Các bài toán liên quan đến công thức Bayes lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Các bài toán liên quan đến công thức Bayes lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Các bài toán liên quan đến công thức Bayes.

Các bài toán liên quan đến công thức Bayes lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Giả sử A và B là hai biến cố ngẫu nhiên thỏa mãn P(A) > 0 và 0 < P(B) < 1. Khi đó:

$P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)}$

Công thức trên gọi là công thức Bayes.

Chú ý: Với P(A) > 0, $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$ cũng được gọi là công thức Bayes.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Kết quả khảo sát tại một xã cho thấy có 20% cư dân hút thuốc lá. Tỉ lệ cư dân thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp trong số những người hút thuốc lá và không hút thuốc là lần lượt là 70%, 15%.

a) Nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp là bao nhiêu?

b) Nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp xác suất người đó có hút thuốc lá là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Giả sử ta gặp một cư dân của xã, gọi A là biến cố: “Người đó có hút thuốc lá” và B là biến cố: “Người đó thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp”.

Ta có sơ đồ hình cây sau:

a) Ta có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,14+0,12=0,26$.

Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thì xác suất người đó thường xuyên gặp các vẫn đề sức khỏe về đường hô hấp là 26%.

b) Theo công thức Bayes, ta có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,14}{0,26}\approx 0,54$.

Vậy nếu ta gặp một cư dân của xã thường xuyên gặp các vấn đề sức khỏe về đường hô hấp thì xác suất người đó có hút thuốc lá là khoảng 54%.

Ví dụ 2. Trong một trường học, tỉ lệ học sinh nữ là 52%. Tỉ lệ học sinh nữ và tỉ lệ học sinh nam tham gia câu lạc bộ nghệ thuật lần lượt là 18% và 15%. Gặp ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Biết rằng học sinh có tham gia câu lạc bộ nghệ thuật. Tính xác suất học sinh đó là nam.

Hướng dẫn giải:

Gọi A là biến cố: “Học sinh được chọn là nữ”, B là biến cố: “Học sinh được chọn tham gia câu lạc bộ nghệ thuật”.

Theo đề ta có P(A) = 0,52; $P\left(\overline{A}\right)=1-P\left(A\right)=1-0,52=0,48$;

P(B|A) = 0,18; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,15$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,52.0,18+0,48.0,15=\frac{207}{1250}$.

Ta có cần tính $P\left(\overline{A}|B\right)$.

Áp dụng công thức Bayes, ta có: $P\left(\overline{A}|B\right)=\frac{P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,48.0,15}{\frac{207}{1250}}=\frac{10}{23}$.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Nếu hai biến cố A, B thỏa mãn P(A) = 0,3; P(B) = 0,6 và P(A|B) = 0,4 thì P(B|A) bằng

A. 0,5;

B. 0,6;

C. 0,8;

D. 0,2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Theo công thức Bayes, ta có $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,6.0,4}{0,3}=0,8$.

Bài 2. Cho hai biến cố A và B, với P(A) = 0,2; P(B|A) = 0,7; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,15$. Tính P(A|B).

A. $\frac{7}{13}$;

B. $\frac{6}{13}$;

C. $\frac{4}{13}$;

D. $\frac{9}{13}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có P(A) = 0,2 $\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=0,8$.

Ta có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,2.0,7+0,8.0,15=0,26$.

Theo công thức Bayes $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,2.0,7}{0,26}=\frac{7}{13}$.

Bài 3. Người ta điều tra thấy ở một địa phương nọ có 3% tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe. Người ta nhận thấy khi tài xế lái xe gây ra tai nạn thì có 21% là do tài xế sử dụng điện thoại. Hỏi việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên bao nhiêu lần?

A. 3;

B. 7;

C. 5;

D. 6.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố “Tài xế sử dụng điện thoại di động khi lái xe”,

B là biến cố “Tài xế lái xe gây tai nạn”.

Khi đó P(A) = 3% = 0,03; P(A|B) = 21% = 0,21.

Theo công thức Bayes: $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}$$\Rightarrow \frac{P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,21}{0,03}=7$.

Vậy việc sử dụng điện thoại di động khi lái xe làm tăng xác suất gây tai nạn lên 7 lần.

Bài 4. Có hai hộp đựng các viên bi. Hộp thứ nhất đựng 5 bi đỏ và 3 bi vàng, hộp thứ hai đựng 4 bi đỏ và 2 bi vàng. Đầu tiên lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai, sau đó lấy ngẫu nhiên một bi từ hộp thứ hai. Tìm xác suất để lần thứ nhất lấy được bi đỏ biết rằng khi lấy bi từ hộp thứ hai thì thu được bi đỏ.

A. $\frac{15}{28}$;

B. $\frac{17}{28}$;

C. $\frac{25}{37}$;

D. $\frac{27}{34}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi biến cố A: “Lấy bi đỏ từ hộp thứ nhất bỏ sang hộp thứ hai”;

Biến cố B: “Lấy được bi đỏ từ hộp thứ hai”.

Ta có $P\left(A\right)=\frac{5}{8};P\left(B|A\right)=\frac{5}{7};P\left(\overline{A}\right)=\frac{3}{8};P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{4}{7}$.

Có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{5}{8}.\frac{5}{7}+\frac{3}{8}.\frac{4}{7}=\frac{37}{56}$.

Vì vậy $P\left(A|B\right)=\frac{\frac{5}{8}.\frac{5}{7}}{\frac{37}{56}}=\frac{25}{37}$.

Bài 5. Một bệnh viên có hai phòng khám X và Y với khả năng lựa chọn của bệnh nhân là như nhau. Tỉ lệ bệnh nhân nam có ở phòng X và phòng Y lần lượt là 60% và 40%. Một người bệnh được chọn ngẫu nhiên từ hai phòng khám và biết người này là nam, xác suất để người bệnh đến từ phòng khám X là

A. 0,6;

B. 0,5;

C. 0,4;

D. 0,3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Biến cố A: “Bệnh nhân đến từ phòng khám X”; biến cố B: “Bệnh nhân là nam”.

Ta có P(A) = 0,5; P(B|A) = 0,6; $P\left(\overline{A}\right)=0,5;P\left(B|\overline{A}\right)=0,4$.

Khi đó $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,5.0,6+0,5.0,4=0,5$.

Xác suất cần tính: $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,5.0,6}{0,5}=0,6$.

Bài 6. Trường Phan Đình Phùng có 20% học sinh tham gia câu lạc bộ thể thao, trong số học sinh đó có 85% học sinh biết chơi bóng đá. Ngoài ra, có 10% số học sinh không tham gia câu lạc bộ thể thao cũng biết chơi bóng đá. Chọn ngẫu nhiên 1 học sinh của trường. Giả sử học sinh đó biết chơi bóng đá. Tính xác suất chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao?

A. 0,8;

B. 0,25;

C. 0,86;

D. 0,68.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Biến cố A: “Chọn được học sinh thuộc câu lạc bộ thể thao”;

Biến cố B: “Chọn được học sinh biết chơi bóng đá”.

Theo đề ta có P(A) = 0,2; $P\left(\overline{A}\right)=0,8$; P(B|A) = 0,85; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,1$.

Theo công thức xác suất toàn phần, ta có:

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,2.0,85+0,8.0,1=0,25$.

Theo công thức Bayes, ta có $P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(B\right)}=\frac{0,2.0,85}{0,25}=0,68$.

Bài 7. Từ một hộp có 50 quả cầu trắng và 100 quả cầu đen. Người ta rút ngẫu nhiên không hoàn lại từng quả một và rút hai lần. Xác suất để lần đầu rút được quả trắng biết lần thứ hai cũng rút được quả trắng là $\frac{a}{b}$ ($\frac{a}{b}$ là phân số tối giản). Tính b – a.

A. 1;

B. 2;

C. 100;

D. −100.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố “Lần đầu rút được quả màu trắng”;

B là biến cố “Lần thứ hai rút được quả màu trắng”.

Theo đề $P\left(A\right)=\frac{1}{3};P\left(\overline{A}\right)=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3};$; $P\left(B|A\right)=\frac{C_{49}^1}{C_{149}^1}=\frac{49}{149}$$P\left(B|\overline{A}\right)=\frac{C_{50}^1}{C_{149}^1}=\frac{50}{149}$.

Áp dụng công thức Bayes, ta có

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}=\frac{\frac{1}{3}.\frac{49}{149}}{\frac{1}{3}.\frac{49}{149}+\frac{2}{3}.\frac{50}{149}}=\frac{49}{149}$.

Suy ra a = 49; b = 149. Do đó b – a = 100.

Bài 8. Trong một đợt khảo sát về nguy cơ mắc bệnh tim mạch, người ta thấy rằng tại thành phố X, tỷ lệ người dân có lối sống ít vận động là 25%, tỷ lệ người bị bệnh tim trong số người ít vận động là 60% , trong số người có lối sống tích cực là 10%. Hỏi khi gặp một người bị bệnh tim tại thành phố này thì xác suất người đó có lối sống ít vận động là bao nhiêu (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)?

A. 0,23;

B. 0,32;

C. 0,67;

D. 0,36.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi A là biến cố “Người đó có lối sống ít vận động”;

B là biến cố “Người đó bị bệnh tim”.

Theo giả thiết ta có: P(A) = 0,25 $\Rightarrow P\left(\overline{A}\right)=0,75$; P(B|A) = 0,6; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,1$.

Áp dụng công thức xác suất toàn phần

$P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,25.0,6+0,75.0,1=0,225$.

Theo công thức Bayes, ta có

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}=\frac{0,25.0,6}{0,225}=\frac{2}{3}\approx 0,67$.

Như vậy khi gặp một người bị bệnh tim tại thành phố này thì xác suất người đó có lối sống ít vận động là 0,67.

Bài 9. Hai máy tự động sản xuất cùng một loại chi tiết, trong đó máy I sản xuất 35%, máy II sản xuất 65% tổng sản lượng. Tỉ lệ phế phẩm của các máy lần lượt là 0,3% và 0,7%. Chọn ngẫu nhiên 1 sản phẩm từ kho. Tính xác suất để chọn được phế phấm do máy I sản xuất?

A. 0,0056;

B. 0,1875;

C. 0,1785;

D. 0,1587.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Gọi A là biến cố “Sản phẩm được chọn do máy I sản xuất”;

B là biến cố “Sản phẩm được chọn là phế phẩm”.

Theo đề ta có P(A) = 0,35; $P\left(\overline{A}\right)=0,65$; P(B|A) = 0,003; $P\left(B|\overline{A}\right)=0,007$.

Có $P\left(B\right)=P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)=0,0056$.

Theo công thức Bayes, có

$P\left(A|B\right)=\frac{P\left(A\right).P\left(B|A\right)}{P\left(A\right).P\left(B|A\right)+P\left(\overline{A}\right).P\left(B|\overline{A}\right)}=0,1875$.

Bài 10. Một bệnh viện sử dụng một xét nghiệm để phát hiện một loại bệnh với độ chính xác là 95% (nghĩa là 95% bệnh nhân mắc bệnh sẽ có kết quả dương tính). Xét nghiệm này cũng có tỷ lệ dương tính giả là 2% (nghĩa là 2% bệnh nhân không mặc bệnh cũng có kết quả dương tính). Biết rằng 1% dân số thực sự mắc bệnh này. Nếu một người nhận kết quả xét nghiệm dương tính, xác suất thực sự người đó mắc bệnh là bao nhiêu?

A. Khoảng 32%;

B. Khoảng 47%;

C. Khoảng 83%;

D. Khoảng 95%.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi B là biến cố “Người đó mắc bệnh”,

A là biến cố “Người đó được xét nghiệm có kết quả dương tính”.

Theo đề, P(B) = 1% = 0,01 $\Rightarrow P\left(\overline{B}\right)=1-0,01=0,99$;

P(A|B) = 95% = 0,95; $P\left(A|\overline{B}\right)=2\%=0,02$.

Có $P\left(A\right)=P\left(B\right).P\left(A|B\right)+P\left(\overline{B}\right).P\left(A|\overline{B}\right)$ = 0,01.0,95 + 0,02.0,99 = 0,0293.

Suy ra $P\left(B|A\right)=\frac{P\left(B\right).P\left(A|B\right)}{P\left(A\right)}=\frac{0,95.0,01}{0,0293}\approx 0,3242$.

Vậy xác suất người đó thực sự mắc bệnh là khoảng 32%.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn
• Tính xác suất có điều kiện
• Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
• Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần

---