Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước.

Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Mặt cầu (S) có đường kính AB thì

+) Tâm I(a; b; c) là trung điểm của AB hay $I\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$ .

+) Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{\left(x_B-x_A\right)}^2+{\left(y_B-y_A\right)}^2+{\left(z_B-z_A\right)}^2}}{2}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4).

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có đường kính AB với A(4; 6; 8) và B(2; 4; 4) nên có tâm I(3; 5; 6) là trung điểm của AB và bán kính $R=AI=\sqrt{6}$ .

Vậy mặt cầu (S) có phương trình là (x – 3)² + (y – 5)² + (z – 6)² = 6.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{AO}=\left(-1;-2;3\right)$  và $\overrightarrow{BO}=\left(-7;-4;-5\right)$ . Viết phương trình mặt cầu đường kính AB.

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{AO}=\left(-1;-2;3\right)\Rightarrow A\left(1;2;-3\right)$ ; $\overrightarrow{BO}=\left(-7;-4;-5\right)\Rightarrow B\left(7;4;5\right)$ .

Phương trình mặt cầu đường kính AB thì tâm là trung điểm của AB => I(4; 3; 1).

Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{{\left(7-1\right)}^2+{\left(4-2\right)}^2+{\left(5+3\right)}^2}}{2}=\frac{\sqrt{104}}{2}$ .

Phương trình mặt cầu (x – 4)² + (y – 3)² + (z – 1)² = 26.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, phương trình của mặt cầu có đường kính AB với A(2; 1; 0) và B(0; 1; 2) là

A. (x – 1)² + (y − 1)² + (z – 1)² = 4;

B. (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 2;

C. (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 4;

D. (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có tọa độ tâm I(1; 1; 1) và bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(-2\right)}^2+2^2}=\sqrt{2}$ .

Do đó phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 2.

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; −2; 7), B(−3; 8; −1). Mặt cầu đường kính AB có phương trình là

A. (x + 1)² + (y − 3)² + (z – 3)² = $\sqrt{45}$ ;

B. (x − 1)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 45;

C. (x − 1)² + (y − 3)² + (z + 3)² = $\sqrt{45}$ ;

D. (x + 1)² + (y − 3)² + (z − 3)² = 45.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi I là trung điểm AB ta có I(−1; 3; 3) là tâm mặt cầu.

Bán kính $R=IA=\sqrt{{\left(1+1\right)}^2+{\left(-2-3\right)}^2+{\left(7-3\right)}^2}=\sqrt{45}$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)² + (y − 3)² + (z − 3)² = 45.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(1; 1; 1) và B(1; −1; 3). Phương trình mặt cầu có đường kính AB là

A. (x − 1)² + y² + (z – 2)² = 8;

B. (x − 1)² + y² + (z − 2)² = 2;

C. (x + 1)² + y² + (z + 2)² = 2;

D. (x + 1)² + y² + (z + 2)² = 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi I là tâm của mặt cầu đường kính AB. Khi đó I(1; 0; 2).

Bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(-1-1\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{2}$.

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)² + y² + (z − 2)² = 2.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 4; 1), B(−2; 2; −3). Phương trình mặt cầu đường kính AB là

A. x² + (y − 3)² + (z – 1)² = 36;

B. x² + (y + 3)² + (z − 1)² = 9;

C. x² + (y − 3)² + (z + 1)² = 9;

D. x² + (y − 3)² + (z + 1)² = 36.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tâm của mặt cầu là trung điểm I của AB $\Rightarrow$ I(0; 3; −1).

Bán kính $R=IA=\sqrt{2^2+1^2+2^2}=3$ .

Mặt cầu đã cho có tâm I, đường kính AB có phương trình x² + (y − 3)² + (z + 1)² = 9.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; −1; −3), B(0; 3; −1). Phương trình của mặt cầu đường kính AB là:

A. (x + 1)² + (y + 1)² + (z – 2)² = 6;

B. (x − 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 24;

C. (x + 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 24;

D. (x − 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tâm I(1; 1; −2) là trung điểm của AB, bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{1}{2}\sqrt{4+16+4}=\frac{1}{2}\sqrt{24}$

Phương trình mặt cầu cần lập là (x − 1)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 6.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(7; −2; 2) và B(1; 2; 4). Phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu đường kính AB?

A. (x − 4)² + y² + (z – 3)² = 14;

B. (x − 4)² + y² + (z − 3)² = $2\sqrt{14}$ ;

C. (x − 7)² + (y + 2)² + (z − 2)² = 14;

D. (x − 4)² + y² + (z − 3)² = 56.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu nhận AB làm đường kính, do đó mặt cầu nhận trung điểm I(4; 0; 3) của AB làm tâm và có bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{56}}{2}$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x − 4)² + y² + (z − 3)² = 14.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(3; −2; 5), N(−1; 6; −3). Mặt cầu đường kính MN có phương trình là:

A. (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 6;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 6;

C. (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 36;

D. (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 36.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Tâm I của mặt cầu là trung điểm của MN $\Rightarrow$ I(1; 2; 1).

Bán kính mặt cầu $R=\frac{MN}{2}=\frac{\sqrt{{\left(-1-3\right)}^2+{\left(6+2\right)}^2+{\left(-3-5\right)}^2}}{2}=6$ .

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 36.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm M(6; 2; −5), N(−4; 0; 7). Viết phương trình mặt cầu đường kính MN.

A. (x + 5)² + (y + 1)² + (z − 6)² = 62;

B. (x − 5)² + (y − 1)² + (z + 6)² = 62;

C. (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 1)² = 62;

D. (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 62.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu có tâm là trung điểm của MN $\Rightarrow I\left(1;1;1\right)$ .

Bán kính mặt cầu R = IM = $\sqrt{62}$ .

Phương trình mặt cầu là (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 62.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−2; 1; 0), B(2; −1; 2). Phương trình của mặt cầu có đường kính AB là

A. x² + y² + (z − 1)² = 24;

B. x² + y² + (z − 1)² = $\sqrt{6}$ ;

C. x² + y² + (z − 1)² = 6;

D. x² + y² + (z − 1)² = $\sqrt{24}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt cầu đường kính AB có tâm I(0; 0; 1) là trung điểm của AB và mặt cầu có bán kính $R=\frac{AB}{2}=\frac{\sqrt{4^2+{\left(-2\right)}^2+2^2}}{2}=\sqrt{6}$ .

Vậy phương trình mặt cầu là x² + y² + (z − 1)² = 6.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(2; 1; 1), B(0; 3; −1). Mặt cầu (S) có đường kính AB có phương trình là

A. x² + (y − 2)² + z² = 3;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + z² = 3;

C. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 9;

D. (x − 1)² + (y − 2)² + z² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tâm I là trung điểm AB => I(1; 2; 0) và bán kính $R=IA=\sqrt{3}$.

Phương trình mặt cầu: (x − 1)² + (y − 2)² + z² = 3.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm
• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn
• Tính xác suất có điều kiện
• Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây

---