Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức

Bài viết Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức.

Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức

A. Phương pháp giải

Ta trình bày phép chia tương tự như cách chia các số tự nhiên. Với hai đa thức A và B của một biến, tồn tại duy nhất hai đa thức Q và R sao cho:

A = B.Q + R, với R = 0 hoặc bậc của R nhỏ hơn bậc của B.

            . Nếu R = 0, ta được phép chia hết.

            . Nếu R ≠ 0 , ta được phép chia có dư.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Sắp xếp đa thức theo lũy thừa giảm dần của biến rồi làm phép chia:

(x³ - 7x + 3 -x²) : (x - 3)

A. x² + 2x + 1

B. x² + 2x - 1

C. x² - 2x - 1

D. Đáp án khác

Lời giải

Ta có: x³ - 7x + 3 - x² = x³ - x² - 7x + 3

Khi đó ta có: (x³ - 7x + 3 - x²) : (x - 3) = x² + 2x - 1.

Chọn B.

Ví dụ 2: Tìm phần dư trong phép chia sau: (5x³ - 3x² + 7) : (x² + 1)

A. 5x – 3

B. 5x + 4

C. - 5x + 7

D. – 5x + 10

Ta có

Khi đó ta có (5x³ - 3x² + 7) = (x² + 1)(5x - 3) - 5x + 10

Chọn D

Ví dụ 3. Thương của phép tính (-6x³ + 6x² + 8) : (x² - 2) là:

A. – 6x + 1

B. – 6x + 3

C. – 6x + 6

D. – 6x - 6

Lời giải

Vậy thương của phép chia đã cho là – 6x + 6

Chọn C.

Ví dụ 4. Thương của phép chia (x³ + x - 10):(-x + 2) là:

A. -x² - 2x - 5

B. -x² + x - 5

C. -x² - 3x + 5

D.Đáp án khác

Lời giải

Vậy thương của phép chia là: -x² - 2x - 5

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Kết quả của phép chia (7x³ - 7x + 42):(x² - 2x + 3) là ?

A. – 7x + 14             B. 7x + 14             C. 7x - 14             D. – 7x – 14

Lời giải:

Ta có phép chia

Chọn đáp án B.

Câu 2: Phép chia x³ + x² - 4x + 7 cho x² - 2x + 5 được đa thức dư là ?

A. 3x – 7              B. – 3x - 8              C. – 5x + 7              D. 3x + 8

Lời giải:

Ta có phép chia

Dựa vào kết quả của phép chia trên, ta có đa thức dư là – 3x - 8

Chọn đáp án B.

Câu 3: Hệ số a thỏa mãn 4x² - 6x + a chia hết cho x - 3 là ?

A. a = -18              B. a = 8              C. a = 18              D. a = - 8

Lời giải:

Ta có phép chia

Phép chia trên có số dư là ( a + 18)

Để 4x² - 6x + a chia hết cho x – 3 khi a + 18 = 0 nên a = -18

Chọn đáp án A.

Câu 4. Thực hiện phép chia: ( 4x⁴ + x + 2x³ - 3x²): (x² + 1) ta được phần dư là :

A. – x + 7             B. 4x² + 2x - 7             C. 4x² – 2x + 7             D. x – 7

Lời giải:

Ta có: 4x⁴ + x + 2x³ - 3x² = 4x⁴ +2 x³ – 3x² + x

Vậy: ( 4x⁴ + x + 2x³ - 3x²) = (4x² + 2x – 7 ). (x² +1) – x + 7

Chọn A.

Câu 5. Thực hiện phép chia ( 3x³ + 2x + 1 ) : (x+ 2) ta được đa thức dư là :

A. 10             B. -9             C. – 15             D. – 27

Lời giải:

Ta có:

Vậy số dư của phép chia đã cho là – 27

Chọn D.

Câu 6. Thực hiện phép chia ( - 4x⁴ + 5x² +x ) : (x² +x) ta được kết quả là:

A. – 4x⁴ + 5x²+x = (x² + x). (- 4x² - 4x + 9) - 6x

B. – 4x⁴ + 5x²+x = (x² + x). ( 4x² + 4x + 9) + 12x

C. – 4x⁴ + 5x²+x = (x² + x). (- 4x² + 4x + 9) - 8x

D. – 4x⁴ + 5x²+x = (x² + x). ( 4x² - 4x + 9) + 10x

Lời giải:

Ta có:

Vậy – 4x⁴ + 5x² +x = ( x² + x) . (- 4x² + 4x + 9) - 8x

Chọn C.

Câu 7. Tìm thương của phép tính chia (x³- 11x² + 27x - 9):(x -3)

A. x² - 8x + 3

B. x² + 4x + 3

C. x² - 6x - 3

D. Đáp án khác

Lời giải:

Chọn A.

Câu 8. Cho phép chia (2x⁴ - 3x³ - 3x² - 2 + 6x):(x² - 2). Tìm khẳng định đúng?

A. Thương của phép chia là 2x² + x - 2

B. Số dư của phép chia là 2x – 2

C. Tổng của thương và số dư là 2x² + 3x - 4

D. Đây là phép chia hết

Lời giải:

Chọn D.

Câu 9. Tìm a để phép chia sau là phép chia hết: (6x⁴ + 7x² - x + a):(3x² + 1)

Lời giải:

Để phép chia đã cho là phép chia khi và chỉ khi:

Chọn B.

Câu 10. Thực hiện phép tính chia: [2(x - 2y)⁴ - 9(x - 2y)³ + 2(x - 2y)]:(x - 2y)

A.(x – 2y)³ – 9(x- 2y)² + 2(x – 2y)

B. 2(x – 2y)3 – 9(x- 2y)³ + 2

C. 2(x – 2y)³ – 9(x- 2y)² + 2

D. (x – 2y)³ – 9(x- 2y)² + 2(x- 2y)

Lời giải:

Đặt t = x – 2y, khi đó ta có:

( 2t⁴ – 9t³ + 2t) : t = 2t³ – 9t² + 2

= 2(x – 2y)³ – 9(x- 2y)² + 2

Chọn C

   

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức
• Cách tìm n để biểu thức có giá trị nguyên cực hay
• Cách nhân đa thức với đa thức (cực hay, có lời giải)
• Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến (cực hay, có lời giải)
• Cách rút gọn biểu thức lớp 8 (cực hay, có lời giải)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---