Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ

Bài viết Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD

A. Phương pháp giải

         + Bước 1. Đặt t = f(x) , đưa đa thức đã cho về đa thức biến t.

         + Bước 2. Phân tích đa thức ẩn t đó thành nhân tử bằng các phương pháp: Dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách ( thêm, bớt) hạng tử.

         + Bước 3. Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử theo ẩn t, ta trả lại theo biến x.

B. Ví dụ minh họa

Câu 1. Phân tích đa thức thành nhân tử

A. (x+ 2). (x- 1). (x+ 4).( x- 3)

B. ( x + 2). (x+ 1). ( x- 3). (x – 4)

C. (x – 2). (x- 1). (x- 4). (x+3)

D. Đáp án khác

Lời giải

Đặt t = x² + x, ta có:

(x² + x)² - 14(x² + x) + 24 = t² - 14t + 24

+ Ta có:

t² - 14t + 24 = t² - 2t - 12t + 24

= (t² - 2t) - (12t - 24)

= t(t - 2) - 12(t - 2) = (t - 2).(t - 12)

+ Do đó,

(x² + x)² - 14(x² + x) + 24 = (x² + x - 2).(x² + x - 12)

= [(x² - x) + (2x - 2)].[(x² - 16) + (x + 4)]

= [x(x - 1) + 2(x - 1)].[(x + 4).(x - 4) + 1.(x + 4)]

= (x + 2).(x - 1).(x + 4).(x + 3)

Chọn A.

Ví dụ 2. Phân tích các đa thức (x² + x)² + 4x² + 4x - 12 thành nhân tử

A. (x + 1).(x - 2).(x² + x + 6)

B. (x - 1).(x - 2).(x² + x + 6)

C. (x - 1).(x + 2).(x² + x + 6)

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Ta có: (x² + x)² + 4x² + 4x - 12 = (x² + x)² + 4(x² + x) - 12

Đặt t = x² + x, khi đó:

(x² + x)² + 4(x² + x) - 12 = t² + 4t - 12 (1)

+ Ta có:

t² + 4t - 12 = t² - 4 + 4t - 8

= (t + 2).(t - 2) + 4(t - 2)

= (t - 2).(t + 2 + 4) = (t - 2).(t + 6) (2)

+ Từ (1) và (2) suy ra:

(x² + x)² + 4x² + 4x - 12

= (x² + x - 2).(x² + x + 6)

= [(x² - 1) + (x - 1)].(x² + x + 6)

= [(x - 1).(x + 1) + (x - 1)].(x² + x + 6)

= (x - 1).(x + 1 + 1).(x² + x + 6) = (x - 1).(x + 2).(x² + x + 6)

Chọn C.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức (x² + x + 1).(x² + x + 2) - 12 thành nhân tử

A. (x + 1).(x + 2).(x² - x + 5)

B. (x - 1).(x + 2).(x² + x + 5)

C. (x - 1).(x - 2).(x² + x + 5)

D. Đáp án khác

Lời giải

Đặt t = x² + x + 1 => t + 1 = x² + x + 2

Khi đó: (x² + x + 1).(x² + x + 2) - 12 = t.(t + 1) - 12 (1)

Ta có:

t(t + 1) - 12 = t² + t - 12

= (t² - 9) + (t - 3)

= (t + 3).(t - 3) + 1.(t - 3)

= (t - 3).(t + 3 + 1) = (t - 3).(t + 4) (2)

Từ (1) và (2) suy ra:

(x² + x + 1).(x² + x + 2) - 1² = (x² + x + 1 - 3).(x² + x + 1 + 4)

= (x² + x - 2).(x² + x + 5) = [(x² - 1) + (x - 1)].(x² + x + 5)

= [(x + 1).(x - 1) + (x - 1)].(x² + x + 5)

= (x - 1).(x + 2).(x² + x + 5)

Chọn B.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phân tích đa thức (x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8) + 2x² thành nhân tử

A. (x - 2).(x + 4).(x² + 5x + 8)

B. (x + 2).(x - 4).(x² + 5x + 8)

C. (x - 2).(x - 4).(x² + 5x + 8)

D. (x + 2).(x + 4).(x² + 5x + 8)

Lời giải:

+ Đặt t = x² + 4x + 8, khi đó:

(x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8) + 2x² = t² + 3xt + 2x²

+ Ta có:

t² + 3xt + 2x² = (t² + xt) + (2xt + 2x²)

= t.(t + x) + 2x.(t + x) = (t + 2x).(t + x)

Do đó: (x² + 4x + 8)² + 3x(x² + 4x + 8x) + 2x²

= (x² + 4x + 8 + 2x).(x² + 4x + 8 + x)

= (x² + 6x + 8).(x² + 5x + 8)

= [(x² + 2x) + (4x + 8)].(x² + 5x + 8)

= [x(x + 2) + 4(x + 2)].(x² + 5x + 8)

= (x + 2).(x + 4).(x² + 5x + 8)

Chọn D.

Câu 2. Phân tích đa thức (x+ 1).(x+ 2). (x+ 3). (x+ 4) + 1 thành nhân tử

A. (x +1).(x+ 5). (x+ 6). (x- 1)

B. (x+ 2).(x- 3).(x + 7).(x – 1)

C. (x² + 5x + 5)²

D. Đáp án khác

Lời giải:

(x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1

= [(x + 1).(x + 4)].[(x + 2).(x + 3)] + 1

= (x² + 5x + 4).(x² + 5x + 6) + +1

+ Đặt t = x² + 5x + 5 => t - 1 = x² + 5x + 4; t + 1 = x² + 5x + 6

+ Ta có :

(x² + 5x + 4).(x² + 5x + 6) + 1

= (t - 1).(t + 1) + 1 = t² - 1 + 1

= t² = (x² + 5x+ 5)²

Chọn C.

Câu 3. Phân tích đa thức x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x - 12 thành nhân tử

A. (x - 1).(x - 2).(x² - x + 6)

B. (x - 1).(x + 2).(x² + x + 6)

C. (x + 1).(x + 2).(x² - x + 6)

D. Đáp án khác

Lời giải:

• Ta có:

x⁴ + 2x³ + 5x² + 4x - 12

= (x⁴ + 2x³ + x²) + (4x² + 4x) - 12

= x².(x² + 2x + 1) + 4x(x + 1) - 12

= x².(x + 1)2 + 4x.(x + 1) - 12

• Đặt t = x(x + 1) => t² = x².(x + 1)²

Do đó;

x².(x + 1)² + 4x.(x + 1) - 12 = t² + 4t - 12

= (t² + 6t) - (2t + 12) = t(t + 6) -2(t + 6) = (t - 2).(t + 6)

= [x.(x + 1) - 2].[x.(x + 1) + 6] = (x² + x - 2).(x² + x + 6)

= [(x² - 1) + (x - 1)].(x² + x + 6)

= [(x + 1).(x - 1) + 1.(x - 1)].(x² + x + 6)

= (x - 1).(x + 1 + 1).(x² + x + 6) = (x - 1).(x + 2).(x² + x + 6)

Chọn B.

Câu 4. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 3).(x + 5).(x + 7) + 15 thành nhân tử

A. (x + 6).(x + 2).(x² + 8x + 10)

B. (x - 6).(x + 2).(x² + 8x - 10)

C. (x + 6).(x - 2).(x² - 8x + 10)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có:

(x + 1).(x + 3).(x + 5).(x + 7) + 15

= [(x + 1).(x + 7)].[(x + 3).(x + 5)] + 15

= (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

+ Đặt t = x² + 8x + 11 =>t - 4 = x² + 8x + 7; t + 4 = x² + 8x + 15

Khi đó: (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

= (t - 4).(t + 4) + 15

= t² - 16 + 15 = t² - 1 = (t + 1).(t - 1)

= (x² + 8x + 11 + 1).(x² + 8x + 11 - 1)

= (x² + 8x + 12).(x² + 8x + 10)

= [(x² + 2x) + (6x + 12)].(x² + 8x + 10)

= [x.(x + 2) + 6(x + 2)].(x² + 8x + 10)

= (x + 6).(x + 2).(x² + 8x + 10)

Chọn A.

Câu 5. Phân tích đa thức(x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15 thành nhân tử

A. (x² - 8x + 10).(x + 6).(x + 2)

B. (x² + 8x + 10).(x + 6).(x + 2)

C. (x² + 8x + 10).(x - 6).(x + 2)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đặt t = x² + 8x + 7 => t + 8 = x² + 8x + 15

Ta có: (x² + 8x + 7).(x² + 8x + 15) + 15

= t.(t + 8) + 15 = t² + 8t + 15

= (t² + 5t) + (3t + 15)

= t(t + 5) + 3(t + 5) = (t + 3).(t + 5)

= (x² + 8x + 7 + 3).(x² + 8x + 7 + 5)

= (x² + 8x + 10).(x² + 8x + 12)

= (x² + 8x + 10).[(x² + 2x) + (6x + 12)]

= (x² + 8x + 10).[(x(x + 2) + 6(x + 2)]

= (x² + 8x + 10).(x + 6).(x + 2)

Chọn B.

Câu 6. Phân tích đa thức (x + 2). (x+ 3). (x+ 4).(x+ 5) - 24 thành nhân tử

A. (x² - 7x + 16).(x + 6).(x + 1)

B. (x² + 7x + 16).(9x - 6).(x + 1)

C. (x² + 7x + 16).(x + 6).(x + 1)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Ta có: (x + 2). (x + 3). (x+ 4). (x+ 5) – 24

= [(x + 2).(x + 5)].[(x + 3).(x + 4)] - 24

= (x² + 7x + 10).(x² + 7x + 12) - 24

+ Đặt t = x² + 7x + 11 => t - 1 = x² + 7x + 10; t + 1 = x² + 7x + 12

Khi đó:

(x² + 7x + 10).(x² + 7x + 12) - 24

= (t - 1).(t + 1) - 24

= t² - 1 - 24 = t² - 25 = (t + 5).(t - 5)

= (x² + 7x + 11 + 5).(x² + 7x + 11 - 5)

= (x² + 7x + 16).(x² + 7x + 6)

= (x² + 7x + 16).[(x² + x) + (6x + 6)]

= (x² + 7x + 16).[x(x + 1) + 6(x + 1)]

= (x² + 7x + 16).(x + 6).(x + 1)

Chọn C.

Câu 7. Phân tích đa thức thành nhân tử (x² + 3)² - x² - 5

A. (x² + 2).(x² + 1)

B. (x² + 4).(x² + 2)

C. (x² + 3).(x² + 1)

D. (x² + 4).(x² + 1)

Lời giải:

Đặt t = x² + 3. Suy ra:

(x² + 3)³ - x² - 5 = (x² + 3)² - (x² + 3) - 2

= t² - t - 2 = (t² - 1) - (t + 1)

= (t + 1).(t - 1) - (t + 1)

= (t + 1).(t - 1 - 1) = (t + 1).(t - 2)

= (x² + 3 + 1).(x² + 3 - 2) = (x² + 4).(x² + 1)

Chọn D.

Câu 8. Phân tích đa thức x⁴ - x² - 6 thành nhân tử

A. (x² - 2).(x² + 3)

B. (x² + 2).(x² - 3)

C. (x² - 2).(x² - 3)

D. (x² + 2).(x² + 3)

Lời giải:

Đặt t = x², khi đó:

x⁴ - x² - 6 = t² - t - 6

= (t² - 4) - (t + 2) = (t + 2).(t - 2) - 1.(t + 2)

= (t + 2).(t - 2 - 1) = (t + 2).(t - 3)

= (x² + 2).(x² - 3)

Chọn B.

Câu 9. Phân tích đa thức (x³ + 3)2 - 3(x³ + 3) + 2 thành nhân tử

A. (x³ + 2).(x + 1).(x² - x + 1)

B. (x³ + 2).(x - 1).(x² + x + 1)

C. (x³ - 2).(x + 1).(x² - x + 1)

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đặt t = x³ + 3, ta có:

(x³ + 3)2 - 3(x³ + 3) + 2 = t² - 3t + 2

= (t² - t) - (2t - 2) = t(t - 1) - 2(t - 1)

= (t - 1).(t - 2)

= (x³ + 3 - 1).(x³ + 3 - 2)

= (x³ + 2).(x³ + 1) = (x³ + 2).(x + 1).(x² - x + 1)

Chọn A.

Câu 10. Phân tích đa thức (3 - x³)2 + x³ - 9 thành nhân tử

A. (3 - x³).x³

B. -(5 - x³).x³

C. (6 - x³).x³

D. Đáp án khác

Lời giải:

Đặt t = 3 -x³ => x³ = 3 - t

Ta có:

(3 - x³)2 + x³ - 9

= t² + 3 - t - 9 = t² - t - 6

= (t² - 3t) + (2t - 6)

= t(t - 3) + 2(t - 3) = (t + 2).(t - 3)

= (3 - x³ + 2).(3 - x³ - 3)

= -(5 - x³).x³

Chọn B.

   

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x² – 4)(x² – 10) – 72;

b) (x² + x)² – 2(x² + x) – 15.

Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x² + x + 1)(x² + x + 2) – 12.

b) (x² + 3x) (x² + 3x – 3)  – 5.

Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x² + 4x + 8)² + 3x³ + 14x² + 24x.

b) (x² + 2x + 7) – (x² + 2x + 4)( x² + 2x + 3).

Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x² + 2x)² + 9x² + 18x + 20.

b) (x² + 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15.

Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:

a) (x² + 3x + 1)( x² + 3x + 2) – 6

b) x² + 6xy + 9y² – 3(x + 3y) – 4

(199k) Xem Khóa học Toán 8 KNTTXem Khóa học Toán 8 CTSTXem Khóa học Toán 8 CD

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm
• Cách chia đơn thức cho đơn thức (cực hay, có lời giải)
• Cách chia đa thức cho đơn thức (cực hay, có lời giải)
• Cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (cực hay, có lời giải)
• Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Đề thi Toán 8 có đáp án

Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.

---