Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

---

---

Bài viết Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc.

Viết phương trình mặt phẳng chứa đường thẳng và tạo với mặt phẳng một góc

(199k) Xem Khóa học Toán 12

Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Phương pháp giải

1. Tìm Vecto pháp tuyến của (Q) là n_Q→, vecto chỉ phương của (d) là u→

2. Gọi vecto pháp tuyến của (P) là n_P→

3. Dùng phương pháp vô định giải hệ

4, Áp dụng cách viết phương trình đi qua một điểm và có 1 vecto pháp tuyến.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng chứa trục Oy và tạo với mặt phẳng (Q): y +z +1 =0 góc 60⁰. Phương trình mặt phẳng (P) là:

Lời giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng Oy đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vecto chỉ phương u→(0;1;0)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(0;1;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_Q→=0

⇔ B=0

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰ nên ta có:

⇔ 1/2=

⇔ 1/2=

⇔ A=±C

Chọn C=1, ta có A=±1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua O(0; 0; 0) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

x +z=0

-x +z=0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q): x+2y+z-3=0 và đường thẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với mặt phẳng (Q) một góc α thỏa mãn cos⁡α=√(3/6)

Lời giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng d đi qua điểm M(-1; 2; -3) và có vecto chỉ phương u→(1;-1;-1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2;1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_Q→=0

⇔ A -B -C =0 ⇔ C =A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc góc α thỏa mãn cos⁡α=√3/6

⇔ √3/6=

⇔ √3/6=

Với A = 0, chọn B = 1 ⇒ C=-1

Với A =4/3 B, chọn B=3 ⇒ A=4; C=1

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; 2; -3) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

y -z -5 =0

4x +3y +z +1 =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (Q) và đường thẳng lần lượt có phương trình: (Q): x+2y-z+5=0 và . Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d và tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰

Lời giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(-1; -1; 3) và có vecto chỉ phương u→(2;1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; -1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_P→=0

⇔ 2A +B +C =0 ⇔ C= -2A -B

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 60⁰ nên ta có:

⇔ 1/2=

⇔ 1/2=

⇔ A=(4±2√3)B

Chọn B=1, ta có A=(4±2√3) ⇒ C= -9±4√3

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(-1; -1; 3) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

(4 -2√3)x +y +(-9 +4√3)z +32 -14√3 =0

(4 +2√3)x +y +(-9 -4√3)z +32 +14√3 =0

Bài 4: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d có phương trình và mặt phẳng (Q): x+2y+z-5=0. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d) và hợp với (Q) một góc 30⁰.

Lời giải:

Giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: Ax +By +Cz +D =0

(A² +B² +C² ≠0).

Đường thẳng (d) đi qua điểm M(0; 2; 0) và có vecto chỉ phương u→(1; -1;1)

Mặt phẳng (Q) có vecto pháp tuyến n_Q→=(1;2; 1)

Mặt phẳng (P) chứa đường thẳng (d) nên u→ .n_P→=0

⇒ A -B +C =0 ⇒ C =B -A

Lại có mặt phẳng (P) tạo với mặt phẳng (Q) một góc bằng 30⁰ nên ta có:

⇒ √3/2=

⇒ √3/2=

Với A=0, chọn B = 1; C = 1

Với A=B, chọn A =B =1; C = 0

Khi đó, phương trình mặt phẳng (P) đi qua M(0; 2; 0) và có vecto pháp tuyến n_P→(A;B;C) là:

y +z -2 =0

x +y -2 =0

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

---

---

---