Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng có vectơ chỉ phương u=a;b;c  và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n=A;B;C . Khi đó:

sinΔ,P=cosu,n=aA+bB+cCa2+b2+c2.A2+B2+C2.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x31=y42=z+31  và mặt phẳng (P): 2x + y + z – 1 = 0. Tính góc giữa  và (P).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng  có một vectơ chỉ phương u=1;2;1.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=2;1;1 .

Ta có sinΔ,P=u.nu.n=1.2+2.1+1.112+22+12.22+12+12=12 .

Suy ra (, (P)) = 30°.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x=6+5ty=2+tz=1  và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 1 = 0. Góc hợp bởi giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Quảng cáo

Ta có u=5;1;0  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, n=3;2;0  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó sind,P=u.nu.n=5.3+1.2+0.052+12.32+22=22 .

Suy ra (d, (P)) = 45°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì Oy ⊥ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Quảng cáo

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x=-2ty=6+tz=1-3t và mặt phẳng (P): 2x-y+3z+12=0. Tìm sin của góc giữa d và (P).

A. 0°

B. 1;

C. 0;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u=2;1;3

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=2;1;3

Ta có u=n nên d ⊥ (P) ⇒ (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng Δ:x-21=y+22=z-2 và mặt phẳng (P): 2x-y+2z-2022=0. Khẳng định nào đúng?

A. sinα=-49;

B. sinα=49;

C. cosα=-49;

D. cosα=49.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương u=1;2;2; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=2;1;2.

Ta có sinα=u.nu.n=1.2+2.1+2.212+22+22.22+12+22=49

Quảng cáo

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A(0; 1; 0), góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. 60°

B. 45°;

C. 90°;

D. 0°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có OA ⊥ (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, tính góc α giữa đường thẳng Δ:x1=y2=z-1-1 và mặt phẳng (P): x-y+2z+1=0.

A. 30°

B. 60°;

C. 150°;

D. 120°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương u=1;2;1; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=1;1;2.

Ta có sinα=u.nu.n=1.1+2.1+1.212+22+12.12+12+22=12

⇒ α = 30°.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa trục Oy và mặt phẳng (P): 4x-3y+2z-7=0 bằng

A. 23;

B. 23;

C. 13;

D. 43.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương j=0;1;0; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=4;3;2. Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.

Ta có sinα=u.nu.n=0.4+1.3+0.202+12+02.42+32+22=13

Suy ra cosα=1sin2α=23

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 3x+4y+5z+8=0 và đường thẳng d là giao tuyến của (α): x-2y+1=0 và (β): x-2z-3=0. Tính góc φ giữa d và (P).

A. φ = 30°;

B. φ = 45°;

C. φ = 60°;

D. φ = 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là n1=3;4;5,n2=1;2;0,n3=1;0;2

Ta có u=n2,n3=4;2;2 là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó sinφ=u.n1u.n1=3.4+4.2+5.232+42+52.42+22+22=32 ⇒ φ = 60°.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d:x-42=y-71=z-34 và mặt phẳng (P): 3x-2y+z-6=0. Giá trị của sind,P bằng

A. 467;

B. 642;

C. 4621;

D. 63.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u=2;1;4; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=3;2;1.

Ta có sind,P=u.nu.n=2.3+1.2+4.122+12+42.32+22+12=4621

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -3) và đường thẳng d:x-22=y+11=z-52. Tính góc giữa d và mặt phẳng (ABC) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

A. 11°;

B. 10°;

C. 21°;

D. 12°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC): x2+y1+z3=13x – 6y + 2z + 6 = 0.

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến n=3;6;2, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là u=2;1;2.

Khi đó sind,ABC=u.nu.n=2.3+1.6+2.222+12+22.32+62+22=421

⇒ (d, (ABC)) ≈ 11°.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): x-y+2z+1 = 0 và đường thẳng d:x11=y2=z+11. Tính góc giữa d và (P).

A. 60°;

B. 120°;

C. 150°;

D. 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương u=1;2;1; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n=1;1;2

Ta có sind,P=u.nu.n=1.1+1.2+2.112+12+22.12+22+12=12

⇒ (d, (P)) = 30°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học