nên IAB sẽ vuông cân tại I có IA=R

⇒ AB= R√2

Ta có:

RToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ R2=8/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

x2 +y2+ (z-3)2=8/3

Bài 3: Cho điểm I (1; 0; 0) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều:

Hướng dẫn:

Điểm M (1; 1; -2) ∈d

IM=(0;1; -2)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(5;-2;-1)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tam giác IAB đều cạnh R

⇒ AB=R

Ta có:

RToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ R2 =20/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +y2 +z2=20/3

Bài 4: Cho điểm I (1; 1; -2) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại 2 điểm A, B sao cho IABˆ=300

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là chân đường vuông góc của I trên AB

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có:

IH=AI.sin⁡(IABˆ)=R.sin⁡(300)=R/2

Điểm M (-1; 3; 2) ∈d

IM=(-2;2; 4)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(-6;6;-6)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: IH = d(I,Δ)

⇒ R/2=3√2 ⇒ R=6√2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2=72

Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; 6; -4) và cắt trục Oz tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6√5

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng Oz là : Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Điểm O(0; 0; 0) thuộc Oz ⇒ OI=(3;6; -4)

Một vecto chỉ phương của Oz là u= (0; 0; 1)

⇒ [OI ; u ]=(6; -3;0)

Khoảng cách từ I đến trục Oz là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: SIAB=1/2 IH .AB=1/2 .3√5 .AB=6√5 ⇒ AB=4

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án+d2=22+45=49

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-3)2 +(y-6)2 +(z+4)2=49

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác