Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ , $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$ . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức:

$\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{n},\overrightarrow{n^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}+C{C}^{\text{'}}\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}.\sqrt{{A^{\text{'}}}^2+{B^{\text{'}}}^2+{C^{\text{'}}}^2}}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1;-1\right)$ , mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;-1\right)$.

Ta có $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}\right|}{\left|\overrightarrow{n_1}\right|.\left|\overrightarrow{n_2}\right|}=\frac{\left|2+0+1\right|}{\sqrt{4+1+1}.\sqrt{1+1}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra ((P), (Q)) = 30°.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1; 0; 0), N(0; 1; 0) và P(0; 0; 1). Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}\right]=\left(1;1;1\right)$ .

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Khi đó $\cos \left(\left(MNP\right),\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|1.0+1.0+1.1\right|}{\sqrt{1^2+1^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{3}}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1;-1\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;-1\right)$ là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2.1-1.0+1.1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{1^2+0^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{3}}{2}$  => φ = 30°.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z = 0 và (β): x + z + $\sqrt{3}$ = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(2;2;1\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(1;0;1\right)$ là vectơ pháp tuyến của (α) và (β).

Khi đó $\cos \left(\left(\alpha \right),\left(\beta \right)\right)=\frac{\left|2.1+2.0+1.1\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}.\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$=> φ = 45°.

Bài 3. Góc giữa hai mặt phẳng (P): 8x – 4y – 8z – 11 = 0 và (Q): $\sqrt{2}x-\sqrt{2}y+7=0$ bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(8;-4;-8\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(\sqrt{2};-\sqrt{2};0\right)$ là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|8.\sqrt{2}+4.\sqrt{2}-8.0\right|}{\sqrt{8^2+{\left(-4\right)}^2+{\left(-8\right)}^2}.\sqrt{{\left(\sqrt{2}\right)}^2+{\left(-\sqrt{2}\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$  => φ = 45°.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y – z – 11 = 0 và (Q): 2x + 2y – 2z + 7 = 0 bằng

A. 0°;

B. 45°;

C. 180°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;1;-1\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(2;2;-2\right)$ là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Suy ra $\overrightarrow{n_2}=2\overrightarrow{n_1}$ . Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_P}$ và $\overrightarrow{n_Q}$. Biết góc giữa hai vectơ $\overrightarrow{n_P}$ và $\overrightarrow{n_Q}$ bằng 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 60°;

B. 120°;

C. 90°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Do $\left(\overrightarrow{n_P},\overrightarrow{n_Q}\right)=120°>90°$  => φ = 180° - 120° = 60°.

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): 2x + 2y – z – 3 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.

A. $-\frac{4}{9}$;

B. $\frac{4}{9}$;

C. $\frac{2}{3}$;

D. $-\frac{2}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2;2\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(2;2;-1\right)$ là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

$\cos \alpha =\frac{\left|1.2+\left(-2\right).2+2.\left(-1\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}.\sqrt{2^2+2^2+{\left(-1\right)}^2}}=\frac{4}{9}$

 

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 2 = 0 và (Q): 2x – y – z + 4 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.

A. $\frac{2}{3}$;

B. $\frac{3}{4}$;

C. $\frac{1}{6}$;

D. $\frac{1}{3}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;2;-1\right)$, $\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1;-1\right)$ là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

$\cos \alpha =\frac{\left|1.2+2.\left(-1\right)+\left(-1\right).\left(-1\right)\right|}{\sqrt{6}.\sqrt{6}}=\frac{1}{6}$

Bài 9. Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng

A. 60°;

B. 135°;

C. 45°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right),\overrightarrow{n}\left(1;-1;0\right)$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:

 $\cos \alpha =\frac{\left|1.0+1.\left(-1\right)+0.0\right|}{\sqrt{2}}=\frac{1}{\sqrt{2}} \Rightarrow$ α = 45°.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – 6 = 0 và (Q). Biết rằng điểm H(2; -1; -2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng

A. 45°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-1;0\right)$ .

Vì OH $\perp$ (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận $\overrightarrow{OH}=\left(2;-1;-2\right)$  làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1.2+\left(-1\right).\left(-1\right)+0.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-1\right)}^2}.\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\Rightarrow$   ((P), (Q)) = 45°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
• Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm
• Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước

---