Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn.

Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt kiến thức về phương trình mặt cầu vào giải quyết các bài toán liên quan đến thực tiễn.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz (đơn vị của các trục tọa độ là km), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm I(6; −2; 4).

a) Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 3 km. Viết phương trình mặt cầu (S) biểu diễn ranh giới của vùng phủ sóng.

b) Một người sử dụng điện thoại tại điểm M(5; 2; −2). Hãy cho biết điểm M nằm trong hay nằm ngoài mặt cầu (S) và người đó có thể dử dụng được dịch vụ của trạm nói trên hay không?

Hướng dẫn giải:

a) Trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm I(6; −2; 4).

Do đó mặt cầu (S) có tâm I(6; −2; 4) và bán kính R = 3 có phương trình là:

(x – 6)² + (y + 2)² + (z – 4)² = 9.

b) Ta có $\overrightarrow{IM}=\left(-1;4;6\right)\Rightarrow IM=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+4^2+{\left(-6\right)}^2}=\sqrt{53}>R$ .

Do đó điểm M nằm ngoài mặt cầu (S) và người đó không thể sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên.

Ví dụ 2. Phần mềm mô phỏng thiết bị thám hiểm đại dương có dạng hình cầu trong không gian Oxyz. Cho biết tọa độ tâm mặt cầu là I(360; 200; 400) và bán kính R = 2m. Viết phương trình mặt cầu.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu tâm I(360; 200; 400) và bán kính R = 2 là:

(x – 360)² + (y – 200)² + (z – 400)² = 4.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz (đơn vị đo là cm), mặt sàn nhà đa năng thuộc mặt phẳng Oxy. Một quả cầu bằng nhựa nằm trên mặt sàn nhà đa năng và có tâm I(12; 20; 50). Khi đó, mặt ngoài của quả cầu nhựa (S) có phương trình là:

A. (x – 12)² + (y − 20)² + (z – 50)² = 12²;

B. (x + 12)² + (y + 20)² + (z + 50)² = 12²;

C. (x − 12)² + (y − 20)² + (z − 50)² = 20²;

D. (x − 12)² + (y − 20)² + (z − 50)² = 50².

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do quả cầu nằm trên mặt sàn nha đa năng nên mặt ngoài của quả cầu tiếp xúc với mặt phẳng Oxy.

Ta có d(I, (Oxy)) = R = 50.

Vậy mặt ngoài của quả cầu (S) có phương trình là

(x – 12)² + (y – 20)² + (z – 50)² = 50².

Bài 2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km), một ngọn hải đăng được đặt ở vị trí I(1; 5; 5) như hình vẽ. Ngọn hải đăng được thiết kế với bán kính phủ sáng là 5 km.

Một người đi biển di chuyển theo đường thẳng từ vị trí I(1; 5; 5) đến vị trí A(7; 14; 11). Điểm nào sau đây mà người đi biển đi qua và vẫn thuộc vùng phủ sáng của ngọn hải đăng.

A. M(3; 8; 7);

B. N(0; 4; 8);

C. P(7; 3; 0);

D. (7; 11; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu để mô tả ranh giới bên ngoài của vùng phủ sáng trong không gian là: (x – 1)² + (y – 5)² + (z – 5)² = 25.

Ta có $\overrightarrow{IM}=\left(2;3;2\right),\overrightarrow{IA}=\left(6;9;6\right)=3\overrightarrow{IM}$

Và $IM=\sqrt{{\left(3-1\right)}^2+{\left(8-5\right)}^2+{\left(7-5\right)}^2}=\sqrt{17}<5$nên điểm M nằm trong mặt cầu.

Vậy người đi biển đi qua điểm M mà vẫn thuộc vùng phủ sáng.

Bài 3. Một máy Rađa có tầm hoạt động với bán kính tối đa là 20 km. Ta xét trong không gian Oxyz với tâm O là vị trí máy Rađa, 1 đơn vị dài trong không gian tương ứng với 10 km trên thực tế. Hỏi trong không gian Oxyz trên, vật thể có tọa độ tương ứng với đáp án nào dưới đây sẽ bị Rađa phát hiện?

A. M(1; 0; 2);

B. N(2; −1; 1);

C. P(1; 1; $\sqrt{2}$ );

D. (3; 0; 0).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta thấy quỹ đạo của Rađa là một khối cầu giới hạn bởi mặt cầu (S) có tâm là vị trí Rađa có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 2.

Do đó ta có phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² = 4.

Vật thể bắt đầu bị phát hiện khi nó nằm trong hoặc trên mặt cầu (S).

Trong các đáp án trên thì ta thấy đáp án C thỏa mãn phương trình mặt cầu (S) các đáp án còn lại đều nằm ngoài (S).

Bài 4. Trong không gian Oxyz (đơn vị trên các trục tọa độ là km), một trạm thu phát sóng điện thoại di động có đầu thu phát được đặt tại điểm I(−6; −1; 4). Cho biết bán kính phủ sóng của trạm là 2 km. Người sử dụng điện thoại đứng ở điểm nào sau đây thì sử dụng được dịch vụ của trạm nói trên?

A. A(−4; 0; 2);

B. B(−5; −2; 5);

C. C(−6; 2; 2);

D. D(0; −1; 4).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có IA = 3 > 2, $IB=\sqrt{3}<2,IC=\sqrt{13}>2,ID=6>2$.

Vậy người đứng tại điểm B nằm trong mặt cầu sẽ sử dụng được dịch vụ của trạm thu phát sóng điện thoại di động.

Bài 5. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, bề mặt của một quả bóng thám không dạng hình cầu có phương trình x² + y² + z² – 200x – 600y – 4000z + 4099900 = 0. Tìm tâm và bán kính mặt cầu.

A. Tâm I(100; 300; 2000), R = 100;

B. Tâm I(−100; −300; −2000), R = 10;

C. Tâm I(100; 300; 2000), R = 10;

D. Tâm I(−100; −300; −2000), R = 100.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Tâm của mặt cầu là I(100; 300; 2000),

Bán kính $R=\sqrt{{100}^2+{300}^2+{2000}^2-4099900}=10$ .

Bài 6. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục là km) một trạm phát sóng điện thoại của nhà mạng Viettel được đặt ở vị trí I(−1; 2; 3) và được thiết kế bán kính phủ sóng là 5000 m. Phương trình mặt cầu biểu diễn ranh giới cùng phủ sóng là:

A. (x + 1)² + (y − 2)² + (z – 3)² = 25;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25;

C. (x + 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25000000;

D. (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 25000000.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Tâm mặt cầu có tọa độ I(−1; 2; 3).

Bán kính mặt cầu R = 5000 m = 5 km.

Vậy phương trình mặt cầu mô tả vùng phủ sóng của trạm phát sóng là

(x + 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 25.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, đặt 4 thiết bị thu tín hiệu tại 4 điểm có tọa độ lần lượt là A(−2; 3; 5), B(0; 2; 8), C(1; −3; 7), D(4; 1; 0). Đặt thiết bị phát tín hiệu tại điểm nào sau đây để 4 thiết bị thu tín hiệu cùng một thời điểm?

A. $I\left(\frac{453}{262};\frac{117}{262};\frac{1047}{262}\right)$;

B. $I\left(-\frac{453}{262};-\frac{117}{262};-\frac{1047}{262}\right)$;

C. $I\left(\frac{453}{131};\frac{117}{131};\frac{1047}{131}\right)$;

D. $I\left(-\frac{453}{131};-\frac{117}{131};-\frac{1047}{131}\right)$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Để 4 thiết bị thu tín hiệu cùng một thời điểm thì điểm phát tín hiệu phải cách đều 4 điểm A, B, C, D.

Vậy điểm phát tín hiệu sẽ đặt tại tâm I của mặt cầu đi qua 4 điểm A, B, C, D.

Giả sử phương trình mặt cầu đó là x² + y² + z² + Ax + By + Cz + D = 0 ta có hệ phương trình:

 $\left\{\begin{array}{l}-2A+3B+5C+D=-38\\ 2B+8C+D=-68\\ A-3B+7C+D=-59\\ 4A+B+D=-17\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}A=-\frac{453}{131}\\ B=-\frac{117}{131}\\ C=-\frac{1047}{131}\\ D=-\frac{298}{131}\end{array}\right.$$\Rightarrow$ tâm $I\left(\frac{453}{262};\frac{117}{262};\frac{1047}{262}\right)$ .

Bài 8. Trong không gian Oxyz, một thiết bị phát sóng đặt tại vị trí I(1; 0; −1). Vùng phủ sóng của thiết bị có ranh giới là một mặt cầu bán kính bằng $\sqrt{2}$. Điểm nào sau đây thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

A. A(1; 0; 1);

B. B(1; 1; −1);

C. C(−2; 0; 1);

D. (1; −2; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{IB}=\left(0;1;0\right)\Rightarrow$ IB = 1 < R nên điểm B(1; 1; −1) nằm bên trong mặt cầu trên.

Suy ra điểm B thuộc vùng phủ sóng của thiết bị.

Bài 9. Một vệ tinh quay quanh Trái Đất với độ cao so với mặt đất là 18900 km. Ta xét trong không gian Oxyz với tâm O là tâm Trái Đất, 1 đơn vị dài trong không gian Oxyz tương ứng với 6300 km trên thực tế. Biết bán kính Trái Đất khoảng 6300 km. Phương trình biểu diễn quỹ đạo chuyển động của vệ tính đó là

A. x² + y² + z² = 4;

B. x² + y² + z² = 16;

C. x² + y² + z² = 2;

D. x² + y² + z² = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Khoảng cách từ tâm Trái Đất đến vị tinh là 18900 + 6300 = 25200 tương ứng bằng 4 đơn vị.

Ta thấy quỹ đạo chuyển động của vệ tinh quanh Trái Đất là một mặt cầu có tâm là tâm Trái Đất có tọa độ là O(0; 0; 0) và bán kính R = 4.

Do đó phương trình mặt cầu là x² + y² + z² = 16.

Bài 10. Khi đặt hệ tọa độ Oxyz vào không gian với đơn vị trên trục tính theo km, người ta thấy rằng một không gian phủ sóng điện thoại có dạng một hình cầu (S) (tập hợp những điểm nằm trong và nằm trên mặt cầu tương ứng). Biết mặt cầu (S) có phương trình x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 5 = 0. Khoảng cách xa nhất giữa hai vùng phủ sóng là bao nhiêu km?

A. 9;

B. 3;

C. 6;

D. 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 5 = 0 $\iff$ (x – 1)² + (y – 2)² + (z – 3)² = 3².

Khoảng cách xa nhất gữa hai điểm thuộc vùng phủ sóng là đường kính của mặt cầu, tức là 6 km.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Tính xác suất có điều kiện
• Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
• Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần
• Các bài toán liên quan đến công thức Bayes

---