Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)
Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng.
Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)
1. Phương pháp giải
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng , lần lượt đi qua các điểm A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) và tương ứng có vectơ chỉ phương . Khi đó:
+) // <=> cùng phương với và A1 .
+) ≡ <=> cùng phương với và A1 .
+) và cắt nhau <=> .
+) và chéo nhau <=> .
Chú ý. Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.
Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng , tương ứng có vectơ chỉ phương và có phương trình tham số:
;
Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: (*).
Khi đó:
+) // <=> cùng phương với và hệ (*) vô nghiệm.
+) ≡ <=> Hệ (*) có vô số nghiệm.
+) cắt <=> Hệ (*) có nghiệm duy nhất.
+) và chéo nhau <=> và không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.
2. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:
; .
Hướng dẫn giải:
Ta có vectơ chỉ phương của d và d' lần lượt là .
Vì nên và cùng phương.
Suy ra d và d' song song với nhau hoặc trùng nhau.
Xét điểm M(1; 0; 3) ∈ d, ta có M d' nên d // d'.
Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho và .
Chứng minh d1 vuông góc với d2 và không cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Ta có vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là , .
Ta có .
Giao điểm d1, d2 nếu có là nghiệm của hệ
(vô lí).
Do đó d1 không cắt d2.
3. Bài tập tự luyện
Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ; . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.
A. Chéo nhau;
B. Trùng nhau;
C. Song song;
D. Cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có .
Do đó d1 song song hoặc trùng với d2.
Lấy điểm M(1; 0; −2) d1. Thay M vào d2 ta được: (vô lí).
Vậy d1 // d2.
Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?
A. Vuông góc nhưng không cắt nhau;
B. Cắt nhau nhưng không vuông góc;
C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc;
D. Không vuông góc và không cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Chọn M(1; 2; 3), N(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d1 và d2.
Ta có lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.
Do nên d1 d2.
Mặt khác nên d1 cắt d2.
Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
A. d và d' trùng nhau;
B. d và d' chéo nhau;
C. d và d' song song với nhau;
D. d và d' cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là và đi qua điểm M(2; −4; 1).
Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là và đi qua điểm M'(0; 1; −1).
Vì và cùng phương và M d' nên d và d' song song với nhau.
Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
A. d và d' trùng nhau;
B. d và d' chéo nhau;
C. d và d' song song với nhau;
D. d và d' cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là .
Chọn M(1; −3; 4) d.
Ta có .
Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.
A. d và d' trùng nhau;
B. d và d' chéo nhau;
C. d và d' song song với nhau;
D. d và d' cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d đi qua M(6; 8; 11) và có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng d' đi qua N(7; 10; 6) và có vectơ chỉ phương .
Ta có và .
Do đó .
Vậy d và d' cắt nhau.
Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Khẳng định nào sau đây đúng?
A. d1 ≡ d2;
B. d1 và d2 chéo nhau;
C. d1 // d2;
D. d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Ta có và . Suy ra và không cùng phương.
Do đó d1 và d2 chéo nhau hoặc cắt nhau.
Xét hệ phương trình vô nghiệm. Do đó d1 và d2 chéo nhau.
Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d1 ≡ d2;
B. d1 và d2 chéo nhau;
C. d1 // d2;
D. d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: C
Ta có lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.
Ta có nên đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.
Lấy M(1; 2; 3) d1, thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d2 ta có:
vô nghiệm. Vậy M d2 nên hai đường thẳng này song song.
Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d1 ≡ d2;
B. d1 và d2 chéo nhau;
C. d1 // d2;
D. d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: A
Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng d2 đi qua điểm B(3; 5; 7) và có vectơ chỉ phương .
Vì nên d1 ≡ d2.
Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d1 ≡ d2;
B. d1 và d2 chéo nhau;
C. d1 // d2;
D. d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: B
Đường thẳng d1 đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng d2 đi qua N(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương .
Ta có .
Nên suy ra d1 và d2 chéo nhau.
Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng và . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. d1 vuông góc d2;
B. d1 và d2 chéo nhau;
C. d1 // d2;
D. d1 và d2 cắt nhau.
Hướng dẫn giải:
Đáp án đúng là: D
Đường thẳng d1 đi qua A(1; 3; 7) và có vectơ chỉ phương .
Đường thẳng d2 đi qua B(6; −2; −1) và có vectơ chỉ phương .
Dễ thấy không cùng phương
Có nên d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng.
Mà . Do đó d1 và d2 cắt nhau.
Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:
- Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song
- Vận dụng phương trình đường thẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
- Góc giữa hai đường thẳng
- Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
- Góc giữa hai mặt phẳng
- Vận dụng công thức tính góc trong không gian vào giải quyết bài toán liên quan thực tế
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 12 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 12 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 12 Friends Global
- Lớp 12 Kết nối tri thức
- Soạn văn 12 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 12 (ngắn nhất) - KNTT
- Giải sgk Toán 12 - KNTT
- Giải sgk Vật Lí 12 - KNTT
- Giải sgk Hóa học 12 - KNTT
- Giải sgk Sinh học 12 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 12 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 12 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - KNTT
- Giải sgk Tin học 12 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 12 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 12 - KNTT
- Giải sgk Mĩ thuật 12 - KNTT
- Lớp 12 Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 12 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 12 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 12 - CTST
- Giải sgk Vật Lí 12 - CTST
- Giải sgk Hóa học 12 - CTST
- Giải sgk Sinh học 12 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 12 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 12 - CTST
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - CTST
- Giải sgk Tin học 12 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 12 - CTST
- Lớp 12 Cánh diều
- Soạn văn 12 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 12 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 12 Cánh diều
- Giải sgk Vật Lí 12 - Cánh diều
- Giải sgk Hóa học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Sinh học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 12 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 12 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục KTPL 12 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 12 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 12 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 12 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục quốc phòng 12 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 12 - Cánh diều