Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Quảng cáo

1. Phương pháp giải

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0 với hai vectơ pháp tuyến tương ứng. Khi đó: (α) (β) nn'AA'+BB'+CC'=0.

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với các vectơ pháp tuyến n=A;B;C, n'=A';B';C'tương ứng. Khi đó: α//βn'=knD'kDvới k nào đó.

+) Hai mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho A' = kA, B' = kB, C' = kC, D' = kD.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ba mặt phẳng (P1): 2x – y – 2z + 1 = 0; (P2): 4x – 2y – 4z + 4 = 0; (P3): x + 4y – z + 1 = 0. Chứng minh (P1) // (P2) và (P1) (P3).

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng lần lượt là

n1=2;1;2,n2=4;2;4,n3=1;4;1.

n1=12n2112.4 nên (P1) // (P2).

n1n3 (do n1.n3=2.1+1.4+2.1=0 ) nên (P1) (P3).

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): m2x – y + (m2 – 2)z + 2 = 0 và (β): 2x + m2y – 2z + 1 = 0. Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có nα=m2;1;m22;nβ=2;m2;2 .

Để (α) (β) thì nα.nβ=0⇔ 2m2 – m2 – 2(m2 – 2) = 0 ⇔ m2 = 4 ⇔ m = ± 2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 4 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?

A. 2x + y – 2z + 5 = 0;

B. x + 2y + 2z – 5 = 0;

C. x + 3y – z + 1 = 0;

D. x + y + z – 6 = 0.

Quảng cáo

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là n=2;1;2.

Mặt phẳng x + 2y + 2z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến n1=1;2;2.

n.n1=0 nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.

Bài 2. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + z – 4 = 0; (Q): 5x – 3y – 2z – 7 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Cắt nhưng không vuông góc;

B. Vuông góc;

C. Trùng nhau;

D. Song song.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có n1=2;3;1,n2=5;3;2 lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Quảng cáo

Ta thấy n1kn2k0 suy ra hai vectơ n1,n2 không cùng phương hay (P) cắt (Q).

Mặt khác n1.n2=170. Do đó (P) cắt (Q) nhưng không vuông góc.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, điều kiện của m để hai mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = 0 và (Q): x + y + mz + 1 = 0 cắt nhau là

A. m=12 ;

B.m12 ;

C. m12 ;

D. m ≠ −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

(P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là n1=2;2;1,n2=1;1;m .

(P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nghĩa là

n1kn2k0 2;2;1k1;1;mm12.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + (m + 1)y – 2z + m = 0 và (Q): 2x – y + 3 = 0, với m là tham số thực. Để (P) và (Q) vuông góc với nhau thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu?

A. m = −1;

B. m −5;

C. m = 1;

D. m = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến n1=1;m+1;2 và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến n2=2;1;0 .

Để (P) (Q) ⇔n1.n2=0 2m1+0=0m=1 .

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y − 2z – 3 = 0; (β): 2x − 4y + (m – 1)z – 6 = 0 (m là tham số thực). Tìm m để (α) và (β) song song với nhau.

A. m = −1;

B. m = 0;

C. m = 1;

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Để (α) và (β) song song với nhau thì 21=42=m1263 , suy ra không tồn tại m.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 5y + 2z + 1 = 0 và (Q): 9x + (m – 11)y + (m2 – 10)z – 4 = 0. Tìm m để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

A. m = 0;

B. m = 4;

C. m = ±4;

D. m = −4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

(P) //(Q) khi và chỉ khi 93=m115=m2102m=4 .

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 và (Q): 4x + (m – 3)y + (m2 + 1)z – 7 = 0 (m là tham số). Tìm m để hai mặt phẳng song song.

A. m = 3;

B. m = −3;

C. m = ±3;

D. m = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song 42=m33=m2+1571

m33=2m2+15=2m=3m=±3m=3.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0, 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề sau:

A. (P) // (Q);

B. (P) cắt (Q);

C. (Q) // (R);

D. (R) cắt (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có (P): 2x + 6y – 4z + 8 = 0, (Q): 5x + 15y – 10z + 20 = 0, (R) 6x + 18y – 12z – 24 = 0.

25=615=410=820 nên (P) ≡ (Q).

56=1518=10122024 nên (Q) // (R).

Bài 9. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oyz)?

A. −2x = 0;

B. −2z – 1 = 0;

C. 2z = 0;

D. −2x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình Ax + D = 0 (D ≠ 0).

Dựa vào đáp án ta chọn mặt phẳng có phương trình: −2x + 1 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, xác định m, n, p để cặp mặt phẳng (P): 2x + 3y – 4z + p = 0, (Q): mx + (n – 1)y + 8z – 10 = 0 trùng nhau?

A. m = 4; n = 5; p = −5;

B. m = −4; n = −5; p = 5;

C. m = −3; n = −4; p = 5;

D. m = −2; n = −3; p = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét p = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét p ≠ 0 khi đó (P) và (Q) trùng nhau khi và chỉ khi m2=n13=84=10p

=> m = −4; n = −5; p = 5.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học