Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

Phương pháp giải

Quảng cáo

1. Tìm Vecto pháp tuyến của (Q) là nQ, vecto chỉ phương của (d) là u

2. Gọi vecto pháp tuyến của (P) là nP

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

4, Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng (Q): y +z +1 =0 góc 600. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u(0;1;0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(0;1;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nQ=0

⇔ B=0

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600 nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 1/2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 1/2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ A=±C

Chọn C=1, ta có A=±1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

x +z=0

-x +z=0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+z-3=0 và đường thẳng Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánViết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cos⁡α=√(3/6)

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u(1;-1;-1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(1;2;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nQ=0

⇔ A -B -C =0 ⇔ C =A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cos⁡α=√3/6

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ √3/6=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ √3/6=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với A = 0, chọn B = 1 ⇒ C=-1

Với A =4/3 B, chọn B=3 ⇒ A=4; C=1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

y -z -5 =0

4x +3y +z +1 =0

Quảng cáo

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng lần lượt có phương trình: (Q): x+2y-z+5=0 và Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 3) và có vecto chỉ phương u(2;1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(1;2; -1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nP=0

⇔ 2A +B +C =0 ⇔ C= -2A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 600 nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 1/2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ 1/2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ A=(4±2√3)B

Chọn B=1, ta có A=(4±2√3) ⇒ C= -9±4√3

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; -1; 3) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

(4 -2√3)x +y +(-9 +4√3)z +32 -14√3 =0

(4 +2√3)x +y +(-9 -4√3)z +32 +14√3 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp ánvà mặt phẳng (Q): x+2y+z-5=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 300.

Hướng dẫn:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A2 +B2 +C2 ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u(1; -1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến nQ=(1;2; 1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u .nP=0

⇒ A -B +C =0 ⇒ C =B -A

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 300 nên ta có:

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ √3/2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇒ √3/2=Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Với A=0, chọn B = 1; C = 1

Với A=B, chọn A =B =1; C = 0

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến nP(A;B;C) là:

y +z -2 =0

x +y -2 =0

Ngân hàng trắc nghiệm miễn phí ôn thi THPT Quốc Gia tại khoahoc.vietjack.com

KHÓA HỌC GIÚP TEEN 2002 ĐẠT 9-10 THI THPT QUỐC GIA

Tổng hợp các video dạy học từ các giáo viên giỏi nhất - CHỈ TỪ 399K tại khoahoc.vietjack.com


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác
Khóa học 12