Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian.

Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Trong không gian Oxyz, vectơ $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)\ne \overrightarrow{0}$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $∆$ thì $\overrightarrow{m}=k.\overrightarrow{u}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng $∆$.

• Phương trình tham số $∆$ $\left\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}\right.$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$.

• Phương trình chính tắc $∆$: $\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng dưới đây:

a) $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$;

b) $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{2-z}{1}$.

Hướng dẫn giải:

a) Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right)$.

b) Viết lại đường thẳng $d:\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-2}{-1}$.

Do đó đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;2;-1\right)$.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\left\{\begin{array}{l}x=2+3t\\ y=-1+t\\ z=5-2t\end{array}\right.$. Trong các điểm M(11; 2; 4), N(5; 0; 3) điểm nào thuộc đường thẳng $∆$.

Hướng dẫn giải:

Thay tọa độ M(11; 2; 4) vào phương trình đường thẳng $∆$ ta được:

$\left\{\begin{array}{l}11=2+3t\\ 2=-1+t\\ 4=5-2t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=3\\ t=3\\ t=\frac{1}{2}\end{array}\right.$(vô lí).

Vì hệ vô nghiệm nên M $\notin$ $∆$.

Thay tọa độ N(5; 0; 3) vào phương trình đường thẳng $∆$ ta được

$\left\{\begin{array}{l}5=2+3t\\ 0=-1+t\\ 3=5-2t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t=1\\ t=1\end{array}\right.$.

Vì hệ trên có nghiệm nên N $\in$ $∆$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là:

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;3\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;3\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-t\\ y=1+2t\\ z=3+t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;1\right)$.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{5}=\frac{z-2}{-3}$ có một vectơ chỉ phương là:

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;3;2\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(1;-3;-2\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;3;2\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;5;-3\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng $d:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-3}{5}=\frac{z-2}{-3}$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(-1;5;-3\right)$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm B(2; 4; 3) và C(2; 2; −1). Đường thẳng song song với BC có vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(0;1;2\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(0;2;-4\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;-4\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(0;-2;4\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{BC}=\left(0;-2;-4\right)=-2\left(0;1;2\right)$.

Suy ra đường thẳng song song với BC có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(0;1;2\right)$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=2-3t\\ y=1+2t\\ z=3-t\end{array}\right.$ có một vectơ chỉ phương là:

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;1;3\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(-3;2;-1\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(3;2;1\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;2;3\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Vectơ chỉ phương của d là $\overrightarrow{u}=\left(-3;2;-1\right)$.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; 0) và B(0; −5; 2). Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của đường thẳng AB.

A. $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;0\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(0;-5;2\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(2;-6;2\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng AB có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(-2;-4;2\right)=-2\left(1;2;-1\right)$.

Do đó $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-1\right)$ là một vectơ chỉ phương của AB.

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, vectơ nào là một vectơ chỉ phương của đường thẳng có phương trình $\frac{x-1}{3}=\frac{3y}{2}=\frac{3-z}{1}$.

A. $\overrightarrow{u}=\left(3;\frac{3}{2};1\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(9;2;3\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(3;2;1\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(3;\frac{2}{3};-1\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\frac{x-1}{3}=\frac{3y}{2}=\frac{3-z}{1}$ $\iff \frac{x-1}{3}=\frac{y}{\frac{2}{3}}=\frac{z-3}{-1}$.

Vậy một vectơ chỉ phương của đường thẳng là .

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-3}{2}=\frac{y-4}{-5}=\frac{z+1}{3}$. Vectơ nào dưới đây là một vectơ chỉ phương của d.

A. $\overrightarrow{u}=\left(3;4;-1\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;3\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(-3;-4;1\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;-3\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-5;3\right)$.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, điểm nào dưới đây thuộc đường thẳng $d:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{3}$.

A. Q(1; −2; −1);

B. N(−1; 3; 2);

C. A(1; 2; 1);

D. P(−1; 2; 1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Điểm thuộc đường thẳng $d:\frac{x+1}{-1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-1}{3}$ là P(−1; 2; 1).

Bài 9. Trong không gian Oxyz, đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=3-t\\ z=1-t\end{array}\right.$ không đi qua điểm nào dưới đây.

A. Q(3; 2; 0);

B. N(5; 1; −1);

C. A(1; 3; 1);

D. P(0; 1; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Điểm P(0; 1; 2) $\notin$ d.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{-5}=\frac{z-4}{1}$. Trong các điểm sau đây, điểm nào không thuộc đường thẳng $∆$?

A. M(4; −7; −2);

B. N(7; −12; 6);

C. P(10; −17; 7);

D. Q(13; −22; 8).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Thế tọa độ M(4; −7; −2) vào phương trình đường thẳng $∆$ ta được:

$\frac{4-1}{3}=\frac{-7+2}{-5}=\frac{-2-4}{1}$$\iff$ 1 = 1 = −6 (vô lí).

Suy ra M $\notin$ $∆$.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước
• Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng

---