Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P - Bài tập đầy đủ các dạng có đáp án



Chuyên đề: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 tại điểm M (x0; y0; z0) thuộc (P) cho trước

Phương pháp giải

Gọi I (a; b; c) ⇒ IM=(x0 - a ; y0 - b ; z0 - c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(A;B;C)

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm MToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k

⇒ I; R

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM=1

Hướng dẫn:

Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0)

Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5

⇒ M (1; -5;0)

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

IM=(1-a; -5-b; -c)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n=(2;1;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM vuông góc với mặt phẳng (Q)

IM= k nToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

⇒ a-2b+c-1=0

⇔ 1-2k+2(5+k)+k-1=0

⇔ k=-10

Với k=-10 thì I (21; 5; -10)

Bán kính của mặt cầu là R=|IM |=|k n |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 10√6

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A (1; -1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q)

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu

IA=(1-a; -1-b; 1-c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(2;3;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại điểm A nên IA vuông góc với mặt phẳng (P)

IA= k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có I thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có:

2a-b-c+2=0

⇔ 2(1-2k)+(1+3k)-1-k+2=0

⇔ k=2

Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu: R=|IA |=|k n |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2=56

Bài 3: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.

Hướng dẫn:

Gọi H (a; b; c).

AH=(a-2;b-5;c-1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(6;3;-2)

Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) nên AH vuông góc với mặt phẳng (P).

AH =k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0

⇔ 6(6k+2)+3(3k+5)-2(-2k+1)+24=0

⇔ k=-1

⇒ H(-4;2;3)

Gọi R là bán kính mặt cầu.

Mặt cầu (S) có diện tích là 784π

⇒ 4πR2 =784π ⇒ R=14

Gọi I (m, n, p) là tâm mặt cầu

IH=(-4-m;2-n;3-p)

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên ta cóToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét (*): |t n |=R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=14 ⇔ |t|=2 ⇔ t= ±2

Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)

Khi đó:

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=21>R

⇒ A nằm ngoài mặt cầu.

Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)

Khi đó

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 7<R

⇒ A nằm trong mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2=196

Bài 4: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(- 2;0;1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1)

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu.

IM=(-2-a; -b;1-c)

Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n=(0 ;1 ;0)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại M nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giải (1) :

IM= k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu đi qua A(2; 2;1) nên IA = R

Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k +20

Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2

⇒ k=-5

Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x+2)2 +(y-5)2 +(z-1)2=25

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác