Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu

---

---

Bài viết Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu.

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu

Bài giảng: Cách làm bài tập viết phương trình mặt phẳng cơ bản - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)

2. Nếu mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ∈(S) thì mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến là MI→

3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được vecto pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax +By +Cz +D =0 (D chưa biết)

Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x +2y -2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x² +y² +z² +2x -4y -2z -3 =0

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I (-1; 2; 1) và bán kính R=3

Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

x +2y -2z +D =0 (D≠1).

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I;(P)) =R =3

⇔ |1+D|=9 ⇔

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

x +2y -2z +8 =0

x +2y -2z -10 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hình cầu: (S): (x-1)² +(y-2)² +(z-3)² =1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tiếp xúc với (S).

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 1

Trục Oz có vecto chỉ phương u→=(0;0;1)

Gọi n→=(a;b;c) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do (P) chứa trục Oy nên n→⊥u→ ⇒ n→ .u→=0

⇔ c=0 ⇒ n→=(a;b;0)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n→=(a;b;0) và đi qua điểm O(0; 0; 0) là: ax +by =0

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S nên d(I;(P)) =R =1

⇔ (a +2b)² =a² +b²

⇔ 4ab +3b² =0 ⇔

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x = 0 hoặc: 3x -4y =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu(S): (x-1)² +(y+2)² +z² =12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Lời giải:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 0) và bán kính R=2√3

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: y + D = 0 (D≠0)

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu.

Khi đó: -2 +D =0 ⇒ D=2

Phương trình mặt phẳng (P) là: y +2 =0

Bài tập tự luyện

Bài 1. Viết phương trình mặt phẳng (P) vuông góc với d: $\frac{x-2}{2}=\frac{y+3}{2}=\frac{1-z}{1}$ và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x + 1)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 4.

Bài 2. Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với d: $\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-2}{3}$ và tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 3)² + (z – 3)² = 9.

Bài 3. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 1)² + y² + (z – 2)² = 9 tại điểm A(1; 3; 2).

Bài 4. Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu (S₁) có tâm I(2; 1; 1) bán kính bằng 4 và mặt cầu (S₂) có tâm J(2; 1; 5) có bán kính bằng 2. Gọi (P) là mặt phẳng thay đổi tiếp xúc với hai mặt cầu (S₁), (S₂). Tính tổng khoảng cách lớn nhất và nhỏ nhất từ gốc toạ độ O đến mặt phẳng (P).

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): (x – 1)² + y² + (z + 2)² = 6 đồng thời song song với hai đường thẳng d₁: $\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z}{-1}$, d₂: $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{-1}$.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): (x - 1)² + (y - 2)² + (z - 3)² = 81 tại điểm P(-5; -4; 6).

Bài 7. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S): x² + y² + z² – 4x – 8y – 12z + 7 = 0 tại điểm P(-4; 1; 4).

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x − 1)² + (y + 3)² + (z − 2)² = 49. Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(7; -1; 5).

Bài 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc mặt cầu (S): x² + y² + z² − 2x + 4y + 3 = 0 tại điểm H(0; −1; 0).

Bài 10. Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng 4x + 3y – 12z + 1 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z – 2 = 0.

Bài giảng: Cách viết phương trình mặt phẳng nâng cao - Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)

---

---

---