Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

HOT Ra mắt Sách tổng ôn 12 (2k8) toán, văn, anh.... (từ 80k/1 cuốn)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng _{$∆_{1}$}, $∆_{2}$ lần lượt đi qua các điểm A₁(x₁; y₁; z₁), A₂(x₂; y₂; z₂) và tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ . Khi đó:

+) _{$∆_{1}$} // _{$∆_{2}$} <=> $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và A₁ $\notin$ _{$∆_{2}$}.

+) _{$∆_{1}$} ≡ _{$∆_{2}$} <=> $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và A₁ $\notin$ _{$∆_{2}$}.

+) _{$∆_{1}$} và _{$∆_{2}$} cắt nhau <=> $\{\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} ⊥ [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq \vec{0} \\ \vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = 0 \end{cases}$ .

+) _{$∆_{1}$} và _{$∆_{2}$} chéo nhau <=> $\vec{A_{1} A_{2}} . [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] \neq 0$ .

Chú ý. Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng _{$∆_{1}$}, _{$∆_{2}$} tương ứng có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (a_{1}; b_{1}; c_{1}), \vec{u_{2}} = (a_{2}; b_{2}; c_{2})$ và có phương trình tham số:

$Δ_{1} : \{\begin{cases} x = x_{1} + a_{1} t \\ y = y_{1} + b_{1} t \\ z = z_{1} + c_{1} t \end{cases}$ ; $Δ_{2} : \{\begin{cases} x = x_{2} + a_{2} s \\ y = y_{2} + b_{2} s \\ z = z_{2} + c_{2} s \end{cases}$

Quảng cáo

Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: $\{\begin{cases} x_{1} + a_{1} t = x_{2} + a_{2} s \\ y_{1} + b_{1} t = y_{2} + b_{2} s \\ z_{1} + c_{1} t = z_{2} + c_{2} s \end{cases}$ (*).

Khi đó:

+) _{$∆_{1}$} // _{$∆_{2}$} <=> $\vec{u_{1}}$ cùng phương với $\vec{u_{2}}$ và hệ (*) vô nghiệm.

+) _{$∆_{1}$} ≡ _{$∆_{2}$} <=> Hệ (*) có vô số nghiệm.

+) _{$∆_{1}$} cắt _{$∆_{2}$} <=> Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

+) _{$∆_{1}$} và _{$∆_{2}$} chéo nhau <=> $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:

$d : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 t \\ z = 3 - t \end{cases}$ ; $d^{'} : \{\begin{cases} x = 2 + 2 t^{'} \\ y = 3 + 4 t^{'} \\ z = 5 - 2 t^{'} \end{cases}$ .

Hướng dẫn giải:

Ta có vectơ chỉ phương của d và d' lần lượt là $\vec{u} = (1; 2; - 1), \vec{u^{'}} = (2; 4; - 2)$ .

Vì $\vec{u^{'}} = 2 \vec{u}$ nên $\vec{u}$ và $\vec{u^{'}}$ cùng phương.

Suy ra d và d' song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm M(1; 0; 3) ∈ d, ta có M $\notin$ d' nên d // d'.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho $d_{1} : \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 3}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 2 t \\ y = - 3 - t \\ z = 0 \end{cases}$ .

Chứng minh d₁ vuông góc với d₂ và không cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có vectơ chỉ phương của d₁ và d₂ lần lượt là $\vec{u_{1}} = (1; 2; - 3)$ , $\vec{u_{2}} = (2; - 1; 0)$ .

Ta có $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0 \Rightarrow \vec{u_{1}} ⊥ \vec{u_{2}} \Rightarrow d_{1} ⊥ d_{2}$ .

Giao điểm d₁, d₂ nếu có là nghiệm của hệ $\{\begin{cases} \frac{x}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z - 2}{- 3} \\ x = 2 t \\ y = - 3 - t \\ z = 0 \end{cases}$

$\Rightarrow \{\begin{cases} \frac{2 t}{1} = \frac{- 2}{- 3} \\ \frac{- 3 - t}{2} = \frac{- 2}{- 3} \end{cases}$ $\Rightarrow \{\begin{cases} t = \frac{1}{3} \\ t = - \frac{13}{3} \end{cases}$ (vô lí).

Do đó d₁ không cắt d₂.

Quảng cáo

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z + 2}{- 2}$ ; $d_{2} : \frac{x + 2}{- 2} = \frac{y - 1}{- 1} = \frac{z}{2}$ . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

A. Chéo nhau;

B. Trùng nhau;

C. Song song;

D. Cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{u_{d_{1}}} = (2; 1; - 2), \vec{u_{d_{2}}} = (- 2; - 1; 2)$ .

Do đó d₁ song song hoặc trùng với d₂.

Lấy điểm M(1; 0; −2) $\in$ d₁. Thay M vào d₂ ta được: $\frac{1 + 2}{- 2} = \frac{0 - 1}{- 1} = \frac{- 2}{2}$ (vô lí).

Vậy d₁ // d₂.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 2}{3} = \frac{z - 3}{4}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + 2 t \\ z = 3 - 2 t \end{cases}$ . Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?

A. Vuông góc nhưng không cắt nhau;

B. Cắt nhau nhưng không vuông góc;

C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc;

D. Không vuông góc và không cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Chọn M(1; 2; 3), N(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d₁ và d₂.

Ta có $\vec{u_{1}} = (2; 3; 4), \vec{u_{2}} = (1; 2; - 2)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của d₁; d₂.

Do $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 0$ nên d₁ $⊥$ d₂.

Mặt khác $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M N} = 0$ nên d₁ cắt d₂.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 2}{2} = \frac{y + 4}{3} = \frac{1 - z}{- 2}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 4 t \\ y = 1 + 6 t \\ z = - 1 + 4 t \end{cases}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

A. d và d' trùng nhau;

B. d và d' chéo nhau;

C. d và d' song song với nhau;

D. d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $\vec{u} = (2; 3; 2)$ và đi qua điểm M(2; −4; 1).

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là $\vec{u^{'}} = (4; 6; 4)$ và đi qua điểm M'(0; 1; −1).

Vì $\vec{u}$ và $\vec{u^{'}}$ cùng phương và M $\notin$ d' nên d và d' song song với nhau.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 3}{1} = \frac{z - 4}{- 2}$ và $d^{'} : \frac{x + 2}{- 4} = \frac{y - 1}{- 2} = \frac{z + 1}{4}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

A. d và d' trùng nhau;

B. d và d' chéo nhau;

C. d và d' song song với nhau;

D. d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\vec{u_{1}} = (2; 1; - 2), \vec{u_{2}} = (- 4; - 2; 4)$ .

Chọn M(1; −3; 4) $\in$ d.

Ta có $\{\begin{cases} \vec{u_{2}} = - 2 \vec{u_{1}} \\ M \notin d^{'} \end{cases} \Rightarrow d / / d^{'}$ .

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d : \{\begin{cases} x = 6 + 3 t \\ y = 8 + 4 t \\ z = 11 + 6 t \end{cases}$ và $d^{'} : \{\begin{cases} x = 7 + 4 t^{'} \\ y = 10 + 6 t^{'} \\ z = 6 + t^{'} \end{cases}$ . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

A. d và d' trùng nhau;

B. d và d' chéo nhau;

C. d và d' song song với nhau;

D. d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d đi qua M(6; 8; 11) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d}} = (3; 4; 6)$ .

Đường thẳng d' đi qua N(7; 10; 6) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{d^{'}}} = (4; 6; 1)$ .

Ta có $[\vec{u_{d}}, \vec{u_{d^{'}}}] = (- 32; 21; 2)$ và $\vec{M N} = (1; 2; - 5)$ .

Do đó $[\vec{u_{d}}, \vec{u_{d^{'}}}] . \vec{M N} = - 32 + 42 - 10 = 0$ .

Vậy d và d' cắt nhau.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = t \\ y = - t \\ z = 1 \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 0 \\ y = 2 \\ z = t^{'} \end{cases}$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d₁ ≡ d₂;

B. d₁ và d₂ chéo nhau;

C. d₁ // d₂;

D. d₁ và d₂ cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\vec{u_{1}} = (1; - 1; 0)$ và $\vec{u_{2}} = (0; 0; 1)$ . Suy ra $\vec{u_{1}}$ và $\vec{u_{2}}$ không cùng phương.

Do đó d₁ và d₂ chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét hệ phương trình $\{\begin{cases} t = 0 \\ - t = 2 \\ 1 = t^{'} \end{cases}$ vô nghiệm. Do đó d₁ và d₂ chéo nhau.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + t \\ y = 2 + t \\ z = 3 - t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t^{'} \\ y = - 1 + 2 t^{'} \\ z = 2 - 2 t^{'} \end{cases}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d₁ ≡ d₂;

B. d₁ và d₂ chéo nhau;

C. d₁ // d₂;

D. d₁ và d₂ cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có $\vec{u_{1}} = (1; 1; - 1), \vec{u_{2}} = (2; 2; - 2)$ lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁; d₂.

Ta có $\vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}}$ nên đường thẳng d₁ và d₂ song song hoặc trùng nhau.

Lấy M(1; 2; 3) $\in$ d₁, thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d₂ ta có:

vô nghiệm. Vậy M $\notin$ d₂ nên hai đường thẳng này song song.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \{\begin{cases} x = 1 + 2 t \\ y = 2 + 3 t \\ z = 3 + 4 t \end{cases}$ và $d_{2} : \{\begin{cases} x = 3 + 4 t^{'} \\ y = 5 + 6 t^{'} \\ z = 7 + 8 t^{'} \end{cases}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d₁ ≡ d₂;

B. d₁ và d₂ chéo nhau;

C. d₁ // d₂;

D. d₁ và d₂ cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d₁ đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 3; 4)$ .

Đường thẳng d₂ đi qua điểm B(3; 5; 7) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (4; 6; 8)$ .

Vì $\{\begin{cases} \vec{u_{2}} = 2 \vec{u_{1}} \\ A \in d_{2} \end{cases}$ nên d₁ ≡ d₂.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y - 2}{2} = \frac{z}{3}$ và $d_{2} : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 3}{- 2} = \frac{z - 1}{1}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d₁ ≡ d₂;

B. d₁ và d₂ chéo nhau;

C. d₁ // d₂;

D. d₁ và d₂ cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d₁ đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (- 1; 2; 3)$ .

Đường thẳng d₂ đi qua N(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (1; - 2; 1)$ .

Ta có $[\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] = (8; 4; 0) \neq \vec{0}, \vec{M N} = (0; 1; 1)$ $\Rightarrow [\vec{u_{1}}, \vec{u_{2}}] . \vec{M N} = 4 \neq 0$ .

Nên suy ra d₁ và d₂ chéo nhau.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng $d_{1} : \frac{x - 1}{2} = \frac{y - 3}{4} = \frac{z - 7}{1}$ và $d_{2} : \frac{x - 6}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{- 2}$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d₁ vuông góc d₂;

B. d₁ và d₂ chéo nhau;

C. d₁ // d₂;

D. d₁ và d₂ cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d₁ đi qua A(1; 3; 7) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{1}} = (2; 4; 1)$ .

Đường thẳng d₂ đi qua B(6; −2; −1) và có vectơ chỉ phương $\vec{u_{2}} = (3; 1; - 2)$ .

Dễ thấy $\vec{u_{1}}; \vec{u_{2}}$ không cùng phương

Có $\vec{A B} . [\vec{u_{1}}, u_{2}] = 0$ nên d₁ và d₂ cùng nằm trên một mặt phẳng.

Mà $\vec{u_{1}} . \vec{u_{2}} = 8 \neq 0$ . Do đó d₁ và d₂ cắt nhau.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

HOT 500+ Đề thi thử tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường ĐH fle word có đáp án (2025).

Sách VietJack thi THPT quốc gia 2025 cho 2k7:

TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12

+ Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/

+ Hỗ trợ zalo: VietJack Official

+ Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85

500+ đề thi thử tốt nghiệp THPT Quốc gia form 2025

( 128 tài liệu )

100+ đề thi ĐGNL ĐHQG Hà Nội, Tp.Hồ Chí Minh...

( 84 tài liệu )

Đề thi giữa kì, cuối kì 12

( 143 tài liệu )

Bài giảng Powerpoint Văn, Sử, Địa 12....

( 31 tài liệu )

Chuyên đề dạy thêm Toán, Lí, Hóa ...12

( 104 tài liệu )

Đề thi HSG 12

( 4 tài liệu )

xem tất cả

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.