Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm.

Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và đi qua điểm A(x_A; y_A; z_A) thì bán kính

$R=IA=\sqrt{{\left(x_A-a\right)}^2+{\left(y_A-b\right)}^2+{\left(z_A-c\right)}^2}$.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm M(3; 1; −4) và đi qua điểm N(1; 0; 1).

Hướng dẫn giải:

Mặt cầu (S) có tâm M(3; 1; −4) và đi qua điểm N(1; 0; 1) nên có bán kính $R=MN=\sqrt{30}$ .

Mặt cầu (S) có phương trình là: (x – 3)² + (y – 1)² + (z + 4)² = 30.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz cho hai điểm I(1; 1; 1) và A(1; 2; 3). Viết phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A.

Hướng dẫn giải:

Ta có $R=IA=\sqrt{{\left(1-1\right)}^2+{\left(2-1\right)}^2+{\left(3-1\right)}^2}=\sqrt{5}$.

Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua A là (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 1)² = 5.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(1; −4; 3) và đi qua điểm A(5; −3; 2).

A. (x – 1)² + (y − 4)² + (z – 3)² = 18;

B. (x – 1)² + (y − 4)² + (z – 3)² = 16;

C. (x − 1)² + (y + 4)² + (z − 3)² = 16;

D. (x − 1)² + (y + 4)² + (z − 3)² = 18.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $R=IA=3\sqrt{2}$.

Phương trình mặt cầu cần tìm là (x – 1)² + (y + 4)² + (z – 3)² = 18.

Bài 2. Phương trình nào sau đây là phương trình mặt cầu (S) có tâm A(2; 1; 0) đi qua điểm B(0; 1; 2).

A. (x + 2)² + (y + 1)² + z² = 8;

B. (x – 2)² + (y − 1)² + z² = 8;

C. (x − 2)² + (y − 1)² + z² = 64;

D. (x + 2)² + (y + 1)² + z² = 64.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $R=AB=2\sqrt{2}$ .

Phương trình mặt cầu cần lập là (x – 2)² + (y − 1)² + z² = 8.

Bài 3. Trong không gian Oxyz cho điểm I(2; 3; 4) và A(1; 2; 3). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là

A. (x + 2)² + (y + 3)² + (z + 4)² = 3;

B. (x + 2)² + (y + 3)² + (z + 4)² = 9;

C. (x − 2)² + (y − 3)² + (z – 4)² = 45;

D. (x − 2)² + (y − 3)² + (z – 4)² = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $R=IA=\sqrt{3}$.

Phương trình mặt cầu tâm I(2; 3; 4) và R = IA = là

(x − 2)² + (y − 3)² + (z – 4)² = 3.

Bài 4. Trong không gian Oxyz cho điểm I(1; 2; −3) và A(1; 0; 4). Phương trình mặt cầu tâm I và đi qua A có phương trình là

A. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = $\sqrt{53}$ ;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 53;

C. (x + 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 53;

D. (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 53.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $R=IA=\sqrt{53}$.

Do đó phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 53.

Bài 5. Mặt cầu (S) tâm I(4; −1; 2) và đi qua A(1; −2; −4) có phương trình là:

A. (x − 1)² + (y + 2)² + (z + 4)² = 46;

B. (x − 4)² + (y − 1)² + (z − 2)² = $\sqrt{46}$;

C. (x − 4)² + (y + 1)² + (z – 2)² = $\sqrt{46}$;

D. (x − 4)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 46.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $R=IA=\sqrt{46}$.

Mặt cầu (S) tâm I(4; −1; 2) và đi qua A(1; −2; −4) có phương trình là

(x − 4)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 46.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(2; 4; −1) và A(0; 2; 3). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua điểm A là

A. (x − 2)² + (y − 4)² + (z + 1)² = $2\sqrt{6}$;

B. (x + 2)² + (y + 4)² + (z − 1)² = 24;

C. (x + 2)² + (y + 4)² + (z – 1)² = $2\sqrt{6}$;

D. (x − 2)² + (y − 4)² + (z + 1)² = 24.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có $R=IA=\sqrt{24}$ .

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 2)² + (y − 4)² + (z + 1)² = 24.

Bài 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) tâm I(1; −1; 2). Tìm phương trình mặt cầu (S) biết mặt cầu đi qua điểm A(3; 1; 3).

A. (x − 3)² + (y − 1)² + (z − 3)² = 9;

B. (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 3;

C. x² + y² + z² – 2x + 2y – 4z – 3 = 0;

D. x² + y² + z² – 2x + 2y – 4z + 3 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có R = IA = 3.

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 1)² + (y + 1)² + (z − 2)² = 9

$\iff$ x² + y² + z² – 2x + 2y – 4z – 3 = 0.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) có tâm I(2; 1; −2) và đi qua điểm A(1; 2; 3). Phương trình của mặt cầu là

A. x² + y² + z² + 4x − 2y + 4z – 18 = 0;

B. x² + y² + z² – 2x − 4y – 6z – 13 = 0;

C. x² + y² + z² – 4x − 2y + 4z – 18 = 0;

D. x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z − 13 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có R = IA =$\sqrt{27}$ .

Phương trình mặt cầu là: (x – 2)² + (y – 1)² + (z + 2)² = 27

Ûx² + y² + z² – 4x − 2y + 4z – 18 = 0.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3) và đi qua điểm A(3; −4; 4).

A. (x + 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = 11;

B. (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 11;

C. (x + 2)² + (y − 1)² + (z + 3)² = $\sqrt{11}$ ;

D. (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = $\sqrt{11}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có R = IA = $\sqrt{11}$

Phương trình mặt cầu cần tìm là: (x − 2)² + (y + 1)² + (z − 3)² = 11.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai điểm I(1; −2; 3) và M(0; 1; 5). Phương trình mặt cầu có tâm I và đi qua M là

A. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 14;

B. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 14;

C. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = $\sqrt{14}$;

D. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = $\sqrt{14}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có R = IM = $\sqrt{14}$.

Vậy phương trình mặt cầu là (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 14.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn
• Tính xác suất có điều kiện

---