Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế.

Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt công thức tính góc trong không gian vào các bài toán thực tế.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, với mặt phẳng (Oxy) là mặt đất, một máy bay cất cánh từ vị trí A(0; 10; 0) với vận tốc $\overrightarrow{v}=\left(150;150;40\right)$ . Tính góc nâng của máy bay (góc giữa hướng chuyển động bay lên của máy bay với đường băng và làm tròn kết quả đến hàng đơn vị).

Hướng dẫn giải:

Gọi $△$ là đường thẳng biểu thị cho hướng chuyển động bay lên của máy bay.

Có $\overrightarrow{v}=\left(150;150;40\right)=10\left(15;15;4\right)$.

Ta có $△$ nhận $\overrightarrow{u}=\left(15;15;4\right)$  làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Gọi φ là góc giữa đường thẳng $△$ và mặt phẳng (Oxy).

Suy ra $\sin \phi =\frac{\left|15.0+15.0+4.1\right|}{\sqrt{{15}^2+{15}^2+4^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{\sqrt{466}} \Rightarrow$ φ ≈ 11°.

Ví dụ 2. Trên một cánh đồng điện năng lượng mặt trời, người ta đã thiết lập sẵn một hệ tọa độ Oxyz. Hai tấm pin năng lượng lần lượt nằm trong hai mặt phẳng (P): 2x + 2z + 1 = 0 và (P'): x + z + 7 = 0.

Hướng dẫn giải:

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(2;0;2\right),\overrightarrow{n_2}\left(1;0;1\right)$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (P').

Có $\cos \left(\left(P\right),\left(P^{\text{'}}\right)\right)=\frac{\left|2.1+0.0+2.1\right|}{\sqrt{2^2+0^2+2^2}.\sqrt{1^2+0^2+1^2}}=\frac{4}{4}=1$.

Suy ra ((P), (P')) = 0°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, một cabin cáp treo xuất phát từ điểm A(10; 3; 0) và chuyển động đều theo đường cáp có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$ với tốc độ là 4,5 m/s. Cabin dừng ở điểm B. Đường cáp AB tạo với mặt phẳng (Oxy) một góc bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 19°;

B. 20°;

C. 21°;

D. 22°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng AB có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(2;-2;1\right)$ và (Oxy) có một vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Do đó $\sin \left(AB,\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|2.0+\left(-2\right).0+1.1\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-2\right)}^2+1^2}.\sqrt{1^2}}=\frac{1}{3}$  => (AB, (Oxy)) ≈ 19°.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, đường băng của một sân bay thuộc mặt phẳng (Oxy). Một máy bay cất cánh tại điểm A(1; 2; 0) với vectơ vận tốc $\overrightarrow{v}=\left(0;\sqrt{3};1\right)$. Góc cất cánh của máy bay bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Trong khoảng thời gian ngắn đó, máy bay chuyển động trên đường thẳng $∆$ đi qua A nhận $\overrightarrow{v}=\left(0;\sqrt{3};1\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (Oxy) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Ta có $\sin \left(\Delta ,\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|\overrightarrow{v}.\overrightarrow{k}\right|}{\left|\overrightarrow{v}\right|.\left|\overrightarrow{k}\right|}=\frac{1}{2}\Rightarrow$ (D, (Oxy)) = 30°.

Bài 3. Trong khung lưới ô vuông, đường thẳng a đi qua M(1; 1; 2) và N(0; 3; 0), đường thẳng b đi qua P(1; 0; 3) và Q(3; 3; 9). Góc giữa hai đường thẳng a và b bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 60°;

B. 68°;

C. 86°;

D. 44°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng a nhận $\overrightarrow{MN}=\left(-1;2;-2\right)$  làm vectơ chỉ phương, đường thẳng b nhận $\overrightarrow{PQ}=\left(2;3;6\right)$  làm vectơ chỉ phương.

Do đó  $\cos \left(a,b\right)=\frac{\left|\overrightarrow{MN}.\overrightarrow{PQ}\right|}{\left|\overrightarrow{MN}\right|.\left|\overrightarrow{PQ}\right|}=\frac{8}{21}\Rightarrow$ (a, b) ≈ 68°.

Bài 4. Trên một sườn núi, cây thông tại O(0; 0; 0), dây neo buộc tại A(5; -3; 1), B(-3; -4; 2), và C(0; 0; 5). Góc giữa dây neo CA và mặt phẳng (OAB) là bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 40°;

B. 36°;

C. 73°;

D. 63°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(5;-3;1\right),\overrightarrow{OB}=\left(-3;-4;2\right)$ .

Mặt phẳng (OAB) nhận $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{OA},\overrightarrow{OB}\right]=\left(-2;-13;-29\right)$  là một vectơ pháp tuyến.

Mặt khác $\overrightarrow{CA}=\left(5;-3;-4\right)$  nên ta có:

$\sin \left(CA,\left(OAB\right)\right)=\frac{\left|5.\left(-2\right)+\left(-3\right).\left(-13\right)+\left(-4\right).\left(-29\right)\right|}{\sqrt{5^2+{\left(-3\right)}^2+{\left(-4\right)}^2}.\sqrt{{\left(-2\right)}^2+{\left(-13\right)}^2+{\left(-29\right)}^2}}=\frac{29}{13\sqrt{12}}$.

Suy ra (CA, (OAB)) ≈ 40°.

Bài 5. Trong không gian Oxyz, hai mái nhà nằm trên mặt phẳng (P): x – 2y + 5 = 0 và (Q): x – 2 – 3z + 20 = 0. Tính cosin góc giữa hai mái nhà.

A. $\frac{5}{\sqrt{70}}$;

B. $\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{70}}$;

C. $\frac{3}{\sqrt{14}}$;

D. $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{14}}$.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\overrightarrow{n_1}=\left(1;-2;0\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;-2;-3\right)$  lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Khi đó $\cos \left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=\frac{\left|1.1+\left(-2\right).\left(-2\right)+0.\left(-3\right)\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{1^2+{\left(-2\right)}^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{70}}$ .

Bài 6. Trong không gian Oxyz, máy bay từ A(3; 2; -3) hạ cánh tới B(5; 8; 8; 0). Góc giữa đường bay AB và mặt phẳng (Oxy) bằng bao nhiêu bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 37°;

B. 36°;

C. 21°;

D. 63°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Gọi α là góc giữa đường bay và sân bay. Khi đó α = (AB, (Oxy)).

Với đường thẳng AB, nhận vectơ $\overrightarrow{AB}=\left(5;6;3\right)$  làm vectơ chỉ phương.

Với (Oxy) do Oz $\perp$ (Oxy) nên mặt phẳng (Oxy) nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$  làm vectơ pháp tuyến.

Khi đó ta có  $\sin \alpha =\frac{\left|5.0+6.0+3.1\right|}{\sqrt{5^2+6^2+3^2}.\sqrt{1^2}}=\frac{3}{\sqrt{70}}\Rightarrow$ α ≈ 21°.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, nhà kho có hai mái EFIK, HGIK với E(0; 0; 7), F(7; 10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8). Góc giữa hai mái bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng phần mười)?

A. 9,5°;

B. 5,9°;

C. 10°;

D. 10,5°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì ABCD.EFGH là hình hộp chữ nhật ta có:

AB = CD = EF = GH = 10, AE = BF = CG = DH = 7, AD = BC = EH = FG = 24.

Vì EFIK, HGIK là hình chữ nhật bằng nhau nên ta có tam giác IGF cân tại I và có chiều cao kẻ từ I bằng 1. Suy ra

E(0; 0; 7), F(10; 0; 7), G(10; 24; 7), H(0; 24; 7), I(10; 12; 8).

Khi đó $\overrightarrow{EF}=\left(10;0;0\right),\overrightarrow{FI}=\left(0;12;1\right),\overrightarrow{HG}=\left(10;0;0\right),\overrightarrow{GI}=\left(0;-12;1\right)$ .

Ta có $\left[\overrightarrow{EF},\overrightarrow{FI}\right]=\left(0;-10;120\right)=-10\left(0;1;-12\right)$ ,

$\left[\overrightarrow{HG},\overrightarrow{GI}\right]=\left(0;-10;-120\right)=-10\left(0;1;12\right)$.

Do đó mặt phẳng (EFIK) có vectơ pháp tuyến .$\overrightarrow{n_1}=\left(0;1;-12\right)$

Mặt phẳng (HGIK) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\left(0;1;12\right)$ .

Gọi φ là góc giữa hai mái nhà.

Ta có  $\cos \phi =\frac{\left|0.0+1.1+\left(-12\right).12\right|}{\sqrt{0^2+1^2+{\left(-12\right)}^2}.\sqrt{0^2+1^2+{12}^2}}=\frac{143}{145}\Rightarrow$ φ ≈ 9,5°.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, tay vịn lan can cầu thang là đường thẳng qua A(0, 5, 1, 9) và B(2, 1, 12). Góc giữa tay vịn và mặt phẳng (Oxy) bằng bao nhiêu độ?

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng Oxy có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ .

Đường thẳng AB nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-3;0;3\right)$  là một vectơ chỉ phương.

Ta có $\sin \left(AB,\left(Oxy\right)\right)=\frac{\left|-3.0+0.0+3.1\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+0^2+3^2}.\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{2}}$ .

Suy ra (AB, (Oxy)) = 45°.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, tia sáng có phương trình $d:\left(\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+t\\ z=3\end{array}\right)$, mặt sàn là (P): y = 0. Góc giữa tia sáng và mặt sàn bằng bao nhiêu?

A. 30°;

B. 45°;

C. 60°;

D. 90°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{j}=\left(0;1;0\right)$  và d có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u}=\left(1;1;0\right)$ .

Ta có  $\sin \left(d,\left(P\right)\right)=\frac{\left|0.1+1.1+0.0\right|}{\sqrt{0+1+0}.\sqrt{1+1+0}}=\frac{\sqrt{2}}{2}\Rightarrow$ (d, (P)) = 45°.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, mái nhà qua A(1; 0; 3), B(5; 0; 1), C(5; 9; 1). Góc giữa mái nhà và nền (Oxy) bằng bao nhiêu độ (làm tròn đến hàng đơn vị)?

A. 72°;

B. 37°;

C. 73°;

D. 27°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng (ABC) có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{AB}=\left(4;0;-2\right),\overrightarrow{BC}=\left(0;9;0\right)$ .

Ta có $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{BC}\right]=\left(18;0;36\right)$ .

Do đó vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (ABC) là $\overrightarrow{n_1}=\left(1;0;2\right)$ .

Lại có, (Oxy) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n_2}=\left(0;0;1\right)$ .

Ta có góc α là góc giữa mái nhà bên phải và nên nhà. Khi đó:

$\cos \alpha =\frac{\left|1.0+0.0+2.1\right|}{\sqrt{1^2+2^2}.\sqrt{1^2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}\Rightarrow$ α ≈ 27°.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Góc giữa hai mặt phẳng
• Xác định các yếu tố cơ bản của mặt cầu trong không gian
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và bán kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu có tâm và đi qua 1 điểm
• Viết phương trình mặt cầu có đường kính cho trước
• Viết phương trình mặt cầu đi qua 4 điểm không đồng phẳng

---