Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối của hai đường thẳng.

Vị trí tương đối của hai đường thẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1, 2 lần lượt đi qua các điểm A1(x1; y1; z1), A2(x2; y2; z2) và tương ứng có vectơ chỉ phương u1=a1;b1;c1,u2=a2;b2;c2 . Khi đó:

+) 1 // 2 <=> u1  cùng phương với u2  và A1 2.

+) 12 <=> u1 cùng phương với u2  và A1  2.

+) 1 và 2 cắt nhau <=> u1,u20A1A2u1,u2u1,u20A1A2.u1,u2=0.

+) 1 và 2 chéo nhau <=> A1A2.u1,u20.

Chú ý. Để xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng, ta cũng có thể dựa vào các vectơ chỉ phương và phương trình của hai đường thẳng đó theo tiêu chuẩn sau đây.

Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng 1, 2 tương ứng có vectơ chỉ phương u1=a1;b1;c1,u2=a2;b2;c2  và có phương trình tham số:

Δ1:x=x1+a1ty=y1+b1tz=z1+c1tΔ2:x=x2+a2sy=y2+b2sz=z2+c2s

Quảng cáo

Xét hệ phương trình hai ẩn t, s: x1+a1t=x2+a2sy1+b1t=y2+b2sz1+c1t=z2+c2s    (*).

Khi đó:

+) 1 // 2 <=> u1 cùng phương với u2  và hệ (*) vô nghiệm.

+) 12 <=> Hệ (*) có vô số nghiệm.

+) 1 cắt 2 <=> Hệ (*) có nghiệm duy nhất.

+) 12 chéo nhau <=> u1 u2  không cùng phương và hệ (*) vô nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz, xét vị trí tương đối của cặp đường thẳng sau:

d:x=1+ty=2tz=3t; d':x=2+2t'y=3+4t'z=52t' .

Hướng dẫn giải:

Ta có vectơ chỉ phương của d và d' lần lượt là u=1;2;1,u'=2;4;2 .

u'=2u nên u  và u'  cùng phương.

Suy ra d và d' song song với nhau hoặc trùng nhau.

Xét điểm M(1; 0; 3) ∈ d,  ta có M d' nên d // d'.

Quảng cáo

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho d1:x1=y2=z23  và d2:x=2ty=3tz=0 .

Chứng minh d1 vuông góc với d2 và không cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Ta có vectơ chỉ phương của d1 và d2 lần lượt là u1=1;2;3 ,u2=2;1;0 .

Ta có u1.u2=0u1u2d1d2 .

Giao điểm d1, d2 nếu có là nghiệm của hệ x1=y2=z23x=2ty=3tz=0

2t1=233t2=23t=13t=133(vô lí).

Do đó d1 không cắt d2.

Quảng cáo

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x12=y1=z+22 ; d2:x+22=y11=z2 . Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng đã cho.

A. Chéo nhau;

B. Trùng nhau;

C. Song song;

D. Cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có ud1=2;1;2,ud2=2;1;2.

Do đó d1 song song hoặc trùng với d2.

Lấy điểm M(1; 0; −2) d1. Thay M vào d2 ta được: 1+22=011=22  (vô lí).

Vậy d1 // d2.

Bài 2. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x12=y23=z34  và d2:x=1+ty=2+2tz=32t . Kết luận gì về vị trí tương đối hai đường thẳng nêu trên?

A. Vuông góc nhưng không cắt nhau;

B. Cắt nhau nhưng không vuông góc;

C. Vừa cắt nhau vừa vuông góc;

D. Không vuông góc và không cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Chọn M(1; 2; 3), N(0; 0; 5) là hai điểm lần lượt thuộc đường thẳng d1 và d2.

Ta có u1=2;3;4,u2=1;2;2  lần lượt là vectơ chỉ phương của d1; d2.

Do u1.u2=0  nên d1 d2.

Mặt khác u1,u2.MN=0  nên d1 cắt d2.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:x22=y+43=1z2 và d':x=4ty=1+6tz=1+4t. Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

A. d và d' trùng nhau;

B. d và d' chéo nhau;

C. d và d' song song với nhau;

D. d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là u=2;3;2 và  đi qua điểm M(2; −4; 1).

Đường thẳng d' có vectơ chỉ phương là u'=4;6;4  và đi qua điểm M'(0; 1; −1).

u  và u'  cùng phương và M d' nên d và d' song song với nhau.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:x12=y+31=z42  và d':x+24=y12=z+14 . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

A. d và d' trùng nhau;

B. d và d' chéo nhau;

C. d và d' song song với nhau;

D. d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Đường thẳng d, d' có vectơ chỉ phương lần lượt là u1=2;1;2,u2=4;2;4 .

Chọn M(1; −3; 4) d.

Ta có u2=2u1Md'd//d' .

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d:x=6+3ty=8+4tz=11+6t  và d':x=7+4t'y=10+6t'z=6+t' . Vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

A. d và d' trùng nhau;

B. d và d' chéo nhau;

C. d và d' song song với nhau;

D. d và d' cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d đi qua M(6; 8; 11) và có vectơ chỉ phương ud=3;4;6.

Đường thẳng d' đi qua N(7; 10; 6) và có vectơ chỉ phương ud'=4;6;1 .

Ta có ud,ud'=32;21;2  và MN=1;2;5 .

Do đó ud,ud'.MN=32+4210=0 .

Vậy d và d' cắt nhau.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=ty=tz=1  và d2:x=0y=2z=t' . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. d1 ≡ d2;

B. d1 và d2 chéo nhau;

C. d1 // d2;

D. d1 và d2 cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có u1=1;1;0  và u2=0;0;1  . Suy ra u1  và u2  không cùng phương.

Do đó d1 và d2 chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét hệ phương trình t=0t=21=t' vô nghiệm. Do đó d1 và d2 chéo nhau.

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=1+ty=2+tz=3t  và d2:x=1+2t'y=1+2t'z=22t' . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d1 ≡ d2;

B. d1 và d2 chéo nhau;

C. d1 // d2;

D. d1 và d2 cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có u1=1;1;1,u2=2;2;2  lần lượt là vectơ chỉ phương của đường thẳng d1; d2.

Ta có u2=2u1 nên đường thẳng d1 và d2 song song hoặc trùng nhau.

Lấy M(1; 2; 3) d1, thay tọa độ điểm M vào phương trình đường thẳng d2 ta có:

 vô nghiệm. Vậy M d2 nên hai đường thẳng này song song.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x=1+2ty=2+3tz=3+4t  và d2:x=3+4t'y=5+6t'z=7+8t' . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d1 ≡ d2;

B. d1 và d2 chéo nhau;

C. d1 // d2;

D. d1 và d2 cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Đường thẳng d1 đi qua điểm A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương u1=2;3;4 .

Đường thẳng d2 đi qua điểm B(3; 5; 7) và có vectơ chỉ phương u2=4;6;8 .

u2=2u1Ad2  nên d1 ≡ d2.

Bài 9. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x11=y22=z3  và d2:x11=y32=z11 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d1 ≡ d2;

B. d1 và d2 chéo nhau;

C. d1 // d2;

D. d1 và d2 cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Đường thẳng d1 đi qua M(1; 2; 0) và có vectơ chỉ phương u1=1;2;3 .

Đường thẳng d2 đi qua N(1; 3; 1) và có vectơ chỉ phương u2=1;2;1 .

Ta có u1,u2=8;4;00,MN=0;1;1 u1,u2.MN=40  .

Nên suy ra d1 và d2 chéo nhau.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d1:x12=y34=z71  và d2:x63=y+21=z+12 . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. d1 vuông góc d2;

B. d1 và d2 chéo nhau;

C. d1 // d2;

D. d1 và d2 cắt nhau.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Đường thẳng d1 đi qua A(1; 3; 7) và có vectơ chỉ phương u1=2;4;1 .

Đường thẳng d2 đi qua B(6; −2; −1) và có vectơ chỉ phương u2=3;1;2.

Dễ thấy u1;u2  không cùng phương

AB.u1,u2=0 nên d1 và d2 cùng nằm trên một mặt phẳng.

u1.u2=80 . Do đó d1 và d2 cắt nhau.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học