Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng.

Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Gọi (S) có dạng x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 (*).

+) Thay tọa độ 4 điểm A, B, C, D vào (*) thì ta được hệ phương trình với 4 ẩn số a, b, c, d.

+) Giải tìm a, b, c, d.

+) Suy ra tâm I(a; b; c), bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(6; 0; 0), B(0; 4; 0) và C(0; 0; 2). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Do O, A, B, C $\in$ (S) $\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}d=0\\ 36-12a+d=0\\ 16-8b+d=0\\ 4-4c+d=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}d=0\\ a=3\\ b=2\\ c=1\end{array}\right.$ .

$R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\sqrt{14}$.

Mặt cầu có tâm I(3; 2; 1) và $R=\sqrt{14}$  có phương trình

(x – 3)² + (y – 2)² + (z – 1)² = 14.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, nếu mặt cầu (S) đi qua bốn điểm M(2; 2; 2), N(4; 0; 2), P(4; 2; 0) và Q(4; 2; 2) thì tâm I của (S) có tọa độ là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì M, N, P, Q $\in$(S) nên ta có hệ phương trình

 $\left\{\begin{array}{l}{2}^2+2^2+2^2-4a-4b-4c+d=0\\ 4^2+0^2+2^2-8a-4c+d=0\\ 4^2+2^2+0^2-8a-4b+d=0\\ 4^2+2^2+2^2-8a-4b-4c+d=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=3\\ b=1\\ c=1\\ d=8\end{array}\right.$

$\Rightarrow$ I(3; 1; 1) là tâm mặt cầu (S).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho 4 điểm A(1; 1; 0), B(3; 1; 2), C(−1; 1; 2), D(1; −1; 2). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. (x – 1)² + (y − 1)² + (z – 2)² = 4;

B. (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 4;

C. (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 2)² = 2;

D. (x + 1)² + (y + 1)² + (z + 2)² = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}2a+2b-d=2\\ 6a+2b+4c-d=14\\ -2a+2b+4c-d=6\\ 2a-2b+4c-d=6\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=1\\ c=2\\ d=2\end{array}\right.$.

Vậy (x − 1)² + (y − 1)² + (z − 2)² = 4.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC biết A(−2; 1; 3), B(1; −1; 0), C(2; 0; 1).

A. $x^2+y^2+z^2+\frac{1}{7}x+\frac{15}{7}y-\frac{37}{7}z=0$ ;

B. $x^2+y^2+z^2+\frac{1}{14}x+\frac{15}{14}y-\frac{37}{14}z=0$ ;

C. $x^2+y^2+z^2+\frac{1}{7}x-\frac{15}{7}y+\frac{37}{7}z=0$ ;

D. $x^2+y^2+z^2-\frac{1}{14}x-\frac{15}{14}y+\frac{37}{14}z=0$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì O, A, B, C $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}d=0\\ 4a-2b-6c+d=-14\\ -2a+2b+d=-2\\ -4a-2c+d=-5\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{1}{14}\\ b=-\frac{15}{14}\\ c=\frac{37}{14}\\ d=0\end{array}\right.$.

Vậy phương trình mặt cầu cần lập: $x^2+y^2+z^2+\frac{1}{7}x+\frac{15}{7}y-\frac{37}{7}z=0$ .

Bài 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 4). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC (O là gốc tọa độ).

A. x² + y² + z² – 2x + 4y – 4z = 0;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 2)² = 9;

C. (x − 2)² + (y − 4)² + (z − 4)² = 20;

D. x² + y² + z² + 2x – 4y + 4z = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì O, A, B, C $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-4a+d=-4\\ -8b+d=-16\\ -8c+d=-16\\ d=0\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=2\\ d=0\end{array}\right.$.

Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=3$ .

Do đó (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 2)² = 9.

Bài 4. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(6; −2; 3), B(0; 1; 6), C(2; 0; −1), D(4; 1; 0). Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. x² + y² + z² + 4x − 2y + 6z – 3 = 0;

B. 2x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z – 3 = 0;

C. x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z – 3 = 0;

D. x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-12a+4b-6c+d=-49\\ -2b-12c+d=-37\\ -4a+2c+d=-5\\ -8a-2b+d=-17\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=-1\\ c=3\\ d=-3\end{array}\right.$.

Vậy phương trình mặt cầu: x² + y² + z² − 4x + 2y − 6z – 3 = 0.

Bài 5. Cho bốn điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; 1), D(1; 1; 1). Mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có phương trình là:

A. ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$ ;

B. ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$ ;

C. ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$ ;

D. ${\left(x+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y+\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-2a+d=-1\\ -2b+d=-1\\ -2c+d=1\\ -2a-2b-2c+d=-3\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{2}\\ d=0\end{array}\right.$.

Bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Vậy phương trình mặt cầu: ${\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(y-\frac{1}{2}\right)}^2+{\left(z-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{3}{4}$ .

Bài 6. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(1; 0; 0), B(0; 1; 0), C(0; 0; −1), D(2; −1; 1). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. x² + y² + z² + 5x + 5y − 5z – 6 = 0;

B. $x^2+y^2+z^2+\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}z-6=0$ ;

C. x² + y² + z² +5x + 5y − 5z + 6 = 0;

D. $x^2+y^2+z^2+\frac{5}{2}x+\frac{5}{2}y-\frac{5}{2}z+6=0$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-2a+d=-1\\ -2b+d=-1\\ 2c+d=-1\\ -4a+2b-2c+d=-6\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{5}{2}\\ b=-\frac{5}{2}\\ c=\frac{5}{2}\\ d=-6\end{array}\right.$.

Vậy mặt cầu (S): x² + y² + z² + 5x + 5y − 5z – 6 = 0.

Bài 7. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD biết A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1;1; 1). Khẳng định nào sau đây là sai?

A. x² + y² + z² + 3x + y − z – 6 = 0;

B. (S) có tâm $I\left(\frac{-3}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$ ;

C. (S) có tâm $I\left(\frac{3}{2};\frac{1}{2};-\frac{1}{2}\right)$;

D. (S) có bán kính $R=\frac{\sqrt{35}}{2}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-2a-2b+d=-2\\ -4b-2c+d=-5\\ -2a-4c+d=-5\\ -2a-2b-2c+d=-3\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=-\frac{3}{2}\\ b=-\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{2}\\ d=-6\end{array}\right.$.

Do đó mặt cầu có tâm $I\left(\frac{-3}{2};-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right)$  và $R=\frac{\sqrt{35}}{2}$ .

Suy ra phương trình mặt cầu cần tìm là x² + y² + z² + 3x + y − z – 6 = 0.

Bài 8. Trong không gian Oxyz cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 4; 0), C(0; 0; 6), D(2; 4; 6). Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD.

A. x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z = 0;

B. x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z = 0;

C. x² + y² + z² − x − 2y − 3z = 0;

D. x² + y² + z² + x + 2y + 3z = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-4a+d=-4\\ -8b+d=-16\\ -12c+d=-36\\ -4a-8b-12c+d=-56\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=1\\ b=2\\ c=3\\ d=0\end{array}\right.$.

Do đó (S): x² + y² + z² − 2x − 4y − 6z = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(1; 1; 2) là

A. x² + y² + z² + x + y + z – 2 = 0;

B. x² + y² + z² − x − y – z + 2 = 0;

C. x² + y² + z² − x − y – z − 2 = 0;

D. x² + y² + z² + x + y + z − 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$ (S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-4a+d=-4\\ -4b+d=-4\\ -4c+d=-4\\ -2a-2b-4c+d=-6\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{2}\\ b=\frac{1}{2}\\ c=\frac{1}{2}\\ d=-2\end{array}\right.$.

Vậy phương trình mặt cầu (S): x² + y² + z² − x − y – z − 2 = 0.

Bài 10. Gọi (S) là mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD với A(0; 1; 0), B(4; 1; 0), C(2; 3; 0), D(2; 1; −2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (x + 2)² + (y + 1)² + z² = 4;

B. (S) có tâm là I(2;1; 0);

C. (S) có tâm là I(−2; −1; 0);

D. (x − 2)² + (y − 1)² + z² = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có dạng:

x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0  (a² + b² + c² – d > 0).

Vì A, B, C, D $\in$(S) nên ta có hệ phương trình

$\left\{\begin{array}{l}-2b+d=-1\\ -8a-2b+d=-17\\ -4a-6b+d=-13\\ -4a-2b+4c+d=-9\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}a=2\\ b=1\\ c=0\\ d=1\end{array}\right.$.

Vậy I(2; 1; 0), R = 2.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn
• Tính xác suất có điều kiện
• Tính xác suất có điều kiện bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
• Các bài toán liên quan đến công thức xác suất toàn phần

---