Tổng hợp lý thuyết Chương 2 phần Số học Toán 6 có đáp án

Bài viết Tổng hợp lý thuyết Chương 2 phần Số học lớp 6 hay, chi tiết giúp bạn nắm vững kiến thức trọng tâm Tổng hợp lý thuyết Chương 2 phần Số học.

Tổng hợp lý thuyết Chương 2 phần Số học Toán 6 có đáp án

A. Lý thuyết

1. Trục số

Ta biểu diễn các số nguyên âm trên tia đối của tia số và các số -1, -2, -3,... như trong hình

Như vậy ta được một trục số. Điểm 0 được gọi là điểm gốc của trục số. Chiều từ trái sang phải gọi là chiều dương (thường được đánh dấu bằng mũi tên), chiều từ phải sang trái gọi là chiều âm của trục số.

2. Số nguyên

• Các số tự nhiên khác 0 còn được gọi là các số nguyên dương (đôi khi còn viết +1, +2, +3,…nhưng dấu “+” thường được bỏ đi).

• Các số -1, -2, -3,…là các số nguyên âm.

• Tập hợp: {...; -3; -2; -1; 1; 2; 3;...} gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương là tập hợp các số nguyên. Tập hợp các số nguyên được kí hiệu là Z.

Chú ý:

• Số 0 không phải là số nguyên âm và cũng không phải là số nguyên dương.

• Điểm biểu diễn số nguyên a trên trục số gọi là điểm a

3. Số đối

Trên trục số các điểm 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… cách đều điểm 0 và nằm ở hai phía của điểm 0. Ta nói các số 1 và -1, 2 và -2, 3 và -3,… là các số đối nhau.

Số đối của số 0 là 0.

4. So sánh hai số nguyên

Khi biểu diễn trên trục số (nằm ngang), điểm a nằm bên trái điểm b thì số nguyên a nhỏ hơn số nguyên b.

Chú ý: Số nguyên b gọi là số liền sau của số nguyên a nếu a < b và không có số nguyên nào nằm giữa a và b (lớn hơn a và nhỏ hơn b). Khi đó ta cũng nói a là số liền trước của b.

Nhận xét:

• Mọi số nguyên dương đều lớn hơn số 0.

• Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn số 0.

• Mọi số nguyên âm đều nhỏ hơn bất kỳ số nguyên dương nào.

5. Giá trị tuyệt đối của một số nguyên

Khoảng cách từ điểm a đến điểm 0 trên trục số là giá trị tuyệt đối của số nguyên a.

Giá trị tuyệt đối của số nguyên a kí hiệu là |a| (đọc là “giá trị tuyệt đối của a”).

Nhận xét:

• Giá trị tuyệt đối của số 0 là số 0.

• Giá trị tuyệt dối của một số nguyên dương là chính nó.

• Giá trị tuyệt đối của một số nguyên âm là số đối của nó (và là một số nguyên dương).

• Trong hai số nguyên âm, số nào có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn thì lớn hơn.

• Hai số đối nhau có giá trị tuyệt đối bằng nhau.

6. Cộng hai số nguyên dương

Cộng hai số nguyên dương chính là cộng hai số tự nhiên khác không.

7. Cộng hai số nguyên âm

Quy tắc: Muốn cộng hai số nguyên âm, ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “-” trước kết quả.

Quy tắc cộng hai số nguyên cùng dấu:

Ta cộng hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu chung trước kết quả.

8. Quy tắc cộng hai số nguyên khác dấu

• Hai số nguyên đối nhau có tổng bằng 0.

• Muốn cộng hai số nguyên khác dấu không đối nhau, ta tìm hiệu hai giá trị tuyệt đối của chúng (số lớn trừ số nhỏ) rồi đặt trước kết quả tìm được dấu của số có giá trị tuyệt đối lớn hơn.

9. Tính chất giao hoán của phép cộng các số nguyên

a + b = b + a

10. Tính chất kết hợp của phép cộng các số nguyên

(a + b) + c = a + (b + c)

Chú ý: Kết quả trên còn gọi là tổng của ba số a, b, c và viết a + b + c. Tương tự, ta có thể nói đến tổng của bốn, năm,…số nguyên. Khi thực hiện cộng nhiều số ta có thể thay đổi tùy ý thứ tự các số hạng, nhóm các số hạng một cách tùy ý bằng các dấu ( ), [ ], { }.

11. Cộng với số 0

a + 0 = 0 + a = a

12. Cộng với số đối

Tổng của hai số nguyên đối nhau luôn bằng 0

a + (-a) = 0

Nếu tổng của hai số nguyên bằng 0 thì chúng là hai số đối nhau:

Nếu a + b = 0 thì a = -b và b = -a

13. Hiệu của hai số nguyên

Muốn trừ số nguyên a cho số nguyên b, ta cộng a với số đối của b.

a - b = a + (-b)

Nhận xét: Phép trừ trong N không phải bao giờ cũng thực hiện được, còn trong Z luôn thực hiện được.

14. Quy tắc dấu ngoặc

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “–” đằng trước, ta phải đổi dấu tất cả các dấu ngoặc: dấu “+” thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

• Khi bỏ dấu ngoặc có dấu “+” đằng trước thì dấu các số hạng trong ngoặc vẫn giữ nguyên.

15. Tổng đại số

Tổng đại số là một dãy các phép tính cộng, trừ các số nguyên

Trong một tổng đại số, ta có thể:

• Thay đổi tùy ý vị trí các số hạng kèm theo dấu của chúng.

• Đặt dấu ngoặc để nhóm các số hạng một cách tùy ý với chú ý rằng nếu trước dấu ngoặc là dấu “–” thì phải đổi dấu tất cả các số hạng trong ngoặc.

16. Tính chất của đẳng thức

Khi biến đổi các đẳng thức, ta thường áp dụng các tính chất sau:

• Nếu a = b thì a + c = b + c

• Nếu a + c = b + c thì a = b

• Nếu a = b thì b = a

17. Quy tắc chuyển vế

Khi chuyển một số hạng từ vế này sang vế kia của một đẳng thức, ta phải đổi dấu số hạng đó: dấu “+” đổi thành dấu “–” và dấu “–” thành dấu “+”.

Nhận xét: Phép trừ là phép toán ngược của phép cộng

18. Quy tắc nhân hai số nguyên khác dấu

Muốn nhân hai số nguyên khác dấu, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng rồi đặt dấu “–” trước kết quả nhận được.

19. Nhân hai số nguyên dương

Nhân hai số nguyên dương chính là nhân hai số tự nhiên khác 0

Ví dụ:

2.5 = 10, 7.3 = 21

6.5 = 30, 4.10 = 40

20. Nhân hai số nguyên âm

Muốn nhân hai số nguyên âm, ta nhân hai giá trị tuyệt đối của chúng.

Ví dụ:

(-4).(-25) = 4.25 = 100

(-3).(-4) = 3.4 = 12

(-3).(-5) = 3.5 = 15

Nhận xét: Tích của hai số nguyên âm là một số nguyên dương.

Quy tắc nhân hai số nguyên cùng dấu: Muốn nhân hai số nguyên cùng dấu, ta nhân hai giá trị của chúng rồi đặt dấu “+” trước kết quả của chúng.

30. Kết luận

• a.0 = 0.a = 0

• Nếu a, b cùng dấu thì a.b = |a|.|b|

• Nếu a, b khác dấu thì a.b = -(|a|.|b|)

Chú ý:

• Cách nhận biết dấu của tích:

(+).(+) → (+)

(+).(-) → (-)

(-).(+) → (-)

(-).(-) → (+)

• a.b = 0 thì hoặc a = 0 hoặc b = 0.

• Khi đổi dấu một thừa số thì tích đổi dấu. Khi đổi dấu hai thừa số thì tích không thay đổi.

Ví dụ:

(-4).(-5) = 4.5 = 20

3.(-9) = -(3.9) = -27

31. Tính chất giao hoán của phép nhân: a.b = b.a

32. Tính chất kết hợp của phép nhân: (a.b).c = a.(b.c)

Chú ý:

• Nhờ tính chất kết hợp ta có thể nói đến tích của ba, bốn, năm, … số nguyên. Chẳng hạn: a.b.c = a.(b.c) = (a.b).c

• Khi thực hiện phép nhân nhiều số nguyên, ta có thể dựa vào các tính chất giao hoán và kết hợp để thay đổi vị trí các thừa số, đặt dấu ngoặc để nhóm các thừa số một cách tùy ý.

• Ta cũng gọi tích n số nguyên a là lũy thừa bậc n của số nguyên a ( cách đọc và kí hiệu như đối với số tự nhiên).

Nhận xét: Trong một tích các số nguyên khác 0:

• Nếu có một số chẵn thừa số nguyên âm thì tích mang dấu “+”.

• Nếu có một số lẻ thừa số nguyên âm thì tích mang dấu “–”.

33. Tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng:

a(b + c) = ab + ac

Chú ý: Tính chất trên cũng đúng đối với phép trừ: a(b - c) = ab - ac

34. Bội và ước của một số nguyên

Cho a, b và b . Nếu có số nguyên q sao cho a = bq thì ta nói a chia hết cho b. Ta còn nói a là bội của b và b là ước của a.

Chú ý:

• Số 0 là bội của mọi số nguyên khác 0

• Số 0 không phải là ước của bất kì số nguyên nào

• Các số 1 và -1 là ước của mọi số nguyên

• Nếu c vừa là ước của c vừa là ước của b thì c cũng được gọi là ước chung của a và b

35. Tính chất

• Nếu a chia hết cho b và b chia hết cho c thì a cũng chia hết cho c

a ⋮ b và b ⋮ c ⇒ a ⋮ c

• Nếu a chia hết cho b thì bội của a cũng chia hết cho b

a ⋮ b ⇒ am ⋮ b (m ∈ ℤ)

• Nếu hai số a, b chia hết cho c thì tổng và hiệu của chúng cũng chia hết cho c

a ⋮ c và b ⋮ c ⇒ (a + b) ⋮ c và (a - b) ⋮ c

B. Bài tập

Câu 1:

a) Sắp xếp các số ngyên sau theo thứ tự tăng dần: 2, 0, -1, -5, -17, 8

b) Sắp xếp các số nguyên sau theo thứ tự giảm dần: -103, -2004, 15, 9, -5, 2004

Lời giải:

a) Các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự tăng dần là: -17, -5, -1, 0, 2, 8

b) Các số nguyên được sắp xếp theo thứ tự giảm dần là: 2004, 15, 9, -5, -103, -2004

Câu 2: Tìm tập hợp các số nguyên x sao cho:

a) -4 ≤ x ≤ 2     b) |x| < 2

Lời giải:

a) Ta có tập hợp các số nguyên x sao cho -4 ≤ x ≤ 2 là

A = {-4; -3; -2; -1; 0; 1; 2}

b) Ta có tập hợp các số nguyên x sao cho |x| < 2 ⇒ -2 < x < 2 là

B = {-1; 0; 1}

Câu 3: Thực hiện các phép tính sau

a) (-15) + (-40)     b) (+13) + (+37)     c) (-25) + (-19)

Lời giải:

a) Ta có: (-15) + (-40) = -(15 + 40) = -55

b) Ta có: (+13) + (+37) = +(13 + 37) = 50

c) Ta có: (-25) + (-19) = -(25 + 19) = -44

Câu 4: Tìm x, y thỏa mãn |x - 3| + |y - 5| = 0

Lời giải:

Ta có: |a| ≥ 0.

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a = 0

Khi đó ta có: |x - 3| + |y - 5| = 0

Vậy giá trị cần tìm là (x; y) = (3; 5)

Câu 5: Nhà toán học Py-ta-go sinh năm 570 trước Công nguyên. Nhà toán học Việt Nam Lương Thế Vinh sinh sau Py-ta-go 2011 năm. Vậy ông Lương Thế Vinh sinh năm nào?

Lời giải:

Theo bài ra ta có:

    + Py – ta – go sinh năm -570

    + Lương Thế Vinh sinh sau Py – ta – go là 2011 năm.

Vậy Lương Thế Vinh sinh năm: (-570) + 2011 = (2011 - 570) = 1441

Câu 6: Một xí nghiệp mỗi ngày may được 350 bộ quần áo. Khi may theo mốt mới, với cùng khổ vải, số vải dùng để máy một bộ quần áo tăng x (cm) và năng xuất không thay đổi. Hỏi mỗi ngày số vải tăng bao nhiêu cen-ti-mét.

a) x = 15 ?     b) x = -10

Lời giải:

Mỗi ngày số vải tăng 350.x (cm)

a) Với x = 15, mỗi ngày số vải tăng là 350.15 = 5250 (cm)

b) Với x = -10, mỗi ngày số vải tăng là 350.(-10) = -3500 (cm)

Nghĩa là số vải giảm đi -3500 (cm)

Câu 7: Thực hiện các phép tính sau

a) (-4).2.6.25.(-7).5

b) 16(38 - 2) - 38(16 - 1)

Lời giải:

a) Ta có: (-4).2.6.25.(-7).5 = [(-4).25].(2.5).[6.(-7)]

     = (-100).10.(-42) = (-1000).(-42)

     = 42000

b) Ta có: 16(38 - 2) - 38(16 - 1) = 16.38 - 16.2 - 38.16 + 38

     = (16.38 - 38.16) + 38 - 16.2

     = 0 + 38 - 32 = 6

Câu 8: Chứng minh rằng với a, b, c ∈ Z thì:

     a(b + c) - b(a + c) = b(a - c) - a(b - c)

Lời giải:

Ta có: a(b + c) - b(a + c) = ab + ac - ab - bc

     = (ab - bc) + (ac - ab)

     = b(a - c) - a(b - c) (đpcm)

Câu 9: Số 36 chia cho số nguyên a rồi trừ đi số nguyên a. Lấy kết quả này chia cho a rồi trừ đi a. Rồi lại lấy kết quả này chia cho a rồi trừ cho a. Cuối cùng ta được số -a. Tìm số a.

Lời giải:

Ta lần lượt thực hiên các phép tính:

Do a ∈ Z nên a² > 0 và thuộc ước của 36. Ta có bảng:

a2	1	4	9	36
a + 1	36	9	4	1
a	35	8	3	0

So sánh a và a² trong bảng, ta chọn a = 3

Vậy số cần tìm là a = 3

Xem thêm các phần lý thuyết, các dạng bài tập Toán lớp 6 có đáp án chi tiết hay khác:

• Lý thuyết Điểm. Đường thẳng
• Bài tập Điểm. Đường thẳng
• Lý thuyết Ba điểm thẳng hàng
• Bài tập Ba điểm thẳng hàng
• Lý thuyết Đường thẳng đi qua hai điểm
• Bài tập Đường thẳng đi qua hai điểm

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 6 hay khác:

• Giải bài tập sgk Toán 6
• Giải sách bài tập Toán 6
• Top 52 Đề thi Toán 6 có đáp án

---