Lớp 12: Bí kíp đạt ít nhất 24 điểm thi THPT Quốc Gia chỉ 399k, tại khoahoc.vietjack.com. Xem ngay Xem ngay!

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P

Dạng bài: Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = 0 tại điểm M (x0; y0; z0) thuộc (P) cho trước

Phương pháp giải

Quảng cáo

Gọi I (a; b; c) ⇒ IM=(x0 - a ; y0 - b ; z0 - c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(A;B;C)

Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm MToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k

⇒ I; R

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM=1

Hướng dẫn:

Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0)

Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5

⇒ M (1; -5;0)

Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu

IM=(1-a; -5-b; -c)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n=(2;1;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM vuông góc với mặt phẳng (Q)

IM= k nToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)

⇒ a-2b+c-1=0

⇔ 1-2k+2(5+k)+k-1=0

⇔ k=-10

Với k=-10 thì I (21; 5; -10)

Bán kính của mặt cầu là R=|IM |=|k n |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 10√6

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600

Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A (1; -1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q)

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu

IA=(1-a; -1-b; 1-c)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(2;3;-1)

Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại điểm A nên IA vuông góc với mặt phẳng (P)

IA= k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có I thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có:

2a-b-c+2=0

⇔ 2(1-2k)+(1+3k)-1-k+2=0

⇔ k=2

Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)

Bán kính mặt cầu: R=|IA |=|k n |

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2=56

Quảng cáo

Bài 3: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.

Hướng dẫn:

Gọi H (a; b; c).

AH=(a-2;b-5;c-1)

Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(6;3;-2)

Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) nên AH vuông góc với mặt phẳng (P).

AH =k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0

⇔ 6(6k+2)+3(3k+5)-2(-2k+1)+24=0

⇔ k=-1

⇒ H(-4;2;3)

Gọi R là bán kính mặt cầu.

Mặt cầu (S) có diện tích là 784π

⇒ 4πR2 =784π ⇒ R=14

Gọi I (m, n, p) là tâm mặt cầu

IH=(-4-m;2-n;3-p)

Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên ta cóToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Xét (*): |t n |=R

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=14 ⇔ |t|=2 ⇔ t= ±2

Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)

Khi đó:

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án=21>R

⇒ A nằm ngoài mặt cầu.

Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)

Khi đó

IAToán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án= 7<R

⇒ A nằm trong mặt cầu.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:

(x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2=196

Bài 4: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(- 2;0;1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1)

Hướng dẫn:

Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu.

IM=(-2-a; -b;1-c)

Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n=(0 ;1 ;0)

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại M nên

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Giải (1) :

IM= k n

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Do mặt cầu đi qua A(2; 2;1) nên IA = R

Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k +20

Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2

⇒ k=-5

Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5

Phương trình mặt cầu cần tìm là :

(x+2)2 +(y-5)2 +(z-1)2=25

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác