Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng.

Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng lớp 12 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Điều kiện để hai mặt phẳng vuông góc

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng: (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0 với hai vectơ pháp tuyến tương ứng. Khi đó: (α) $\perp$ (β) ⇔ $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{n^{\text{'}}}\iff A{A}^{\text{'}}+B{B}^{\text{'}}+C{C}^{\text{'}}=0$.

• Điều kiện để hai mặt phẳng song song

Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): Ax + By + Cz + D = 0, (β): A'x + B'y + C'z + D' = 0, với các vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$, $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(A^{\text{'}};B^{\text{'}};C^{\text{'}}\right)$tương ứng. Khi đó: $\left(\alpha \right)//\left(\beta \right)\iff \left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n^{\text{'}}}=k\overrightarrow{n}\\ D^{\text{'}}\ne kD\end{array}\right.$với k nào đó.

+) Hai mặt phẳng (α) và (β) trùng nhau khi và chỉ khi tồn tại số k khác 0 sao cho A' = kA, B' = kB, C' = kC, D' = kD.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho ba mặt phẳng (P₁): 2x – y – 2z + 1 = 0; (P₂): 4x – 2y – 4z + 4 = 0; (P₃): x + 4y – z + 1 = 0. Chứng minh (P₁) // (P₂) và (P₁) $\perp$ (P₃).

Hướng dẫn giải:

Vectơ pháp tuyến của ba mặt phẳng lần lượt là

$\overrightarrow{n_1}=\left(2;-1;-2\right),\overrightarrow{n_2}=\left(4;-2;-4\right),\overrightarrow{n_3}=\left(1;4;-1\right)$.

Vì $\overrightarrow{n_1}=\frac{1}{2}\overrightarrow{n_2}$ và $1\ne \frac{1}{2}.4$ nên (P₁) // (P₂).

Vì $\overrightarrow{n_1}\perp \overrightarrow{n_3}$ (do $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_3}=2.1+\left(-1\right).4+\left(-2\right).\left(-1\right)=0$ ) nên (P₁) $\perp$ (P₃).

Ví dụ 2. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): m²x – y + (m² – 2)z + 2 = 0 và (β): 2x + m²y – 2z + 1 = 0. Hai mặt phẳng (α) và (β) vuông góc với nhau khi nào?

Hướng dẫn giải:

Ta có $\overrightarrow{n_{\alpha }}=\left(m^2;-1;m^2-2\right);\overrightarrow{n_{\beta }}=\left(2;m^2;-2\right)$ .

Để (α) $\perp$ (β) thì $\overrightarrow{n_{\alpha }}.\overrightarrow{n_{\beta }}=0$⇔ 2m² – m² – 2(m² – 2) = 0 ⇔ m² = 4 ⇔ m = ± 2.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y – 2z + 4 = 0. Mặt phẳng nào sau đây vuông góc với (P)?

A. 2x + y – 2z + 5 = 0;

B. x + 2y + 2z – 5 = 0;

C. x + 3y – z + 1 = 0;

D. x + y + z – 6 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến là $\overrightarrow{n}=\left(2;1;-2\right)$.

Mặt phẳng x + 2y + 2z – 5 = 0 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\left(1;2;2\right)$.

Vì $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{n_1}=0$ nên hai mặt phẳng này vuông góc với nhau.

Bài 2. Trong không gian Oxyz cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + z – 4 = 0; (Q): 5x – 3y – 2z – 7 = 0. Vị trí tương đối của (P) và (Q) là:

A. Cắt nhưng không vuông góc;

B. Vuông góc;

C. Trùng nhau;

D. Song song.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có $\overrightarrow{n_1}=\left(2;-3;1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(5;-3;-2\right)$ lần lượt là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q).

Ta thấy $\overrightarrow{n_1}\ne k\overrightarrow{n_2}\left(k\ne 0\right)$ suy ra hai vectơ $\overrightarrow{n_1},\overrightarrow{n_2}$ không cùng phương hay (P) cắt (Q).

Mặt khác $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=17\ne 0$. Do đó (P) cắt (Q) nhưng không vuông góc.

Bài 3. Trong không gian Oxyz, điều kiện của m để hai mặt phẳng (P): 2x + 2y – z = 0 và (Q): x + y + mz + 1 = 0 cắt nhau là

A. $m=-\frac{1}{2}$ ;

B.$m\ne -\frac{1}{2}$ ;

C. $m\ne \frac{1}{2}$ ;

D. m ≠ −1.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

(P), (Q) có vectơ pháp tuyến lần lượt là $\overrightarrow{n_1}=\left(2;2;-1\right),\overrightarrow{n_2}=\left(1;1;m\right)$ .

(P) cắt (Q) khi và chỉ khi hai vectơ pháp tuyến không cùng phương nghĩa là

$\overrightarrow{n_1}\ne k\overrightarrow{n_2}\left(k\ne 0\right)$ $\iff \left(2;2;-1\right)\ne k\left(1;1;m\right)\iff m\ne -\frac{1}{2}$.

Bài 4. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): x + (m + 1)y – 2z + m = 0 và (Q): 2x – y + 3 = 0, với m là tham số thực. Để (P) và (Q) vuông góc với nhau thì giá trị thực của m bằng bao nhiêu?

A. m = −1;

B. m −5;

C. m = 1;

D. m = 3.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Mặt phẳng (P) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_1}=\left(1;m+1;-2\right)$ và mặt phẳng (Q) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n_2}=\left(2;-1;0\right)$ .

Để (P) $\perp$ (Q) ⇔$\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=0$ $\iff 2-m-1+0=0\iff m=1$ .

Bài 5. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (α): x – 2y − 2z – 3 = 0; (β): 2x − 4y + (m – 1)z – 6 = 0 (m là tham số thực). Tìm m để (α) và (β) song song với nhau.

A. m = −1;

B. m = 0;

C. m = 1;

D. Không tồn tại m.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Để (α) và (β) song song với nhau thì $\frac{2}{1}=\frac{-4}{-2}=\frac{m-1}{-2}\ne \frac{-6}{-3}$ , suy ra không tồn tại m.

Bài 6. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 3x – 5y + 2z + 1 = 0 và (Q): 9x + (m – 11)y + (m² – 10)z – 4 = 0. Tìm m để mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q).

A. m = 0;

B. m = 4;

C. m = ±4;

D. m = −4.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

(P) //(Q) khi và chỉ khi $\frac{9}{3}=\frac{m-11}{-5}=\frac{m^2-10}{2}\iff m=-4$ .

Bài 7. Trong không gian Oxyz, cho hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 5z – 1 = 0 và (Q): 4x + (m – 3)y + (m² + 1)z – 7 = 0 (m là tham số). Tìm m để hai mặt phẳng song song.

A. m = 3;

B. m = −3;

C. m = ±3;

D. m = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Hai mặt phẳng (P) và (Q) song song $\iff \frac{4}{2}=\frac{m-3}{-3}=\frac{m^2+1}{5}\ne \frac{-7}{-1}$

$\iff \left\{\begin{array}{l}\frac{m-3}{-3}=2\\ \frac{m^2+1}{5}=2\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}m=-3\\ m=\pm 3\end{array}\right.\iff m=-3$.

Bài 8. Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) tương ứng có phương trình 2x + 6y – 4z + 8 = 0, 5x + 15y – 10z + 20 = 0, 6x + 18y – 12z – 24 = 0. Chọn mệnh đề đúng trong bốn mệnh đề sau:

A. (P) // (Q);

B. (P) cắt (Q);

C. (Q) // (R);

D. (R) cắt (P).

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: C

Ta có (P): 2x + 6y – 4z + 8 = 0, (Q): 5x + 15y – 10z + 20 = 0, (R) 6x + 18y – 12z – 24 = 0.

Vì $\frac{2}{5}=\frac{6}{15}=\frac{-4}{-10}=\frac{8}{20}$ nên (P) ≡ (Q).

Vì $\frac{5}{6}=\frac{15}{18}=\frac{-10}{-12}\ne \frac{20}{-24}$ nên (Q) // (R).

Bài 9. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng nào sau đây song song với mặt phẳng (Oyz)?

A. −2x = 0;

B. −2z – 1 = 0;

C. 2z = 0;

D. −2x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: D

Mặt phẳng song song với mặt phẳng (Oyz) có phương trình Ax + D = 0 (D ≠ 0).

Dựa vào đáp án ta chọn mặt phẳng có phương trình: −2x + 1 = 0.

Bài 10. Trong không gian Oxyz, xác định m, n, p để cặp mặt phẳng (P): 2x + 3y – 4z + p = 0, (Q): mx + (n – 1)y + 8z – 10 = 0 trùng nhau?

A. m = 4; n = 5; p = −5;

B. m = −4; n = −5; p = 5;

C. m = −3; n = −4; p = 5;

D. m = −2; n = −3; p = 5.

Hướng dẫn giải:

Đáp án đúng là: B

Xét p = 0 không thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Xét p ≠ 0 khi đó (P) và (Q) trùng nhau khi và chỉ khi $\frac{m}{2}=\frac{n-1}{3}=\frac{8}{-4}=\frac{-10}{p}$

=> m = −4; n = −5; p = 5.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 12 hay, chi tiết khác:

• Khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng
• Vận dụng kiến thức phương trình mặt phẳng vào giải quyết bài toán liên quan đến thực tế
• Xác định các yếu tố cơ bản của đường thẳng trong không gian
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và có một vectơ chỉ phương
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm
• Viết phương trình đường thẳng đi qua 1 điểm và vuông góc với mặt phẳng cho trước

---