Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian.

Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

•  Loại 1: (x – a)² + (y – b)² + (z – c)² = R².

Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính R.

•  Loại 2: x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0

Mặt cầu có tâm I(a; b; c) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$  (với điều kiện a² + b² + c² – d > 0).

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, xác định tọa độ tâm và bán kính của các mặt cầu sau:

a) (x – 1)² + (y + 2)² + z² = 9.

b) x² + (y – 1)² + z² = 2.

Hướng dẫn giải:

a) Mặt cầu có tâm I(1; −2; 0); R = 3.

b) Mặt cầu có tâm I(0; 1; 0); $R=\sqrt{2}$ .

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho các phương trình sau:

a) 2x² + 2y² = (x + y)² – z² + 2x – 1 – 2xy.

b) x² + y² + z² – 2x + 2y = 0.

Trong các phương trình trên phương trình nào là phương trình mặt cầu? tìm tâm và bán kính của mặt cầu đó.

Hướng dẫn giải:

a) Ta có 2x² + 2y² = (x + y)² – z² + 2x – 1 – 2xy

$\iff$ 2x² + 2y² = x² + y² + 2xy – z² + 2x – 1 – 2xy

$\iff$ x² + y² + z² – 2x + 1 = 0

$\iff$ (x −1)² + y² + z² = 0  không là phương trình mặt cầu.

b) x² + y² + z² – 2x + 2y = 0

$\iff$ (x – 1)² + (y + 1)² + z² = 2 là phương trình mặt cầu.

Có I(1; −1; 0) và $R=\sqrt{2}$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + (y – 2)² + (z + 1)² = 6. Đường kính của mặt cầu (S) bằng

A. 3;

B. $\sqrt{6}$ ;

C. $2\sqrt{6}$ ;

D. 12.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường kính của (S) bằng $2R=2\sqrt{6}$ .

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 2)² + (y + 1)² + (z – 3)² = 4. Tâm của (S) có tọa độ là

A. (−2; 1; −3);

B. (−4; 2; −6);

C. (4; −2; 6);

D. (2; −1; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(2; −1; 3).

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + (z – 3)² = 16. Tâm của (S) có tọa độ là

A. (−1; −2; −3);

B. (1; 2; 3);

C. (−1; 2; −3);

D. (1; −2; 3).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt cầu (S) có tâm I(1; −2; 3).

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + (y – 2)² + z² = 9. Bán kính của (S) bằng

A. 6;

B. 18;

C. 3;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Bán kính của (S) là R = 3.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + (z – 2)² = 16. Bán kính của (S) bằng

A. 4;

B. 32;

C. 16;

D. 8.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Bán kính của (S) là R = 4.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): (x + 3)² + (y + 1)² + (z – 1)² = 2. Tâm của (S) có tọa độ là

A. (3; −1; 1);

B. (−3; −1; 1);

C. (−3; 1; −1);

D. (3; 1; −1).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Tâm của (S) có tọa độ là (−3; −1; 1).

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x – 2z – 7 = 0. Bán kính của mặt cầu đã cho bằng

A. 3;

B. $\sqrt{15}$ ;

C. $\sqrt{7}$ ;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Mặt cầu có tâm I(−1; 0; 1) và bán kính $R=\sqrt{{\left(-1\right)}^2+0^2+1^2+7}=3$  .

Bài 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0. Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu (S).

A. I(−4; 1; 0), R = 2;

B. I(−4; 1; 0), R = 4;

C. I(4; −1; 0), R = 2;

D. I(4; −1; 0), R = 4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

x² + y² + z² – 8x + 2y + 1 = 0 $\iff$ (x – 4)² + (y + 1)² + z² = 16.

Vậy mặt cầu (S) có tâm I(4; −1; 0) và bán kính R = 4.

Bài 9. Cho mặt cầu (S): x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0. Tính bán kính R của mặt cầu (S).

A. 3;

B. $\sqrt{3}$ ;

C. $3\sqrt{3}$ ;

D. 9.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

x² + y² + z² – 2x + 4y + 2z – 3 = 0$\iff$ (x – 1)² + (y + 2)² + (z + 1)² = 9.

Vậy bán kính của mặt cầu (S) là R = 3.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu (S): x² + y² + z² + 2x – 4y – 2z – 3 = 0. Tọa độ tâm I của mặt cầu (S) là:

A. (−1; 2; 1);

B. (2; −4; −2);

C. (1; −2; −1);

D. (−2; 4; 2).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Phương trình x² + y² + z² – 2ax – 2by – 2cz + d = 0 có tâm I(a; b; c) và bán kính $R=\sqrt{a^2+b^2+c^2-d}$ .

Ta có a = −1; b = 2; c = 1. Do đó I(−1; 2; 1).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm
• Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và tiếp xúc với một mặt phẳng

---