Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước.

Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R có phương trình là:

(x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(−1; 2; −3), bán kính R = 3.

Hướng dẫn giải:

Phương trình mặt cầu có tâm I(−1; 2; −3), bán kính R = 3 có phương trình là:

(x + 1)² + (y – 2)² + (z + 3)² = 9.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, viết phương trình mặt cầu có tâm I(0; −4; 1), đường kính bằng 4.

Hướng dẫn giải:

Đường kính của mặt cầu bằng 4 nên bán kính R = 2.

Phương trình của mặt cầu tâm I(0; −4; 1) là x² + (y + 4)² + (z – 1)² = 4.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong các phương trình sau, phương trình nào là phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 3.

A. (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 3;

B. (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 9;

C. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 3;

D. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 3 là:

(x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 9.

Bài 2. Trong hệ trục tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu I(2; 1; −2) bán kính R = 2 là

A. (x – 2)² + (y − 1)² + (z – 2)² = 2²;

B. x² + y² + z² – 4x – 2y + 4z + 5 = 0;

C. x² + y² + z² + 4x – 2y + 4z + 5 = 0;

D. (x − 2)² + (y − 1)² + (z + 2)² = 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Phương trình mặt cầu I(2; 1; −2) bán kính R = 2 là

(x – 2)² + (y – 1)² + (z + 2)² = 2² $\iff$ x² + y² + z² – 4x – 2y + 4z + 5 = 0.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(−1; 2; 0) đường kính bằng 10 có phương trình là

A. (x – 1)² + (y + 2)² + z² = 100;

B. (x + 1)² + (y − 2)² + z² = 100;

C. (x + 1)² + (y − 2)² + z² = 25;

D. (x − 1)² + (y + 2)² + z² = 25.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường kính bằng 10 nên bán kính R = 5.

Phương trình mặt cầu tâm I(−1; 2; 0), bán kính R = 5 là (x + 1)² + (y − 2)² + z² = 25.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, mặt cầu có tâm I(2; 3; −6) và bán kính bằng 4 có phương trình là

A. (x – 2)² + (y − 3)² + (z + 6)² = 16;

B. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 6)² = 16;

C. (x + 2)² + (y + 3)² + (z – 6)² = 4;

D. (x − 2)² + (y − 3)² + (z + 6)² = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu có tâm I(2; 3; −6) và bán kính bằng 4 có phương trình là

(x – 2)² + (y − 3)² + (z + 6)² = 16.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; −2), bán kính R = 4.

A. (x + 1)² + y² + (z − 2)² = 4;

B. (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 4;

C. (x − 1)² + y² + (z + 2)² = 16;

D. (x + 1)² + y² + (z − 2)² = 16.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 0; −2), bán kính R = 4 là

(x − 1)² + y² + (z + 2)² = 16.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 1.

A. (x − 1)² + (y – 2)² + (z − 3)² = 1;

B. (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 1;

C. (x − 1)² + (y – 2)² + (z − 3)² = 1;

D. (x − 1)² – (y – 2)² + (z − 3)² = 1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3), bán kính R = 1 là

(x − 1)² + (y – 2)² + (z − 3)² = 1.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 2 là

A. x² + 3y² + 3z² = 4;

B. (x + 1)² + (y − 2)² + (z + 3)² = 4;

C. (x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 4;

D. (x − 1)² – (y + 2)² + (z − 3)² = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Phương trình mặt cầu tâm I(1; −2; 3), bán kính R = 2 là

(x − 1)² + (y + 2)² + (z − 3)² = 4.

Bài 8. Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3 là

A. (x − 1)² + (y − 2)² + (z – 3)² = 9;

B. (x − 1)² + (y − 2)² + (z − 3)² = 3;

C. (x + 1)² + (y + 2)² + (z + 3)² = 9;

D. x² + y² + z² + 2x + 4y + 6z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu tâm I(1; 2; 3) và bán kính R = 3 là

(x − 1)² + (y − 2)² + (z – 3)² = 9 $\iff$x² + y² + z² – 2x – 4y – 6z + 5 = 0.

Bài 9. Phương trình mặt cầu tâm I(0; 0; −3) và bán kính R = 5 là

A. x² + y² + (z + 3)² = 25;

B. x² + y² + (z + 3)² = 5;

C. x² + y² + (z − 3)² = 25;

D. x² + y² + (z − 3)² = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình mặt cầu tâm I(0; 0; −3) và bán kính R = 5 là x² + y² + (z + 3)² = 25.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, phương trình nào dưới đây là phương trình mặt cầu tâm I(−1; 0; 3), bán kính R = $\sqrt{5}$ .

A. (x + 1)² + y² + (z − 3)² = $\sqrt{5}$ ;

B. (x − 1)² + y² + (z − 3)² = 5;

C. (x − 1)² + y² + (z + 3)² = 5;

D. (x + 1)² + y² + (z − 3)² = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Phương trình mặt cầu tâm I(−1; 0; 3), bán kính R =$\sqrt{5}$  là (x + 1)² + y² + (z − 3)² = 5.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm
• Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng
• Vận dụng phương trình mặt cầu vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tiễn

---