Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu - Toán lớp 12



Toán lớp 12: Phương pháp tọa độ trong không gian

Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc hoặc cắt mặt cầu

Phương pháp giải

1. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính của mặt cầu (S)

2. Nếu mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M ∈(S) thì mặt phẳng (P) đi qua điểm M và có vecto pháp tuyến là MI

3. Khi bài toán không cho tiếp điểm thì ta phải sử dụng các dữ kiện của bài toán tìm được vecto pháp tuyến của mặt phẳng và viết phương trình mặt phẳng có dạng: Ax +By +Cz +D =0 (D chưa biết)

Sử dụng điều kiện khoảng cách để tìm D

Ví dụ minh họa

Bài 1: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q): x +2y -2z +1 =0 và tiếp xúc với mặt cầu (S): x2 +y2 +z2 +2x -4y -2z -3 =0

Hướng dẫn:

Mặt cầu (S) có tâm I (-1; 2; 1) và bán kính R=3

Do (P) song song với mặt phẳng (Q) nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng:

x +2y -2z +D =0 (D≠1).

Vì (P) tiếp xúc với mặt cầu (S) nên d(I;(P)) =R =3

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

⇔ |1+D|=9 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy có 2 mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là:

x +2y -2z +8 =0

x +2y -2z -10 =0

Bài 2: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, cho hình cầu: (S): (x-1)2 +(y-2)2 +(z-3)2 =1. Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa trục Oz và tiếp xúc với (S).

Hướng dẫn:

Mặt cầu (S) có tâm I(1;2;3) và bán kính R = 1

Trục Oz có vecto chỉ phương u=(0;0;1)

Gọi n=(a;b;c) là vecto pháp tuyến của mặt phẳng (P)

Do (P) chứa trục Oy nên nun .u=0

⇔ c=0 ⇒ n=(a;b;0)

Phương trình mặt phẳng (P) có vecto pháp tuyến n=(a;b;0) và đi qua điểm O(0; 0; 0) là: ax +by =0

Mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S nên d(I;(P)) =R =1

Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án ⇔ (a +2b)2 =a2 +b2

⇔ 4ab +3b2 =0 ⇔ Toán lớp 12 | Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập có đáp án

Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: x = 0 hoặc: 3x -4y =0

Bài 3: Trong không gian hệ tọa độ Oxyz, gọi (P) là mặt phẳng song song với mặt phẳng Oxz và cắt mặt cầu(S): (x-1)2 +(y+2)2 +z2 =12 theo đường tròn có chu vi lớn nhất. Phương trình của mặt phẳng (P) là:

Hướng dẫn:

Mặt cầu (S) có tâm I(1; -2; 0) và bán kính R=2√3

Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng Oxz nên phương trình mặt phẳng (P) có dạng: y + D = 0 (D≠0)

Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu (S) theo đường tròn có chu vi lớn nhất nên mặt phẳng (P) đi qua tâm I của mặt cầu.

Khi đó: -2 +D =0 ⇒ D=2

Phương trình mặt phẳng (P) là: y +2 =0

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, soạn văn, văn mẫu.... Tải App để chúng tôi phục vụ tốt hơn.

Tải App cho Android hoặc Tải App cho iPhone

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 12 Đại số, Giải tích và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Giải tích 12 và Hình học 12.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


phuong-phap-toa-do-trong-khong-gian.jsp


Các loạt bài lớp 12 khác