Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức

Bài viết Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức.

Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức

A. Phương pháp giải

               + Để chứng minh một phép chia là phép chia hết, ta cần chứng minh phần dư của phép chia bằng 0.

               + Chú ý: xⁿ : x^m = x^n-m

               + Muốn chia một đa thức cho một đơn thức ta lấy từng hạng tử của đa thức chia cho đơn thức.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tìm số tự nhiên n để đa thức A chia hết cho đơn thức B với:

A = 7x^n-1y⁵ - 5x³y⁴;       B = 5x²yn

Giải:

Theo đề bài đa thức A chia hết cho đơn thức B

Vậy giá trị n cần tìm là

Chọn A.

Ví dụ 2. Cho phép chia: (x³ + 9x² + 27x + 27) : (x + 3). Tìm khẳng định sai?

A. Đây là phép chia hết

B. Thương của phép chia là: (x+ 3)²

C. Thương của phép chia là : x² + 6x + 9

D. Số dư của phép chia là x – 3 .

Lời giải

Áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ:

(a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ ta được:

(x³ + 9x² + 27x + 27) : (x + 3) = (x + 3)³ : (x + 3) = (x+ 3)² = x² + 6x +9

Vậy phéo chia đã cho là phép chia hết có thương là: (x+ 3)² = x² + 6x + 9.

Chọn D.

Ví dụ 3. Thực hiện phép chia: ( x²y + 4xy + 3y ) : (x + 1) ta được thuơng là:

A. xy + 3                B. x +3y                C. x + y + 3                D. y. (x + 3)

Lời giải

Ta có: x²y + 4xy + 3y = y.(x² + 4x +3)

= y . [ (x² + x )+ (3x+ 3)]

= y .[ x. (x+ 1) + 3(x+ 1)]

= y. (x + 3). (x+1 )

Vậy : ( x²y + 4xy + 3y ) : (x + 1) = y. ( x+ 3). (x+ 1) : (x+1) = y. (x+ 3).

Chọn D.

Ví dụ 4. Tìm a để phép chia (x³ – 4x + a): (x – 2) là phép chia hết:

A. a = 0                B. a = 4                C. a = -8                D. a = 8

Lời giải

Ta có:

Để phép chia đã cho là phép chia hết khi và chỉ khi phần dư bằng 0 . Do đó, a =0

Chọn A.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Ta có: (2x³ - 26x - 24):(x² + 4x + 3) = ax + b. Tính a + b?

A. 6                B. -3                C. -6                D. 10

Lời giải:

Ta có phép chia

Vậy (2x³ - 26x - 24) = (x² + 4x + 3)(2x - 8)

Suy ra: a= 2; b = -8 nên a + b = - 6

Chọn C

Câu 2. Tìm a để phép chia sau là phép chia hết: (x³ - 9x² + 28x -a):(x - 3)

A.a = 30                B. a = -30                C. a = 60                D. a = - 60

Lời giải:

Ta có phép chia

Để phép chia đã cho là phép chia hết khi -a + 30 = 0 nên a= 30.

Chọn A.

Câu 3. Tìm số tự nhiên n nhỏ nhất để phép chia sau là phép chia hết: (7x^n-2y⁵ + 8x⁸yⁿ⁺¹):x³y⁵

A.n = 3                B. n = 4                C. n = 6                D .n = 5

Lời giải:

(7x^n-2y⁵ + 8x⁸yⁿ⁺¹):x³y⁵

= 7x^n-2y⁵ : x³y⁵ + 8x⁸yⁿ⁺¹ : x³y⁵

= 7x^n-5 + 8x⁵y^n-4

Để phép chia đã cho là phép chi hết khi và chỉ khi:

Do đó, số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn là n = 5

Chọn D.

Câu 6. Tìm số nguyên n lớn nhất để phép chia sau là phép chia hết :

(-4x³-ny⁸ + 12x¹⁰y^8-2n):x⁵y⁶

A. n =-1                B. n = -2                C. n = -3                D. n = -4

Lời giải:

(-4x^3-ny⁸ + 12x¹⁰y^8-2n):x⁵y⁶

= -4x^3-ny⁸ : x⁵y⁶ + 12x¹⁰y^8-2n : x⁵y⁶

= -4x^-2-ny² + 12x⁵y^2-2n

Để phép chia đã cho là phép chia hết khi và chỉ khi:

Do đó, số nguyên n lớn nhất để phép chia đã cho là phép chia hết là n = -2

Chọn B.

Câu 7. Chứng minh đa thức 2x²y - 2axy - x² + ax - xy + ay luôn chia hết cho đa thức ( x – a) với mọi giá trị của a.

Lời giải:

2x²y - 2axy - x² + ax - xy + ay

= (2x²y - 2axy) - (x² - ax) - (xy - ay)

= 2xy.(x - a) - x(x - a) - y(x - a)

= (x - a).(2xy - x - y)

Suy ra, đa thức 2x²y - 2axy - x² + ax - xy + ay luôn chia hết cho ( x – a)

Câu 8. Chứng minh đa thức 2x² - 2y² - 2ax + 2ay luôn chia hết cho đa thức ( x + y – a) với mọi giá trị của a.

Lời giải:

Ta có:

2x² - 2y² - 2ax + 2ay = (2x² - 2y²) - (2ax - 2ay)

= 2(x² - y²) - 2a(x - y)

= 2(x + y).(x - y) - 2a(x - y)

= 2(x - y).(x + y - a)

Do đó, đa thức 2x² - 2y² - 2ax + 2ay luôn chia hết cho đa thức ( x + y – a) với mọi giá trị của a.

   

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách tìm n để biểu thức có giá trị nguyên cực hay
• Cách nhân đơn thức với đa thức (cực hay, có lời giải)
• Cách nhân đa thức với đa thức (cực hay, có lời giải)
• Cách chứng minh biểu thức không phụ thuộc vào biến (cực hay, có lời giải)
• Cách rút gọn biểu thức lớp 8 (cực hay, có lời giải)

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---