Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc giữa hai mặt phẳng.

Góc giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P), (Q) tương ứng có các vectơ pháp tuyến là n=A;B;C , n'=A';B';C' . Khi đó, góc giữa (P) và (Q), kí hiệu là ((P), (Q)), được tính theo công thức:

cosP,Q=cosn,n'=AA'+BB'+CC'A2+B2+C2.A'2+B'2+C'2.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến là n1=2;1;1 , mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến là n2=1;0;1.

Ta có cosP,Q=n1.n2n1.n2=2+0+14+1+1.1+1=32 .

Suy ra ((P), (Q)) = 30°.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(1; 0; 0), N(0; 1; 0) và P(0; 0; 1). Côsin của góc giữa hai mặt phẳng (MNP) và mặt phẳng (Oxy) bằng bao nhiêu?

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

Mặt phẳng (MNP) có một vectơ pháp tuyến là n=MN,MP=1;1;1 .

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là k=0;0;1 .

Khi đó cosMNP,Oxy=1.0+1.0+1.112+12+12=13 .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – y – z – 3 = 0 và (Q): x – z – 2 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

n1=2;-1;-1, n2=1;0;-1 là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Khi đó cosP,Q=2.11.0+1.122+12+12.12+02+12=32  => φ = 30°.

Quảng cáo

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): 2x + 2y + z = 0 và (β): x + z + 3 = 0. Góc giữa hai mặt phẳng (α) và (β) là

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

n1=2;2;1, n2=1;0;1 là vectơ pháp tuyến của (α) và (β).

Khi đó cosα,β=2.1+2.0+1.122+22+12.12+02+12=22=> φ = 45°.

Bài 3. Góc giữa hai mặt phẳng (P): 8x – 4y – 8z – 11 = 0 và (Q): 2x-2y+7=0 bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

n1=8;-4;-8, n2=2;-2;0 là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Khi đó cosP,Q=8.2+4.28.082+42+82.22+22=12  => φ = 45°.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Góc giữa hai mặt phẳng Oxy và Oxz bằng 90°.

Bài 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (P): x + y – z – 11 = 0 và (Q): 2x + 2y – 2z + 7 = 0 bằng

A. 0°;

B. 45°;

C. 180°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

n1=1;1;-1, n2=2;2;-2 là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

Suy ra n2=2n1 . Do đó góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) là 0°.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt có hai vectơ pháp tuyến nPnQ. Biết góc giữa hai vectơ nPnQ bằng 120°. Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng

A. 60°;

B. 120°;

C. 90°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi φ là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Do nP,nQ=120°>90°  => φ = 180° - 120° = 60°.

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – 2y + 2z – 1 = 0 và (Q): 2x + 2y – z – 3 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.

A. -49;

B. 49;

C. 23;

D. -23.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

n1=1;-2;2, n2=2;2;-1 là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

cosα=1.2+2.2+2.112+22+22.22+22+12=49

 

Bài 8. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + 2y – z + 2 = 0 và (Q): 2x – y – z + 4 = 0. Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q). Tính cosα.

A. 23;

B. 34;

C. 16;

D. 13.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

n1=1;2;-1, n2=2;-1;-1 là vectơ pháp tuyến của (P) và (Q).

cosα=1.2+2.1+1.16.6=16

Bài 9. Trong không gian Oxyz, góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P): x – y + 1 = 0 bằng

A. 60°;

B. 135°;

C. 45°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

j=0;1;0,n1;1;0  lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxz) và (P).

Gọi α là góc giữa hai mặt phẳng (Oxz) và (P), ta có:

 cosα=1.0+1.1+0.02=12  α = 45°.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x – y – 6 = 0 và (Q). Biết rằng điểm H(2; -1; -2) là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ O(0; 0; 0) xuống mặt phẳng (Q). Số đo góc giữa hai mặt phẳng (P) và mặt phẳng (Q) bằng

A. 45°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt phẳng (P) có một vectơ pháp tuyến n1=1;1;0 .

Vì OH (Q) nên mặt phẳng (Q) nhận OH=2;1;2  làm một vectơ pháp tuyến.

Ta có cosP,Q=1.2+1.1+0.212+12.22+12+22=12   ((P), (Q)) = 45°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học