Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế.

Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Vận dụng linh hoạt kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong không gian Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét), một ngôi nhà như hình vẽ dưới đây có sàn nhà nằm trên mặt phẳng (Oxy). Hai mái nhà lần lượt nằm trên các mặt phẳng (P): x – 2y + 5 = 0 và (Q): x – 2y – 3z + 20 = 0. Hỏi chiều cao của ngôi nhà tính từ sàn nhà lên nóc nhà (điểm cao nhất của mái nhà) là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải:

Những điểm thuộc đường nóc nhà có tọa độ thỏa mãn hệ $\left\{\begin{array}{l}x-2y+5=0\\ x-2y-3z+20=0\end{array}\right.$ .

Từ phương trình thứ nhất chọn x = −5 => y = 0. Thay vào phương trình còn lại ta được z = 5.

Vậy điểm A(−5; 0; 5) là một điểm thuộc đường nóc nhà.

Khi đó chiều cao cần tìm của ngôi nhà là khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (Oxy) và bằng 5 mét.

Ví dụ 2. Trong tiết học thể dục học về kĩ thuật chuyền bóng hơi, Nam và An đang tập chuyền bóng cho nhau, Nam ném bóng cho An đỡ, quả bóng bay lên cao nhưng lại lệch sang phải của Nam và rơi xuống vị trí cách An 0,5 m và cách Nam 4,5 m được mô tả bằng hình vẽ bên dưới:

Biết rằng quỹ đạo của quả bóng nằm trong mặt phẳng (α) và vuông góc với mặt đất. Viết phương trình mặt phẳng (α).

Hướng dẫn giải:

Chọn hệ trục như hình vẽ. Gọi M là điểm mà quả bóng chạm đất.

Khi đó x_M = 0,5; $y_M=\sqrt{4,5^2-0,5^2}=2\sqrt{5}$ .

Vì (α) $\perp$ (Oxy) nên (α) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{OM}=\left(0,5;2\sqrt{5};0\right)$ .

Mà (α) có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{OM}=\left(0,5;2\sqrt{5};0\right)$ .

Khi đó vectơ pháp tuyến của (α) là $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{OM}\right]=\left(-2\sqrt{5};0,5;0\right)$ .

Vậy (α): $-2\sqrt{5}x+0,5y=0$ .

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Hình dưới đây là hình ảnh minh họa của một tòa nhà trong không gian với hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục theo mét). Biết A(50; 0; 0), D(0; 20; 0), B(3k; 2k; k) với k > 0 và (CBEF) có phương trình z = 3. Biết rằng tọa độ điểm B(a; b; c). Khi đó giá trị a + b + c bằng bao nhiêu?

A. 9;

B. 6;

C. 3;

D. 18.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Vì B(3k; 2k; k) ∈ (CBEF): z = 3 nên k = 3.

Suy ra B(9; 6; 3). Khi đó a + b + c = 18.

Bài 2. Khi gắn hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là dm) vào một ngôi nhà 1 tầng, người ta thấy rằng mặt trên và mặt dưới của mái nhà thuộc các mặt phẳng vuông góc với trục Oz. Biết rằng các vị trí A(3; 4; 33), D(9; 8; 35) lần lượt thuộc mặt dưới, mặt trên của mái nhà. Độ dày của mái nhà được tính bằng khoảng cách giữa mặt trên và mặt dưới của mái nhà đó. Hãy cho biết độ dày của mái nhà đó là bao nhiêu dm?

A. 33;

B. 4;

C. 3;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Do mặt dưới của mái nhà thuộc mặt phẳng vuông góc với trục Oz và đi qua A(3; 4; 33) nên phương trình mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà là: z – 33 = 0.

Khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng chứa mặt dưới của mái nhà bằng:

$\frac{\left|35-33\right|}{\sqrt{0^2+0^2+1^2}}=2$.

Bài 3. Hai đứa trẻ đang chơi với một quả bóng. Bé giá ném quả bóng cho bé trai. Quả bóng di chuyển trong không khí, uốn cong 3 m về bên phải và rơi cách bé giá 5 m (xem hình)

Biết rằng mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng vuông góc với mặt đất và phương trình tổng quát của nó có dạng ax −3y + c = 0. Tính a + c?

A. 1;

B. 4;

C. 3;

D. 2.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Chọn hệ trục tọa độ như hình vẽ

Ta có $OC=\sqrt{O{B}^2-B{C}^2}=4$ . Suy ra B(3; 4; 0).

Mặt phẳng chứa quỹ đạo đi qua O(0; 0; 0) và nhận $\overrightarrow{k}\left(0;0;1\right),\overrightarrow{OB}\left(3;4;0\right)$  làm vectơ chỉ phương.

Suy ra vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{OB}\right]=\left(-4;3;0\right)$ .

Vậy phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của quả bóng là

−4(x – 0) + 3(y – 0) + 0(z – 0) = 0 ⇔ 4x – 3y = 0.

Do đó a + c = 4.

Bài 4. Một công trình đang xây dựng được gắn hệ trục Oxyz như hình vẽ dưới (đơn vị trên mỗi trục tọa độ là mét). Mỗi cột bê tông có dạng hình lăng trụ tứ giác đều và có tâm của mặt đáy trên lần lượt là A(3; 2; 3), B(6; 3; 3), C(9; 4; 2), D(6; 0;$\frac{5}{2}$ ).

Tính khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (ABC). (làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 2,58;

B. 2,85;

C. 3,85;

D. 3,58.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(3;1;0\right),\overrightarrow{AC}=\left(6;2;-1\right)$ .

Mặt phẳng (ABC) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(-1;3;0\right)$  nên phương trình (ABC):

x – 3y + 3 = 0.

Vậy khoảng cách $d\left(D,\left(ABC\right)\right)=\frac{\left|1.6+3\right|}{\sqrt{1^2+{\left(-3\right)}^2}}=\frac{9\sqrt{10}}{10}\approx 2,85$ .

Bài 5. Trên bản thiết kế đồ họa 3D của một cánh đồng điện mặt trời (như hình dưới đây) trong không gian Oxyz, một tấm pin nằm trên mặt phẳng (P): 6x + 5y + z + 2 = 0; một tấm pin khác nằm trên mặt phẳng (Q) đi qua điểm M(1; 1; 1) và song song với (P). Biết phương trình mặt phẳng (Q) có dạng Ax + By + Cz + D = 0. Tính A + B + C + D.

A. 0;

B. 1;

C. 2;

D. 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Vì (Q) // (P) nên (Q) có một vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(6;5;1\right)$ .

Nên phương trình mặt phẳng (Q): 6x + 5y + z – 12 = 0.

Do đó A + B + C + D = 0.

Bài 6. Khi gắn hệ tọa độ Oxyz (đơn vị trên mỗi trục tính theo km) vào một trận địa pháo phòng không, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt đất. Trong tập luyện, một vùng mặt phẳng trong tầm hoạt động của pháo được giữ bởi 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5). Một mục tiêu bay từ M(5; 2; 4) tới N(1; 0; −2). Khoảng cách từ điểm pháo A tới vị trí va chạm của mục tiêu khi tới mặt phẳng là bao nhiêu km (kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

A. 1,41;

B. 1,14;

C. 2,41;

D. 2,14.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Gọi mặt phẳng (P) đi qua 3 điểm pháo A(3; 0; 0), B(0; 1,5; 0), C(0; 0; −1,5) nên có phương trình là $\frac{x}{3}+\frac{y}{1,5}+\frac{z}{-1,5}=1\iff x+2y-2z-3=0$ .

Giả sử điểm G(x_G; y_G; z_G) là vị trí khi mục tiêu bay tới mặt phẳng (P) để tới vị trí N nên G ∈ (P).

Do $\overrightarrow{MG},\overrightarrow{MN}$  là 2 vectơ cùng hướng nên tồn tại số thực t > 0 sao cho $\overrightarrow{MG}=t\overrightarrow{MN}$ .

Ta có $\overrightarrow{MG}=\left(x_G-5;y_G-2;z_G-4\right);\overrightarrow{MN}=\left(-4;-2;-6\right)$ .

Nên $\left\{\begin{array}{l}{x}_G-5=-4t\\ y_G-2=-2t\\ z_G-4=-6t\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_G=5-4t\\ y_G=2-2t\\ z_G=4-6t\end{array}\right.$ .

Vì G ∈ (P) ⇔ 5 – 4t + 2(2 – 2t) – 2(4 – 6t) = 3 ⇔ t = $\frac{1}{2}$  => G(3; 1; 1).

Do đó $\overrightarrow{AG}=\left(0;1;1\right)\Rightarrow AG=\sqrt{2}\approx 1,41$.

Bài 7. Phần mềm điều khiển máy in 3D cho biết đầu in phun của máy đang đặt tại điểm M(3; 4; 24) (đơn vị: cm). Tính khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in có phương trình z – 4 = 0.

A. 4;

B. 5;

C. 20;

D. 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có phương trình mặt phẳng là (P): z – 4 = 0.

Khoảng cách từ đầu in đến khay đặt vật in là d(M, (P)) = $\frac{\left|24-4\right|}{1}=20$ .

Bài 8. Một ngôi nhà có các bậc thang của cầu thang đã thiết lập hệ tọa độ Oxyz. Biết hai mặt bậc thang song song nằm trên hai mặt phẳng phân biệt: (P): 2x – y + 2z + 8 = 0 và (Q): 2x – y + 2z + 2 = 0. Khoảng cách giữa hai bậc thang này bằng bao nhiêu?

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Lấy A(0; 0; −4) ∈ (P), dễ thấy (P) // (Q)

Khi đó $d\left(\left(P\right),\left(Q\right)\right)=d\left(A,\left(Q\right)\right)=\frac{\left|2.\left(-4\right)+2\right|}{\sqrt{2^2+{\left(-1\right)}^2+2^2}}=\frac{6}{3}=2$ .

Bài 9. Trong không gian Oxyz, camera được đặt tại điểm A(2; 1; 5) và chiếu thẳng về phía mặt phẳng (P): 2x – y – 2z + 13 = 0. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (P).

A. 2;

B. 3;

C. 4;

D. 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $d\left(A,\left(P\right)\right)=\frac{\left|2.2-1-2.5+13\right|}{\sqrt{4+1+4}}=2$ .

Bài 10. Trong một khung lưới ô vuông gồm các hình lập phương, người ta đưa ra một cách kiểm tra bốn nút lưới (đỉnh hình lập phương) bất kì có đồng phẳng hay không bằng cách gắn hệ trục tọa độ Oxyz vào khung lưới ô vuông và lập phương trình mặt phẳng đi qua ba nút lưới trong bốn nút lưới đã cho. Giả sử ba nút lưới mà tọa độ lần lượt là (1; 1; 10), (4; 3; 1), (3; 2; 5) và mặt phẳng đi qua ba nút lưới đó có phương trình x + my + nz + p = 0. Tính giá trị m +n + p.

A. 15;

B. 16;

C. 18;

D. 10.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Giả sử A(1; 1; 10), B(4; 3; 1), C(3; 2; 5),

Có $\overrightarrow{AB}=\left(3;2;-9\right),\overrightarrow{AC}=\left(2;1;-5\right)$ ,$\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-1;-3;-1\right)$ .

Mặt phẳng (ABC) đi qua A(1; 1; 10) và nhận $\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\left(-1;-3;-1\right)$  làm vectơ pháp tuyến có phương trình là: −(x – 1) – 3(y – 1) – (z – 10) = 0 ⇔ x + 3y + z − 14 = 0.

Do đó m + n + p = 3 + 1 − 14 = 10.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng
• Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước
• Xác định phương trình đường thẳng khi biết yếu tố song song

---