Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng.

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $∆$ có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(a;b;c\right)$  và mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ . Khi đó:

$\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{n}\right)\right|=\frac{\left|aA+bB+cC\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}.\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-3}{1}=\frac{y-4}{2}=\frac{z+3}{-1}$  và mặt phẳng (P): 2x + y + z – 1 = 0. Tính góc giữa $∆$ và (P).

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng $∆$ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-1\right)$.

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;1;1\right)$ .

Ta có $\sin \left(\Delta ,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|1.2+2.1+\left(-1\right).1\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{2^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{2}$ .

Suy ra ($∆$, (P)) = 30°.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=6+5t\\ y=2+t\\ z=1\end{array}\right.$  và mặt phẳng (P): 3x – 2y + 1 = 0. Góc hợp bởi giữa đường thẳng d và mặt phẳng (P) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{u}=\left(5;1;0\right)$  là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d, $\overrightarrow{n}=\left(3;-2;0\right)$  là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P).

Khi đó $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|5.3+1.\left(-2\right)+0.0\right|}{\sqrt{5^2+1^2}.\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Suy ra (d, (P)) = 45°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, góc giữa trục Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì Oy ⊥ (Oxz) nên góc giữa Oy và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\left\{\begin{array}{l}x=-2t\\ y=6+t\\ z=1-3t\end{array}\right.$ và mặt phẳng (P): $2x-y+3z+12=0$. Tìm sin của góc giữa d và (P).

A. 0°

B. 1;

C. 0;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(-2;1;-3\right)$

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;3\right)$

Ta có $\overrightarrow{u}=-\overrightarrow{n}$ nên d ⊥ (P) ⇒ (d, (P)) = 90°. Do đó sin(d, (P)) = 1.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $\Delta :\frac{x-2}{1}=\frac{y+2}{2}=\frac{z}{-2}$ và mặt phẳng (P): $2x-y+2z-2022=0$. Khẳng định nào đúng?

A. $\sin \alpha =-\frac{4}{9}$;

B. $\sin \alpha =\frac{4}{9}$;

C. $\cos \alpha =-\frac{4}{9}$;

D. $\cos \alpha =\frac{4}{9}$.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-2\right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;-1;2\right)$.

Ta có $\sin \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|1.2+2.\left(-1\right)+\left(-2\right).2\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{4}{9}$

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho A(0; 1; 0), góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng

A. 60°

B. 45°;

C. 90°;

D. 0°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có OA ⊥ (Oxz) nên góc giữa đường thẳng OA và mặt phẳng (Oxz) bằng 90°.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, tính góc α giữa đường thẳng $\Delta :\frac{x}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z-1}{-1}$ và mặt phẳng (P): $x-y+2z+1=0$.

A. 30°

B. 60°;

C. 150°;

D. 120°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng ∆ có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-1\right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1;2\right)$.

Ta có $\sin \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|1.1+2.\left(-1\right)+\left(-1\right).2\right|}{\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{1}{2}$

⇒ α = 30°.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, côsin của góc giữa trục Oy và mặt phẳng (P): $4x-3y+\sqrt{2}z-7=0$ bằng

A. $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$;

B. $\frac{2}{\sqrt{3}}$;

C. $\frac{1}{\sqrt{3}}$;

D. $\frac{4}{\sqrt{3}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng chứa trục Oy có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(4;-3;\sqrt{2}\right)$. Gọi α là góc giữa đường thẳng và mặt phẳng trên.

Ta có $\sin \alpha =\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|0.4+1.\left(-3\right)+0.\sqrt{2}\right|}{\sqrt{0^2+1^2+0^2}.\sqrt{4^2+{\left(-3\right)}^2+{\left(\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$

Suy ra $\cos \alpha =\sqrt{1-{\sin }^2\alpha }=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}$

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $3x+4y+5z+8=0$ và đường thẳng d là giao tuyến của (α): $x-2y+1=0$ và (β): $x-2z-3=0$. Tính góc φ giữa d và (P).

A. φ = 30°;

B. φ = 45°;

C. φ = 60°;

D. φ = 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Các vectơ pháp tuyến của các mặt phẳng (P), (α), (β) lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(3;4;5\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2;0\right),\overrightarrow{n_3}=\left(1;0;-2\right)$

Ta có $\overrightarrow{u}=\left[\overrightarrow{n_2},\overrightarrow{n_3}\right]=\left(4;2;2\right)$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

Do đó $\sin \phi =\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n_1}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n_1}\right|}=\frac{\left|3.4+4.2+5.2\right|}{\sqrt{3^2+4^2+5^2}.\sqrt{4^2+2^2+2^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ⇒ φ = 60°.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d:\frac{x-4}{2}=\frac{y-7}{1}=\frac{z-3}{4}$ và mặt phẳng (P): $3x-2y+z-6=0$. Giá trị của $\sin \left(d,\left(P\right)\right)$ bằng

A. $\frac{4\sqrt{6}}{7}$;

B. $\frac{\sqrt{6}}{42}$;

C. $\frac{4\sqrt{6}}{21}$;

D. $\frac{\sqrt{6}}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;1;4\right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-2;1\right)$.

Ta có $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|2.3+1.\left(-2\right)+4.1\right|}{\sqrt{2^2+1^2+4^2}.\sqrt{3^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}}=\frac{4\sqrt{6}}{21}$

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho A(-2; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; -3) và đường thẳng $d:\frac{x-2}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-5}{2}$. Tính góc giữa d và mặt phẳng (ABC) (làm tròn đến hàng đơn vị của độ).

A. 11°;

B. 10°;

C. 21°;

D. 12°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{-2}+\frac{y}{1}+\frac{z}{-3}=1$ ⇔ 3x – 6y + 2z + 6 = 0.

Suy ra mặt phẳng (ABC) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(3;-6;2\right)$, đường thẳng d có một vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;1;2\right)$.

Khi đó $\sin \left(d,\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|2.3+1.\left(-6\right)+2.2\right|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}.\sqrt{3^2+{\left(-6\right)}^2+2^2}}=\frac{4}{21}$

⇒ (d, (ABC)) ≈ 11°.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): $x-y+2z+$1 = 0 và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$. Tính góc giữa d và (P).

A. 60°;

B. 120°;

C. 150°;

D. 30°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;2;-1\right)$; mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(1;-1;2\right)$

Ta có $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{u}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{u}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|1.1+\left(-1\right).2+2.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}.\sqrt{1^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{1}{2}$

⇒ (d, (P)) = 30°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Góc giữa hai đường thẳng
• Góc giữa hai mặt phẳng
• Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm

---