Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Trang trước Trang sau

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Góc giữa hai đường thẳng.

Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTT Xem Khóa học Toán 12 CD Xem Khóa học Toán 12 CTST

Quảng cáo

Góc giữa hai đường thẳng lớp 12 - Thầy Thành Đạt (Giáo viên VietJack)

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $∆$ và $∆$ ' tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u} = (a; b; c), \vec{u^{'}} = (a^{'}; b^{'}; c^{'})$ . Khi đó:

$\cos (Δ, Δ^{'}) = |\cos (\vec{u}, \vec{u^{'}})| = \frac{|a a^{'} + b b^{'} + c c^{'}|}{\sqrt{a^{2} + b^{2} + c^{2}} . \sqrt{{a^{'}}^{2} + {b^{'}}^{2} + {c^{'}}^{2}}}$ .

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = t \\ y = 5 - 2 t \\ z = 14 - 3 t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 - 4 t^{'} \\ y = 2 + t^{'} \\ z = - 1 + 5 t^{'} \end{cases}$ . Tính góc giữa hai đường thẳng đã cho.

Hướng dẫn giải:

Đường thẳng d₁, d₂ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; - 2; - 3), \vec{u_{2}} = (- 4; 1; 5)$ .

Quảng cáo

Khi đó $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|1. (- 4) + (- 2) .1 + (- 3) .5|}{\sqrt{1^{2} + {(- 2)}^{2} + {(- 3)}^{2}} . \sqrt{{(- 4)}^{2} + 1^{2} + 5^{2}}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 30°.

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, tính góc giữa hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$ .

Hướng dẫn giải:

Vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2), \vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁; d₂.

Ta có $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|1. (- 1) - 1.1 + 2.1|}{\sqrt{1^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{{(- 1)}^{2} + 1^{2} + 1^{2}}} = 0$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 90°.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 2} = \frac{z}{1}$ và $d_{2} : \frac{x - 3}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 5}{4}$ . Số đo góc giữa hai đường thẳng d₁; d₂ bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{u_{1}} = (2; - 2; 1), \vec{u_{2}} = (1; 3; 4)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁; d₂.

Ta có $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|2.1 + (- 2) .3 + 1.4|}{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 3^{2} + 4^{2}}} = 0$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 90°.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ và $d^{'} : \frac{x - 2}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z - 1}{1}$ . Tính cosin của góc giữa hai đường thẳng d và d'.

A. $\cos (d, d^{'}) = \frac{1}{3 \sqrt{6}}$ ;

B. $\cos (d, d^{'}) = \frac{1}{3 + \sqrt{6}}$ ;

C. $\cos (d, d^{'}) = \frac{- 1}{3 \sqrt{6}}$ ;

D. $\cos (d, d^{'}) = \frac{1}{54}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 2), \vec{u_{2}} = (2; - 1; 1)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d; d'.

Ta có $\cos (d, d^{'}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|2.2 + 1. (- 1) + (- 2) .1|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + {(- 2)}^{2}} . \sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 1^{2}}} = \frac{1}{3 \sqrt{6}}$ .

Quảng cáo

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x}{- 1} = \frac{y + 1}{1} = \frac{z - 9}{- 2}$ và $d_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 5}{1}$ . Góc giữa hai đường thẳng đó bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{u_{1}} = (- 1; 1; - 2), \vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁; d₂.

Ta có $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|(- 1) . (- 1) + 1.1 + (- 2) .1|}{\sqrt{3} . \sqrt{6}} = 0$ .

Suy ra (d₁, d₂) = 90°.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \{\begin{cases} x = 5 - 2 t \\ y = 5 + 3 t \\ z = 2 t \end{cases}$ và $Δ_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y + 3}{- 2} = \frac{z - 6}{4}$ . Góc giữa hai đường thẳng $∆$ ₁ và $∆$ ₂ bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{u_{1}} = (- 2; 3; 2), \vec{u_{2}} = (1; - 2; 4)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $∆$ ₁; $∆$ ₂.

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|- 2.1 + 3. (- 2) + 2.4|}{\sqrt{17} . \sqrt{21}} = 0$ .

Suy ra ( $∆$ ₁, $∆$ ₂) = 90°.

Bài 5. Tính cosin góc giữa đường thẳng d và trục Ox biết $d : \frac{x + 1}{2} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z - 2}{1}$ .

A. $\frac{\sqrt{2}}{6}$ ;

B. $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ;

C. $\frac{\sqrt{2}}{3}$ ;

D. $\frac{1}{6}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{u} = (2; 1; 1)$ là vectơ chỉ phương của d, $\vec{i} = (1; 0; 0)$ là vectơ chỉ phương của trục Ox.

$\cos (d, O x) = \frac{|2 + 0 + 0|}{\sqrt{2^{2} + 1^{2} + 1^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{2}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{3}$ .

Bài 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng $Δ : \frac{x}{2} = \frac{y}{- 1} = \frac{z}{2}$ . Tính côsin của góc giữa đường thẳng $∆$ và trục Ox.

A. $\frac{2}{3}$ ;

B. $- \frac{2}{3}$ ;

C. $\frac{1}{3}$ ;

D. 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\vec{u} = (2; - 1; 2)$ là vectơ chỉ phương của $∆$ , $\vec{i} = (1; 0; 0)$ là vectơ chỉ phương của trục Ox.

$\cos (d, O x) = \frac{|2.1 - 1.0 + 2.0|}{\sqrt{2^{2} + {(- 1)}^{2} + 2^{2}} . \sqrt{1^{2} + 0^{2} + 0^{2}}} = \frac{2}{3}$ .

Bài 7. Cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x - 1}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 1}{1}$ , $Δ_{2} : \frac{x}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z - 3}{- 1}$ . Góc giữa $∆$ ₁ và $∆$ ₂ bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{u_{1}} = (3; 2; 1), \vec{u_{2}} = (- 1; 2; - 1)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $∆$ ₁; $∆$ ₂.

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|3. (- 1) + 2.2 + 1. (- 1)|}{\sqrt{14} . \sqrt{6}} = 0$ .

Suy ra ( $∆$ ₁, $∆$ ₂) = 90°.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $Δ_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 1}{2}$ và $Δ_{2} : \frac{x + 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 3}{1}$ . Góc giữa hai đường thẳng $∆$ ₁ và $∆$ ₂ bằng

A. 90°;

B. 60°;

C. 30°;

D. 45°.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Có $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 2), \vec{u_{2}} = (- 1; 1; 1)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của $∆$ ₁; $∆$ ₂.

Ta có $\cos (Δ_{1}, Δ_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|1. (- 1) + (- 1) .1 + 2.1|}{\sqrt{6} . \sqrt{3}} = 0$ .

Suy ra ( $∆$ ₁, $∆$ ₂) = 90°.

Bài 9. Trong hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 1; 0), B(2; −1; 1), C(1; 2; 2), D(0; 1; 2). Côsin góc giữa hai đường thẳng AB và CD.

A. $- \frac{1}{2 \sqrt{3}}$ ;

B. 1;

C. $\frac{1}{2 \sqrt{3}}$ ;

D. $\frac{1}{12}$ .

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{A B} = (1; - 2; 1), \vec{C D} = (- 1; - 1; 0)$ .

Do đó $\cos (A B, C D) = \frac{|\vec{A B} . \vec{C D}|}{|\vec{A B}| . |\vec{C D}|} = \frac{|1. (- 1) + (- 2) . (- 1) + 1.0|}{\sqrt{6} . \sqrt{2}} = \frac{1}{2 \sqrt{3}}$ .

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 \\ y = 2 - t \\ z = 3 + 2 t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 4 + t \\ y = 1 + m t \\ y = 2 - t \end{cases}$ .

Tìm m để côsin góc giữa hai đường thẳng bằng $\frac{\sqrt{5}}{5}$ .

A. 2;

B. $\frac{1}{2}$ ;

C. $- \frac{1}{2}$ ;

D. −2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Có $\vec{u_{1}} = (0; - 1; 2), \vec{u_{2}} = (1; m; - 1)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁; d₂.

Ta có $\cos (d_{1}, d_{2}) = \frac{|\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}}|}{|\vec{u_{1}}| . |\vec{u_{2}}|} = \frac{|0.1 + (- 1) . m + 2. (- 1)|}{\sqrt{5} . \sqrt{2 + m^{2}}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$