Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc



Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Tìm Vecto pháp tuyến của (Q) là nQ, vecto chỉ phương của (d) là u

2. Gọi vecto pháp tuyến của (P) là nP

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

4, Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng (Q): y +z +1 =0 góc 600. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u(0;1;0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(0;1;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nQ=0

⇔ B=0

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600 nên ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ 1/2=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ 1/2=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ A=±C

Chọn C=1, ta có A=±1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

x +z=0

-x +z=0

Quảng cáo

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+z-3=0 và đường thẳng Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảiViết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cos⁡α=√(3/6)

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u(1;-1;-1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(1;2;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nQ=0

⇔ A -B -C =0 ⇔ C =A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cos⁡α=√3/6

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ √3/6=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ √3/6=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với A = 0, chọn B = 1 ⇒ C=-1

Với A =4/3 B, chọn B=3 ⇒ A=4; C=1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

y -z -5 =0

4x +3y +z +1 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng lần lượt có phương trình: (Q): x+2y-z+5=0 và Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 3) và có vecto chỉ phương u(2;1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(1;2; -1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nP=0

⇔ 2A +B +C =0 ⇔ C= -2A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600 nên ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ 1/2=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ 1/2=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇔ A=(4±2√3)B

Chọn B=1, ta có A=(4±2√3) ⇒ C= -9±4√3

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; -1; 3) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

(4 -2√3)x +y +(-9 +4√3)z +32 -14√3 =0

(4 +2√3)x +y +(-9 -4√3)z +32 +14√3 =0

Quảng cáo

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giảivà mặt phẳng (Q): x+2y+z-5=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 300.

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u(1; -1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(1;2; 1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nP=0

⇒ A -B +C =0 ⇒ C =B -A

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 300 nên ta có:

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ √3/2=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

⇒ √3/2=Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi THPT Quốc gia có lời giải

Với A=0, chọn B = 1; C = 1

Với A=B, chọn A =B =1; C = 0

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

y +z -2 =0

x +y -2 =0

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác