Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng - Toán lớp 12

---

---

Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và song song với đường thẳng

Phương pháp giải

1. Tìm vecto chỉ phương của Δ, Δ' là u₁→; u₂→

2. Vecto pháp tuyến của mặt phẳng (α) là n_α →=[u₁→ , u₂→ ]

3. Lấy 1 điểm M trên đường thẳng Δ

4. Áp dụng cách viết phương trình mặt phẳng đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng và song song với đường thẳng

Hướng dẫn:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M (1; 1; 1) và có vecto chỉ phương u₁→(0; -2;1)

Đường thẳng d₂ đi qua điểm N (1; 0;1) có vecto chỉ phương u₂→(1;2;2)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(-6;1;2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

nên n→ cùng phương với [u₁→ , u₂→]

Chọn n→=(-6;1;2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 1; 1) và nhận vecto pháp tuyến n→=(-6;1;2) có phương trình là:

-6(x -1) +1(y -1) +2(z -1) =0

⇔ -6x +y +2z +3=0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là -6x +y +2z +3 =0.

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d và song song với d’

Hướng dẫn:

Đường thẳng d đi qua điểm M (1; 5; 4) và có vecto chỉ phương u₁→ (2; 0;-1)

Đường thẳng d’ đi qua điểm N (3; 6;0) có vecto chỉ phương u₂→ (1;1;-1)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(1;3;2)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

nên n→ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→ =(1;3;2)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; 5; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→ =(1;3;2) có phương trình là:

(x -1) +3(y -5) +2(z- 4) =0

⇔ x +3y +2z -20 =0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là x +3y +2z -20 =0.

Bài 3: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, Viết phương trình mặt phẳng chứa:và song song với

Hướng dẫn:

Đường thẳng d₁ đi qua điểm M (1; -2; 4) và có vecto chỉ phương u₁→(-2; 1;3)

Đường thẳng d₂đi qua điểm N (-1; 0;-2) có vecto chỉ phương u₂→(1;-1;3)

Ta có: [u₁→ , u₂→ ]=(6;9;1)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P) ta có:

nên n ⃗ cùng phương với [u₁→ , u₂→ ]

Chọn n→=(6;9;1)

Mặt phẳng (P) đi qua điểm M (1; -2; 4) và nhận vecto pháp tuyến n→=(6;9;1) có phương trình là:

6(x -1) +9(y +2) +(z -4) =0

⇔ 6x +9y +z +8 =0

Thay tọa độ điểm N vào phương trình mặt phẳng (P) thấy thỏa mãn.

Vậy không tồn tại mặt phẳng (P) thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho bốn điểm A(5; 1; 3), B(1; 6;2), C(5; 0; 4), D(4; 0; 6). Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và song song với đường thẳng CD có phương trình là:

Hướng dẫn:

AB→=(-4;5;-1); CD→=(-1;0;2)

⇒ [AB→ , CD→]=(10;9;5)

Gọi n→ là một vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do A, B thuộc mặt phẳng (P), mặt phẳng (P) song song với đường thẳng CD nên ta có: ⇒ n→ cùng phương với [AB→ , CD→ ]

Chọn n→=(10;9;5)

Vậy phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(10;9;5) và đi qua điểm A(5; 1; 3) là:

10(x -5) +9(y -1) +5(z -3) =0

⇔ 10x +9y +5z -74 =0

Thay tọa độ C, D vào phương trình thấy không thỏa mãn.

Vậy phương trình mặt phẳng cần tìm là

⇔ 10x +9y +5z -74 =0

---

---

---