Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng.

Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(a; b; c) và tiếp xúc với (P): Ax + By + Cz + D = 0.

+) $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|A.a+B.b+C.c+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

+) Viết phương trình mặt cầu tâm I(a; b; c) và R.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy).

Hướng dẫn giải:

Do mặt cầu (S) tiếp xúc với (Oxy) $\Rightarrow R=d\left(I;\left(Oxy\right)\right)=1$.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 1.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho B(1; 1; 9), C(1; 4; 0). Viết phương trình mặt cầu (S) đi qua B và tiếp xúc với (Oxy) tại C.

Hướng dẫn giải:

Gọi I(a; b; c) là tâm mặt cầu (S).

Vì (S) tiếp xúc với mặt phẳng (Oxy) tại C(1; 4; 0) nên hình chiếu của I lên mặt phẳng (Oxy) là H(a; b; 0) trùng với C.

Do đó a = 1; b = 4 và I(1; 4; c).

Lại có IB² = IC² $\iff$ 3² + (c – 9)² = c² $\iff$ −18c + 90 = 0 $\iff$ c = 5.

Vậy phương trình mặt cầu cần tìm là (x – 1)² + (y – 4)² + (z – 5)² = 25.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2; 1; 1) và mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + 1 = 0. Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) là:

A. (x – 2)² + (y − 1)² + (z – 1)² = 4;

B. (x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 9;

C. (x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 3;

D. (x − 2)² + (y − 1)² + (z − 1)² = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $R=d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.2-1+2.1+1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=2$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x – 2)² + (y − 1)² + (z – 1)² = 4.

Bài 2. Cho A(1; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 3). Mặt cầu có tâm là gốc tọa độ O, tiếp xúc với mặt phẳng (ABC) có bán kính bằng

A. $\sqrt{\frac{6}{7}}$;

B. $\frac{6}{7}$;

C. $\frac{49}{36}$;

D. $\frac{7}{6}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt phẳng (ABC): $\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$$\iff$ 6x + 3y + 2z – 6 = 0.

Có $R=d\left(O,\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|6\right|}{\sqrt{6^2+3^2+2^2}}=\frac{6}{7}$.

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(1; 2; −1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – 8 = 0.

A. (x + 1)² + (y + 2)² + (z – 1)² = 3;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 3;

C. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 9;

D. (x + 1)² + (y + 2)² + (z − 1)² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|1-2.2-2.\left(-1\right)-8\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=3$.

Do đó phương trình mặt cầu (S): (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 9.

Bài 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình của mặt cầu có tâm I(−1; 1; 2) và tiếp xúc với mặt phẳng (P): 2x – y – 3z – 5 = 0.

A. (x − 1)² + (y + 1)² + (z + 2)² = $\sqrt{14}$;

B. (x + 1)² + (y − 1)² + (z − 2)² = 14;

C. (x + 1)² − (y − 1)² − (z − 2)² = 14;

D. (x + 1) + (y + 2) + (z – 1) = 14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.\left(-1\right)-1-3.2-5\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}}=\sqrt{14}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x + 1)² + (y − 1)² + (z − 2)² = 14.

Bài 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I(−1; 2; 1) và tiếp xúc với mặt phẳng (P) có phương trình x – 2y – 2z – 2 = 0 là:

A. (x + 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 3;

B. (x + 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 9;

C. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 3;

D. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 1)² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $R=d\left(I,\left(P\right)\right)=\frac{\left|-1-2.2-2.1-2\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-2\right)}^2}}=3$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x + 1)² + (y − 2)² + (z − 1)² = 9.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho điểm I(3; 4; 2). Phương trình mặt cầu tâm I và tiếp xúc với trục Oz là

A. (x − 3)² + (y − 4)² + (z − 2)² = 16;

B. (x − 3)² + (y − 4)² + (z − 2)² = 4;

C. (x − 3)² + (y − 4)² + (z − 2)² = 5;

D. (x − 3)² + (y − 4)² + (z − 2)² = 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên trục Oz, suy ra H(0; 0; 2).

Ta có $\overrightarrow{HI}=\left(3;4;0\right)$.

Mặt cầu tâm I và tiếp xúc trục Oz có bán kính:

$R=d\left(I,Oz\right)=HI=\sqrt{3^2+4^2+0^2}=5$

Suy ra phương trình mặt cầu: (x − 3)² + (y − 4)² + (z − 2)² = 25.

Bài 7. Phương trình mặt cầu (S) có tâm O, tiếp xúc với mặt phẳng (α): 16x – 15y – 12z + 75 = 0 là

A. x² + y² + z² – 3x = 9;

B. x² + y² + z² = 3;

C. x² + y² + z² = 81;

D. x² + y² + z² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $R=d\left(O,\left(\alpha \right)\right)=\frac{\left|75\right|}{\sqrt{{16}^2+{\left(-15\right)}^2+{\left(-12\right)}^2}}=3$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: x² + y² + z² = 9.

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, mặt cầu tâm I(2; 1; −3) và tiếp xúc với trục Oy có phương trình là:

A. (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 4;

B. (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 13;

C. (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 9;

D. (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi H là hình chiếu của I lên trục Oy $\Rightarrow$ H(0; 1; 0).

Khi đó R = d(I, Oy) = IH = $\sqrt{{\left(-2\right)}^2+3^2}=\sqrt{13}$.

Phương trình mặt cầu cần lập là: (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 13.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu đi qua điểm A(1; −1; 4) và tiếp xúc với các mặt phẳng tọa độ.

A. (x − 3)² + (y + 3)² + (z + 3)² = 16;

B. (x − 3)² + (y + 3)² + (z − 3)² = 9;

C. (x + 3)² + (y − 3)² + (z + 3)² = 36;

D. (x + 3)² + (y − 3)² + (z − 3)² = 49.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi I(a; b; c) là tâm của mặt cầu cần tìm.

Theo đề ta có $\left\{\begin{array}{l}d\left(I,\left(Oxy\right)\right)=d\left(I,\left(Oxz\right)\right)=d\left(I,\left(Oyz\right)\right)\\ d\left(I,\left(Oyz\right)\right)=IA\end{array}\right.$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\left|a\right|=\left|b\right|=\left|c\right|\\ a=\sqrt{{\left(1-a\right)}^2+{\left(-1-b\right)}^2+{\left(4-c\right)}^2}\end{array}\right.$.

$\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=-3\\ c=3\end{array}\right.$

Suy ra mặt cầu cần lập có tâm I(3; −3; 3) và R = 3 có phương trình là

(x − 3)² + (y + 3)² + (z − 3)² = 9.

Bài 10. Trong không gian hệ trục tọa độ Oxyz, cho điểm A(−2; 0; 1). Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với với mặt phẳng (Oxy) là

A. (x + 2)² + y² + z² = 1;

B. (x − 2)² + y² + (z − 1)² = 5;

C. (x − 2)² + y² + (z − 1)² = 4;

D. (x + 2)² + y² + (z − 1)² = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có R = d(A, (Oxy)) = 1.

Suy ra phương trình mặt cầu cần lập có phương trình là:

(x + 2)² + y² + (z − 1)² = 1.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn
• Tính xác suất có điều kiện
• Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
• Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần
• Các bài toán liên quan đến công thức Bayes

---