Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P
Bài viết Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P.
Viết phương trình mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng P
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Phương pháp giải
Gọi I (a; b; c) ⇒ IM→=(x0 - a ; y0 - b ; z0 - c)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(A;B;C)
Mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm M
Sử dụng các điều kiện cho trước để tìm k
⇒ I; R
Ví dụ minh họa
Bài 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) có phương trình (P): x – 2y + z – 1 = 0 và (Q): 2x + y – z + 3 = 0. Viết phương trình mặt cầu có tâm nằm trên mặt phẳng (P) và tiếp xúc với mặt phẳng (Q) tại điểm M, biết rằng M thuộc mặt phẳng (Oxy) và có hoành độ xM=1
Lời giải:
Điểm M thuộc mặt phẳng Oxy và có hoành độ xM=1 nên M (1; y0; 0)
Mặt khác M thuộc mặt phẳng Q nên 2. 1 + y0 + 3 = 0 ⇒ y0 =-5
⇒ M (1; -5;0)
Gọi I (a; b; c) là tâm mặt cầu
⇒ IM→=(1-a; -5-b; -c)
Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n→=(2;1;-1)
Do mặt cầu tiếp xúc với (Q) tại điểm M nên IM→ vuông góc với mặt phẳng (Q)
⇒ IM→= k n→
Mặt khác I thuộc mặt phẳng (P) nên tọa độ của I thỏa mãn phương trình mặt phẳng (P)
⇒ a-2b+c-1=0
⇔ 1-2k+2(5+k)+k-1=0
⇔ k=-10
Với k=-10 thì I (21; 5; -10)
Bán kính của mặt cầu là R=|IM→ |=|k n→ |
= 10√6
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x-21)2 +(y-5)2 +(z+10)2 =600
Bài 2: Cho hai mặt phẳng (P): 2x + 3y - z + 2 = 0, (Q): 2x - y - z + 2 = 0. Viết phương trình mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại điểm A (1; -1; 1) và có tâm thuộc mặt phẳng (Q)
Lời giải:
Gọi I (a; b; c) là tâm của mặt cầu
⇒ IA→=(1-a; -1-b; 1-c)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(2;3;-1)
Do mặt cầu tiếp xúc với (P) tại điểm A nên IA→ vuông góc với mặt phẳng (P)
⇒ IA→= k n→
Lại có I thuộc mặt phẳng (Q) nên ta có:
2a-b-c+2=0
⇔ 2(1-2k)+(1+3k)-1-k+2=0
⇔ k=2
Với k = 2 thì I (-3; -7; 3)
Bán kính mặt cầu: R=|IA→ |=|k n→ |
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x+3)2 +(y+7)2 +(z-3)2=56
Bài 3: Cho điểm A(2; 5; 1) và mặt phẳng (P): 6x + 3y - 2z + 24 = 0, H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P). Viết phương trình mặt cầu (S) có diện tích 784π và tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H, sao cho điểm A nằm trong mặt cầu.
Lời giải:
Gọi H (a; b; c).
⇒ AH→=(a-2;b-5;c-1)
Mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(6;3;-2)
Do H là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng (P) nên AH→ vuông góc với mặt phẳng (P).
⇒ AH→ =k n→
Lại có H thuộc (P) nên 6a + 3b – 2c + 24 = 0
⇔ 6(6k+2)+3(3k+5)-2(-2k+1)+24=0
⇔ k=-1
⇒ H(-4;2;3)
Gọi R là bán kính mặt cầu.
Mặt cầu (S) có diện tích là 784π
⇒ 4πR2 =784π ⇒ R=14
Gọi I (m, n, p) là tâm mặt cầu
⇒ IH→=(-4-m;2-n;3-p)
Do mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng (P) tại H nên ta có
Xét (*): |t n→ |=R
=14 ⇔ |t|=2 ⇔ t= ±2
Với t = 2 ta có I (-16; -4; 7)
Khi đó:
IA=21>R
⇒ A nằm ngoài mặt cầu.
Với t = - 2 ta có I (8; 8; -1)
Khi đó
IA= 7<R
⇒ A nằm trong mặt cầu.
Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là:
(x-8)2 +(y-8)2 +(z+1)2=196
Bài 4: Viết phương trình của mặt cầu (S) biết (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ Oxz tại điểm M(- 2;0;1) và (S) đi qua điểm A(2;2;1)
Lời giải:
Gọi I (a; b; c) là tọa độ tâm của mặt cầu.
⇒ IM→=(-2-a; -b;1-c)
Mặt phẳng (Oxz) có vecto pháp tuyến n→=(0 ;1 ;0)
Do mặt cầu (S) tiếp xúc với mặt phẳng tọa độ (Oxz) tại M nên
Giải (1) :
IM→= k n→
Do mặt cầu đi qua A(2; 2;1) nên IA = R
Ta có : IA2 =42 +(k+2)2 =k2 +4k +20
Từ (2) ⇒ IA2 =R2 =k2 ⇒ k2 +4k +20 =k2
⇒ k=-5
Vậy I (-2 ; 5 ; 1) và R = 5
Phương trình mặt cầu cần tìm là :
(x+2)2 +(y-5)2 +(z-1)2=25
Bài giảng: Cách viết phương trình mặt cầu - dạng bài nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
Sách VietJack thi THPT quốc gia 2024 cho học sinh 2k6:
Săn SALE shopee Tết:
- Đồ dùng học tập giá rẻ
- Sữa dưỡng thể Vaseline chỉ hơn 40k/chai
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
- Soạn Văn 12
- Soạn Văn 12 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 12
- Giải bài tập Toán 12
- Giải BT Toán 12 nâng cao (250 bài)
- Bài tập trắc nghiệm Giải tích 12 (100 đề)
- Bài tập trắc nghiệm Hình học 12 (100 đề)
- Giải bài tập Vật lý 12
- Giải BT Vật Lí 12 nâng cao (360 bài)
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Vật Lý 12 (có đáp án)
- Bài tập trắc nghiệm Vật Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Lí (18 đề)
- Giải bài tập Hóa học 12
- Giải bài tập Hóa học 12 nâng cao
- Bài tập trắc nghiệm Hóa 12 (80 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Hóa (18 đề)
- Giải bài tập Sinh học 12
- Giải bài tập Sinh 12 (ngắn nhất)
- Chuyên đề Sinh học 12
- Đề kiểm tra Sinh 12 (có đáp án)(hay nhất)
- Ôn thi đại học môn Sinh (theo chuyên đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sinh (18 đề)
- Giải bài tập Địa Lí 12
- Giải bài tập Địa Lí 12 (ngắn nhất)
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 12
- Bài tập trắc nghiệm Địa Lí 12 (70 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Địa (20 đề)
- Giải bài tập Tiếng anh 12
- Giải bài tập Tiếng anh 12 thí điểm
- Giải bài tập Lịch sử 12
- Giải tập bản đồ Lịch sử 12
- Bài tập trắc nghiệm Lịch Sử 12
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn Sử (20 đề)
- Giải bài tập Tin học 12
- Giải bài tập GDCD 12
- Giải bài tập GDCD 12 (ngắn nhất)
- Bài tập trắc nghiệm GDCD 12 (37 đề)
- Luyện thi đại học trắc nghiệm môn GDCD (20 đề)
- Giải bài tập Công nghệ 12