Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song.

Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Viết phương trình đường thẳng $∆$ biết $∆$ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

Bước 1: Đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}$.

Bước 2: Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua M và nhận $\overrightarrow{u_d}=\overrightarrow{u_{\Delta }}$ làm vectơ chỉ phương.

• Viết phương trình đường thẳng $∆$ đi qua điểm M và song song với hai mặt phẳng (P), (Q).

Bước 1: Đường thẳng $∆$ nhận $\overrightarrow{u_{\Delta }}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]$.

Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng qua M và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{\Delta }}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 2; 3), B(1; 1; 1), C(3; 4; 0). Đường thẳng d đi qua A và song song với BC.

Hướng dẫn giải:

Có $\overrightarrow{BC}=\left(2;3;-1\right)$.

Vì d // BC nên đường thẳng d nhận $\overrightarrow{BC}=\left(2;3;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Do đó đường thẳng d đi qua A(1; 2; 3) nhận $\overrightarrow{BC}=\left(2;3;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-2}{3}=\frac{z-3}{-1}$.

Ví dụ 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; −2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x – y + z – 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d đi qua A, song song với (P) và (Q).

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;1\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-1;1\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta có $\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(2;0;-2\right)=2\left(1;0;-1\right)$.

Vì đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) nên $\overrightarrow{u_d}=\left(1;0;-1\right)$.

Đường thẳng d đi qua điểm A(1; −2; 3) và nhận $\overrightarrow{u_d}=\left(1;0;-1\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-2\\ z=3-t\end{array}\right.$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 0; 1), B(1; 1; 0) và C(3; 4; −1). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là

A. $\frac{x-1}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z-1}{-1}$;

B. $\frac{x+1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z+1}{-1}$;

C. $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-1}$;

D. $\frac{x+1}{4}=\frac{y}{5}=\frac{z+1}{-1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d đi qua A và song song với BC nhận $\overrightarrow{BC}=\left(2;3;-1\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là $\frac{x-1}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z-1}{-1}$.

Bài 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình tham số của đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3+t\\ z=4\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=3\\ z=4\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3\\ z=4+t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=1\\ y=3+t\\ z=4+t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua M(1; 3; 4) và song song với trục hoành nhận $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{i}=\left(-1;0;0\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1-t\\ y=3\\ z=4\end{array}\right.$.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho điểm M(−1; 2; 2). Đường thẳng đi qua M và song song với Oy có phương trình là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=2\\ z=2+t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=-1\\ y=t\\ z=2\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2\\ z=2\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=2\\ z=2+t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng đi qua M và song song với Oy nhận $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng ở đáp án B thỏa mãn.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 1; 0), B(1; 0; 1), C(3; 1; 0). Đường thẳng đi qua A và song song với BC có phương trình là:

A. $\frac{x+1}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$;

B. $\frac{z+1}{4}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{1}$;

C. $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}$;

D. $\frac{x-1}{4}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng đi qua A(1; 1; 0) song song với BC nên nhận $\overrightarrow{BC}=\left(2;1;-1\right)$ là vectơ chỉ phương do đó có phương trình là $\frac{x-1}{2}=\frac{y-1}{1}=\frac{z}{-1}$.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; −1; 3), B(1; 0; 1), C(−1; 1; 2). Phương trình nào dưới đây là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳng BC.

A. $x-2y+z=0$;

B.$\left\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=-1+t\\ z=3+t\end{array}\right.$;

C. $\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$;

D. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y}{1}=\frac{z-1}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng $∆$ đi qua A và song song BC nhận $\overrightarrow{BC}=\left(-2;1;1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Suy ra phương trình chính tắc của đường thẳng $\frac{x}{-2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{1}$.

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; −3), B(−1; 4; 1) và đường thẳng $d:\frac{x+2}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+3}{2}$. Phương trình nào dưới đây là phương trình của đường thẳng đi qua trung điểm của đoạn AB và song song với d?

A. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{1}=\frac{z+1}{2}$;

B. $\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$;

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$;

D. $\frac{x}{1}=\frac{y-2}{-1}=\frac{z+2}{2}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Trung điểm của AB là I(0; 1; −1).

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2\right)$ nên đường thẳng $∆$ cần tìm cũng có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;2\right)$.

Suy ra phương trình $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y-1}{-1}=\frac{z+1}{2}$.

Bài 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(2; 0; −1) và mặt phẳng (P): x + y – 1 = 0. Đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy) có phương trình là

A. $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=2t\\ z=1-t\end{array}\right.$;

B. $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-t\\ z=-1\end{array}\right.$;

C. $\left\{\begin{array}{l}x=1+2t\\ y=-1\\ z=-t\end{array}\right.$;

D. $\left\{\begin{array}{l}x=3+t\\ y=1+2t\\ z=-t\end{array}\right.$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (Oxy) và (P) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(0;0;1\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(1;1;0\right)$.

Có $\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=-\left(1;-1;0\right)$.

Gọi d là đường thẳng đi qua A đồng thời song song với (P) và mặt phẳng (Oxy). Khi đó đường thẳng d nhận $\overrightarrow{u}=\left(1;-1;0\right)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là: $\left\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-t\\ z=-1\end{array}\right.$.

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y + z – 1 = 0, (β): 2x + y – z = 0 và điểm A(1; 2; −1). Đường thẳng D đi qua điểm A và song song với cả hai mặt phẳng (α), (β) có phương trình là:

A. $\frac{x-1}{-2}=\frac{y-2}{4}=\frac{z+1}{-2}$;

B. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{5}$;

C. $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{-2}=\frac{z+1}{-1}$;

D. $\frac{x}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{1}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2;1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(2;1;-1\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) và (β).

Đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}\right]=\left(1;3;5\right)$.

Phương trình của đường thẳng $∆$: $\frac{x-1}{1}=\frac{y-2}{3}=\frac{z+1}{5}$.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + y – z – 2 = 0 và (Q): x – y – 5 = 0. Đường thẳng (d) song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) có vectơ chỉ phương là

A. $\overrightarrow{u}=\left(-1;-1;1\right)$;

B. $\overrightarrow{u}=\left(2;-1;1\right)$;

C. $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;1\right)$;

D. $\overrightarrow{u}=\left(-1;-1;-2\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(1;1;-1\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-1;0\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-1;-1;-2\right)$.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x + y – z – 1 = 0, (Q): x – 2y + z – 5 = 0. Đường thẳng d song song với hai mặt phẳng (P) và (Q) có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;-3;b\right)$. Tính a + b.

A. 6;

B. −6;

C. 9;

D. −9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{n_P}=\left(2;1;-1\right),\overrightarrow{n_Q}=\left(1;-2;1\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Đường thẳng d song song với cả hai mặt phẳng (P) và (Q) nên nhận $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right]=\left(-1;-3;-5\right)$.

Suy ra a = −1; b = −5. Do đó a + b = −6.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước
• Vị trí tương đối của hai đường thẳng
• Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng

---