Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây.

Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Xây dựng sơ đồ cây theo mẫu (hình bên dưới) và xác định xác suất trên mỗi nhánh.

Tính P(A $\cap$ B) bằng xác suất của lộ trình (O – A – B).

Tính P(B) bằng tổng xác suất của 2 lộ trình dẫn đến B là (O – A – B) và (O -$\overline{A}$ - B)

+) Xác suất của các nhánh trong sơ đồ hình cây từ đỉnh thứ hai là xác suất có điều kiện.

+) Xác suất xảy ra của mỗi kết quả bằng tích xác xác suất trên các nhanh của cây đi đến kết quả đó.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Số khán giả đến xem buổi biểu diễn ca nhạc ngoài trời phụ thuộc vào thời tiết. Giả sử, nếu trời không mưa thì xác suất để bán hết vé là 0,9 còn nếu trời mưa thì xác suất để bán hết vé chỉ là 0,35. Dự báo thời tiết cho thấy xác suất để trời mưa vào buổi biểu diễn là 0,7. Tính xác suất để trời mưa và bán hết vé.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố “Trời mưa”, B là biến cố “bán hết vé”.

Ta có P(A) = 0,7 suy ra $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=0,3$ .

Ta có sơ đồ hình cây như sau

Khi đó P(AB) = 0,35.0,7 = 0,245.

Ví dụ 2. Một trường trung học cơ sở ở Hà Nội tiến hành khảo sát tỉ lệ đỗ vào lớp 10 trường công lập năm 2024 của học sinh khối 9. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ đỗ vào lớp 10 là 85% đối với học sinh có học lực khá giỏi và 10% đối với học sinh còn lại. Tỉ lệ học sinh có học lực khá giỏi là 80%. Gặp ngẫu nhiên một học sinh của trường đó đã tốt nghiệp THCS năm 2024. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của các biến cố:

C: “Học sinh có học lực khá giỏi và đỗ vào lớp 10 trường công lập”;

D: “Học sinh có học lực không khá giỏi và đỗ vào lớp 10 trường công lập”.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố “Học sinh có học lực khá giỏi” và B là biến cố “Học sinh đỗ vào lớp 10 trường công lập”.

Ta có P(A) = 0,8; P(B|A) = 0,85; $P\left(\overline{B}|A\right)=0,15$ .

Suy ra $P\left(\overline{A}\right)=0,2;P\left(B|\overline{A}\right)=0,1;P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=0,9$ .

Ta có sơ đồ hình cây như sau:

Do C = AB nên P(C) = 0,85.0,8 = 0,68.

Do $D=\overline{A}B$ nên P(D) = 0,1.0,2 = 0,02.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho sơ đồ cây bên dưới

Giá trị $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)$ bằng

A. 0,2;

B. 0,4;

C. 0,3;

D. 0,5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Dựa vào sơ đồ hình cây ta có $P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=0,2$ .

Bài 2. Cho sơ đồ cây bên dưới

Giá trị của biểu thức $T=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}$ bằng

A. $\frac{3}{7}$ ;

B. $\frac{6}{7}$ ;

C. $\frac{12}{35}$ ;

D. $\frac{9}{35}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

$T=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{P\left(AB\right)}{P\left(\overline{A}\right)}=\frac{0,3.0,6}{0,7}=\frac{9}{35}$.

Bài 3. Cho sơ đồ hình cây như hình vẽ

Dựa vào sơ đồ hình cây trên, tính xác suất để biến cố $P\left(B\overline{A}\right)$ xảy ra

A. 0,62;

B. 0,32;

C. 0,48;

D. 0,06.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $P\left(B\overline{A}\right)=0,8.0,6=0,48$ .

Bài 4. Cho sơ đồ hình cây như sau

Dựa vào sơ đồ hình cây trên, tính xác suất để biến cố $P\left(\overline{B}\overline{A}\right)$ xảy ra

A. 0,36;

B. 0,12;

C. 0,51;

D. 0,24.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $P\left(\overline{B}\overline{A}\right)=0,6.0,6=0,36$ .

Bài 5. Theo kết quả từ trạm nghiên cứu khí hậu tại địa phương X, xác suất để có một ngày mưa là 0,6; nếu ngày có mưa thì xác suất có sương mù là 0,4; nếu ngày không có mưa thì xác suất có sương mù là 0,2. Gọi A là biến cố “Ngày có mưa” và B là biến cố “Ngày có sương mù”. Tính các xác suất ngày có mưa nhưng không có sương mù.

A. 0,51;

B. 0,12;

C. 0,36;

D. 0,24.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có sơ đồ cây như sau:

Xác suất để ngày có mưa nhưng không có sương mù là $P\left(A\overline{B}\right)=0,6.0,6=0,36$ .

Bài 6. Trong một lớp học, tổ I có 6 bạn nam và 4 bạn nữ, tổ II có 4 bạn nam và 5 bạn nữ. Thấy giáo chủ nhiệm chuyển chỗ 1 học sinh từ tổ I sang tổ II và sau đó chuyển 1 học sinh từ tổ II sang tổ I. Sử dụng sơ đồ hình cây, tính xác suất của biến cố C: “Sau khi chuyển chỗ, tổ I có 5 bạn nam và 5 bạn nữ”.

A. 0,53;

B. 0,3;

C. 0,36;

D. 0,25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Để tổ I có 5 bạn nam và 5 bạn nữ khi có 1 bạn nam chuyển từ tổ I sang tổ II và 1 bạn nữ chuyển từ tổ II sang tổ I.

Gọi A là biến cố “bạn chuyển từ tổ I sang tổ II là bạn nam” và B là biến cố “Bạn chuyển từ tổ II sang tổ I là bạn nữ”.

Ta có $P\left(A\right)=\frac{6}{10}=0,6;P\left(B|A\right)=\frac{5}{10}=0,5\Rightarrow P\left(\overline{B}|A\right)=0,5$ .

$P\left(\overline{A}\right)=\frac{4}{10}=0,4;P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{6}{10}=0,6\Rightarrow P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=0,4$.

Ta có sơ đồ hình cây

Khi đó P(C) = P(AB) = 0,5.0,6 = 0,3.

Bài 7. Ở các sân bay, người ta sử dụng một máy soi tự động để phát hiện hàng cấm trong vali và hành lý kí gửi của hành khách. Máy phát chuông cảnh báo với 95% các kiện hành lí có chứa hàng cấm và 2% các kiện hành lí không chứa hàng cấm. Tỉ lệ các kiện hành lí có chứa hàng cấm là 0,1%. Chọn ngẫu nhiên một kiện hành lí để soi bằng máy trên. Tính xác suất của các biến cố N “Kiện hành lí không chứa hàng cấm và máy phát chuông cảnh báo”.

A. 0,91886;

B. 0,71244;

C. 0,86323;

D. 0,01998.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Gọi biến cố A “Kiện hành lý chứa hàng cấm” và B là biến cố “Máy phát chuông cảnh báo”.

Ta có sơ đồ hình cây sau:

Khi đó $N=\overline{A}B\Rightarrow P\left(N\right)=P\left(\overline{A}B\right)=0,999.0,02=0,01998$ .

Bài 8. Hộp thứ nhất có 4 viên bi xanh và 6 viên bi đỏ. Hộp thứ hai có 5 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ. Các viên bi có cùng kích thước và khối lượng. Lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất chuyển sang hộp thứ hai. Sau đó lại lấy ra ngẫu nhiên 1 viên bi từ hộp thứ hai. Tính xác suất của biến cố “Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất có màu xanh và viên bi lấy ra từ hộp thứ hai có màu đỏ”.

A. 0,56;

B. 0,14;

C. 0,16;

D. 0,65.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi M là biến cố “Lấy ra viên bi từ hộp thứ 1 có màu xanh”;

N là biến cố “Lấy ra viên bi từ hộp thứ 2 có màu xanh”.

Ta có sơ đồ hình cây:

Khi đó $P\left(A\right)=P\left(M\overline{N}\right)=0,4.0,4=0,16$ .

Bài 9. Một trường đại học tiến hành khảo sát tình trạng việc làm sau khi tốt nghiệp của sinh viên. Kết quả khảo sát cho thấy tỉ lệ người tìm được việc làm đúng chuyên ngành là 85% đối với sinh viên tốt nghiệp loại giỏi và 70% đối với sinh viên tốt nghiệp loại khác. Tỉ lệ sinh viên tốt nghiệp loại giỏi là 30%. Gặp ngẫu nhiên một sinh viên đã tốt nghiệp của trường. Tính xác suất của các biến cố D: “Sinh viên không tốt nghiệp loại giỏi và tìm được việc làm đúng chuyên ngành”.

A. 0,44;

B. 0,49;

C. 0,72;

D. 0,83.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi A: “Sinh viên tốt nghiệp loại giỏi” và B: “Sinh viên làm đúng chuyên ngành”.

Ta có sơ đồ hình cây

Khi đó P(D) = P($\overline{A}B$ ) = 0,7.0,7 = 0,49.

Bài 10. Một học sinh làm 2 bài tập kế tiếp. Xác suất làm đúng bài thứ nhất là 0,7. Nếu làm đúng bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,8. Nhưng nếu làm sai bài thứ nhất thì khả năng làm đúng bài thứ hai là 0,2. Tính xác suất học sinh đó làm đúng cả hai bài?

A. 0,56;

B. 0,14;

C. 0,16;

D. 0,65.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi A là biến cố: “Làm đúng bài thứ nhất”; B là biến cố: “Làm đúng bài thứ hai”.

Khi đó biến cố AB: “Làm đúng cả hai bài”.

Theo bài ta có P(A) = 0,7; P(B|A) = 0,8; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,2$ .

Do đó $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,7=0,3$ ;$P\left(\overline{B}|A\right)=1-P\left(B|A\right)=1-0,8=0,2$ ;

$P\left(\overline{B}|\overline{A}\right)=1-P\left(B|\overline{A}\right)=1-0,2=0,8$.

Ta có sơ đồ hình cây như sau

Vậy P(AB) = 0,8.0,7 = 0,56.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn
• Tính xác suất có điều kiện
• Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần
• Các bài toán liên quan đến công thức Bayes

---