Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu tâm I cắt đường thẳng theo dây cung có độ dài l

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu biết I (a; b; c) và mặt cầu cắt đường thẳng Δ theo một dây cung có độ dài l cho trước

Phương pháp giải

Quảng cáo

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Độ dài dây cung l=AB

+ Khoảng cách từ I đến đường thẳng Δ là:

d=d(I;(Δ))Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

trong đó M là điểm thuộc Δ, u là VTCP của ∆

+ Gọi R là bán kính của mặt cầu

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ví dụ minh họa

Bài 1: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) và cắt đường thẳng

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

tại 2 điểm A, B với AB = 16

Hướng dẫn:

Chọn M (-1; 1; 0) ∈ Δ

IM=(3;2; 1)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; -4;1)

Ta có: [IM ; u ]=(2;4;14)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 2√3

Gọi R là bán kính mặt cầu

Ta có:

RToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 2√(19)

Vậy phương trình mặt cầu là:

(x-2)2+(y-3)2+(z+1)2=76

Bài 2: Cho điểm I (0; 0; 3) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB vuông

Hướng dẫn:

Điểm M (-1; 0; 2) ∈d

IM=(-1;0; -1)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(2;0;-2)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Do tam giác IAB cân tại I nên IAB sẽ vuông cân tại I có IA=R

⇒ AB= R√2

Ta có:

RToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ R2=8/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

x2 +y2+ (z-3)2=8/3

Bài 3: Cho điểm I (1; 0; 0) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại hai điểm A, B sao cho tam giác IAB đều:

Hướng dẫn:

Điểm M (1; 1; -2) ∈d

IM=(0;1; -2)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(5;-2;-1)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

+ Tam giác IAB đều cạnh R

⇒ AB=R

Ta có:

RToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ R2 =20/3

Phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +y2 +z2=20/3

Bài 4: Cho điểm I (1; 1; -2) và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt cầu (S) có tâm I và cắt đường thẳng d tại 2 điểm A, B sao cho IABˆ=300

Hướng dẫn:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Gọi H là chân đường vuông góc của I trên AB

Xét tam giác AHI vuông tại H, AI = R có:

IH=AI.sin⁡(IABˆ)=R.sin⁡(300)=R/2

Điểm M (-1; 3; 2) ∈d

IM=(-2;2; 4)

Đường thẳng Δ có một vecto chỉ phương là u=(1; 2;1)

Ta có: [IM ; u ]=(-6;6;-6)

⇒ d(I,Δ)Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: IH = d(I,Δ)

⇒ R/2=3√2 ⇒ R=6√2

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-1)2 +(y-1)2 +(z+2)2=72

Bài 5: Viết phương trình mặt cầu có tâm I (3; 6; -4) và cắt trục Oz tại 2 điểm A, B sao cho diện tích tam giác IAB bằng 6√5

Hướng dẫn:

Phương trình đường thẳng Oz là : Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Điểm O(0; 0; 0) thuộc Oz ⇒ OI=(3;6; -4)

Một vecto chỉ phương của Oz là u= (0; 0; 1)

⇒ [OI ; u ]=(6; -3;0)

Khoảng cách từ I đến trục Oz là:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Ta có: SIAB=1/2 IH .AB=1/2 .3√5 .AB=6√5 ⇒ AB=4

Gọi R là bán kính mặt cầu

⇒ R2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án+d2=22+45=49

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-3)2 +(y-6)2 +(z+4)2=49

Quảng cáo

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác