Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ
Bài viết Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ.
- Cách giải bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ
- Ví dụ minh họa bài tập phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ
- Bài tập trắc nghiệm phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ
- Bài tập tự luyện phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ
Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đổi biến số, đặt ẩn phụ
A. Phương pháp giải
+ Bước 1. Đặt t = f(x) , đưa đa thức đã cho về đa thức biến t.
+ Bước 2. Phân tích đa thức ẩn t đó thành nhân tử bằng các phương pháp: Dùng hằng đẳng thức, nhóm hạng tử, tách ( thêm, bớt) hạng tử.
+ Bước 3. Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử theo ẩn t, ta trả lại theo biến x.
B. Ví dụ minh họa
Câu 1. Phân tích đa thức 
thành nhân tử
A. (x+ 2). (x- 1). (x+ 4).( x- 3)
B. ( x + 2). (x+ 1). ( x- 3). (x – 4)
C. (x – 2). (x- 1). (x- 4). (x+3)
D. Đáp án khác
Lời giải
Đặt t = x2 + x, ta có:
(x2 + x)2 - 14(x2 + x) + 24 = t2 - 14t + 24
+ Ta có:
t2 - 14t + 24 = t2 - 2t - 12t + 24
= (t2 - 2t) - (12t - 24)
= t(t - 2) - 12(t - 2) = (t - 2).(t - 12)
+ Do đó,
(x2 + x)2 - 14(x2 + x) + 24 = (x2 + x - 2).(x2 + x - 12)
= [(x2 - x) + (2x - 2)].[(x2 - 16) + (x + 4)]
= [x(x - 1) + 2(x - 1)].[(x + 4).(x - 4) + 1.(x + 4)]
= (x + 2).(x - 1).(x + 4).(x + 3)
Chọn A.
Ví dụ 2. Phân tích các đa thức (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 thành nhân tử
A. (x + 1).(x - 2).(x2 + x + 6)
B. (x - 1).(x - 2).(x2 + x + 6)
C. (x - 1).(x + 2).(x2 + x + 6)
D. Đáp án khác
Lời giải
+ Ta có: (x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12 = (x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12
Đặt t = x2 + x, khi đó:
(x2 + x)2 + 4(x2 + x) - 12 = t2 + 4t - 12 (1)
+ Ta có:
t2 + 4t - 12 = t2 - 4 + 4t - 8
= (t + 2).(t - 2) + 4(t - 2)
= (t - 2).(t + 2 + 4) = (t - 2).(t + 6) (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra:
(x2 + x)2 + 4x2 + 4x - 12
= (x2 + x - 2).(x2 + x + 6)
= [(x2 - 1) + (x - 1)].(x2 + x + 6)
= [(x - 1).(x + 1) + (x - 1)].(x2 + x + 6)
= (x - 1).(x + 1 + 1).(x2 + x + 6) = (x - 1).(x + 2).(x2 + x + 6)
Chọn C.
Ví dụ 3. Phân tích đa thức (x2 + x + 1).(x2 + x + 2) - 12 thành nhân tử
A. (x + 1).(x + 2).(x2 - x + 5)
B. (x - 1).(x + 2).(x2 + x + 5)
C. (x - 1).(x - 2).(x2 + x + 5)
D. Đáp án khác
Lời giải
Đặt t = x2 + x + 1 => t + 1 = x2 + x + 2
Khi đó: (x2 + x + 1).(x2 + x + 2) - 12 = t.(t + 1) - 12 (1)
Ta có:
t(t + 1) - 12 = t2 + t - 12
= (t2 - 9) + (t - 3)
= (t + 3).(t - 3) + 1.(t - 3)
= (t - 3).(t + 3 + 1) = (t - 3).(t + 4) (2)
Từ (1) và (2) suy ra:
(x2 + x + 1).(x2 + x + 2) - 12 = (x2 + x + 1 - 3).(x2 + x + 1 + 4)
= (x2 + x - 2).(x2 + x + 5) = [(x2 - 1) + (x - 1)].(x2 + x + 5)
= [(x + 1).(x - 1) + (x - 1)].(x2 + x + 5)
= (x - 1).(x + 2).(x2 + x + 5)
Chọn B.
C. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1. Phân tích đa thức (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 thành nhân tử
A. (x - 2).(x + 4).(x2 + 5x + 8)
B. (x + 2).(x - 4).(x2 + 5x + 8)
C. (x - 2).(x - 4).(x2 + 5x + 8)
D. (x + 2).(x + 4).(x2 + 5x + 8)
Lời giải:
+ Đặt t = x2 + 4x + 8, khi đó:
(x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8) + 2x2 = t2 + 3xt + 2x2
+ Ta có:
t2 + 3xt + 2x2 = (t2 + xt) + (2xt + 2x2)
= t.(t + x) + 2x.(t + x) = (t + 2x).(t + x)
Do đó: (x2 + 4x + 8)2 + 3x(x2 + 4x + 8x) + 2x2
= (x2 + 4x + 8 + 2x).(x2 + 4x + 8 + x)
= (x2 + 6x + 8).(x2 + 5x + 8)
= [(x2 + 2x) + (4x + 8)].(x2 + 5x + 8)
= [x(x + 2) + 4(x + 2)].(x2 + 5x + 8)
= (x + 2).(x + 4).(x2 + 5x + 8)
Chọn D.
Câu 2. Phân tích đa thức (x+ 1).(x+ 2). (x+ 3). (x+ 4) + 1 thành nhân tử
A. (x +1).(x+ 5). (x+ 6). (x- 1)
B. (x+ 2).(x- 3).(x + 7).(x – 1)
C. (x2 + 5x + 5)2
D. Đáp án khác
Lời giải:
(x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1
= [(x + 1).(x + 4)].[(x + 2).(x + 3)] + 1
= (x2 + 5x + 4).(x2 + 5x + 6) + +1
+ Đặt t = x2 + 5x + 5 => t - 1 = x2 + 5x + 4; t + 1 = x2 + 5x + 6
+ Ta có :
(x2 + 5x + 4).(x2 + 5x + 6) + 1
= (t - 1).(t + 1) + 1 = t2 - 1 + 1
= t2 = (x2 + 5x+ 5)2
Chọn C.
Câu 3. Phân tích đa thức x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12 thành nhân tử
A. (x - 1).(x - 2).(x2 - x + 6)
B. (x - 1).(x + 2).(x2 + x + 6)
C. (x + 1).(x + 2).(x2 - x + 6)
D. Đáp án khác
Lời giải:
• Ta có:
x4 + 2x3 + 5x2 + 4x - 12
= (x4 + 2x3 + x2) + (4x2 + 4x) - 12
= x2.(x2 + 2x + 1) + 4x(x + 1) - 12
= x2.(x + 1)2 + 4x.(x + 1) - 12
• Đặt t = x(x + 1) => t2 = x2.(x + 1)2
Do đó;
x2.(x + 1)2 + 4x.(x + 1) - 12 = t2 + 4t - 12
= (t2 + 6t) - (2t + 12) = t(t + 6) -2(t + 6) = (t - 2).(t + 6)
= [x.(x + 1) - 2].[x.(x + 1) + 6] = (x2 + x - 2).(x2 + x + 6)
= [(x2 - 1) + (x - 1)].(x2 + x + 6)
= [(x + 1).(x - 1) + 1.(x - 1)].(x2 + x + 6)
= (x - 1).(x + 1 + 1).(x2 + x + 6) = (x - 1).(x + 2).(x2 + x + 6)
Chọn B.
Câu 4. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 3).(x + 5).(x + 7) + 15 thành nhân tử
A. (x + 6).(x + 2).(x2 + 8x + 10)
B. (x - 6).(x + 2).(x2 + 8x - 10)
C. (x + 6).(x - 2).(x2 - 8x + 10)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có:
(x + 1).(x + 3).(x + 5).(x + 7) + 15
= [(x + 1).(x + 7)].[(x + 3).(x + 5)] + 15
= (x2 + 8x + 7).(x2 + 8x + 15) + 15
+ Đặt t = x2 + 8x + 11 =>t - 4 = x2 + 8x + 7; t + 4 = x2 + 8x + 15
Khi đó: (x2 + 8x + 7).(x2 + 8x + 15) + 15
= (t - 4).(t + 4) + 15
= t2 - 16 + 15 = t2 - 1 = (t + 1).(t - 1)
= (x2 + 8x + 11 + 1).(x2 + 8x + 11 - 1)
= (x2 + 8x + 12).(x2 + 8x + 10)
= [(x2 + 2x) + (6x + 12)].(x2 + 8x + 10)
= [x.(x + 2) + 6(x + 2)].(x2 + 8x + 10)
= (x + 6).(x + 2).(x2 + 8x + 10)
Chọn A.
Câu 5. Phân tích đa thức(x2 + 8x + 7).(x2 + 8x + 15) + 15 thành nhân tử
A. (x2 - 8x + 10).(x + 6).(x + 2)
B. (x2 + 8x + 10).(x + 6).(x + 2)
C. (x2 + 8x + 10).(x - 6).(x + 2)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đặt t = x2 + 8x + 7 => t + 8 = x2 + 8x + 15
Ta có: (x2 + 8x + 7).(x2 + 8x + 15) + 15
= t.(t + 8) + 15 = t2 + 8t + 15
= (t2 + 5t) + (3t + 15)
= t(t + 5) + 3(t + 5) = (t + 3).(t + 5)
= (x2 + 8x + 7 + 3).(x2 + 8x + 7 + 5)
= (x2 + 8x + 10).(x2 + 8x + 12)
= (x2 + 8x + 10).[(x2 + 2x) + (6x + 12)]
= (x2 + 8x + 10).[(x(x + 2) + 6(x + 2)]
= (x2 + 8x + 10).(x + 6).(x + 2)
Chọn B.
Câu 6. Phân tích đa thức (x + 2). (x+ 3). (x+ 4).(x+ 5) - 24 thành nhân tử
A. (x2 - 7x + 16).(x + 6).(x + 1)
B. (x2 + 7x + 16).(9x - 6).(x + 1)
C. (x2 + 7x + 16).(x + 6).(x + 1)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Ta có: (x + 2). (x + 3). (x+ 4). (x+ 5) – 24
= [(x + 2).(x + 5)].[(x + 3).(x + 4)] - 24
= (x2 + 7x + 10).(x2 + 7x + 12) - 24
+ Đặt t = x2 + 7x + 11 => t - 1 = x2 + 7x + 10; t + 1 = x2 + 7x + 12
Khi đó:
(x2 + 7x + 10).(x2 + 7x + 12) - 24
= (t - 1).(t + 1) - 24
= t2 - 1 - 24 = t2 - 25 = (t + 5).(t - 5)
= (x2 + 7x + 11 + 5).(x2 + 7x + 11 - 5)
= (x2 + 7x + 16).(x2 + 7x + 6)
= (x2 + 7x + 16).[(x2 + x) + (6x + 6)]
= (x2 + 7x + 16).[x(x + 1) + 6(x + 1)]
= (x2 + 7x + 16).(x + 6).(x + 1)
Chọn C.
Câu 7. Phân tích đa thức thành nhân tử (x2 + 3)2 - x2 - 5
A. (x2 + 2).(x2 + 1)
B. (x2 + 4).(x2 + 2)
C. (x2 + 3).(x2 + 1)
D. (x2 + 4).(x2 + 1)
Lời giải:
Đặt t = x2 + 3. Suy ra:
(x2 + 3)3 - x2 - 5 = (x2 + 3)2 - (x2 + 3) - 2
= t2 - t - 2 = (t2 - 1) - (t + 1)
= (t + 1).(t - 1) - (t + 1)
= (t + 1).(t - 1 - 1) = (t + 1).(t - 2)
= (x2 + 3 + 1).(x2 + 3 - 2) = (x2 + 4).(x2 + 1)
Chọn D.
Câu 8. Phân tích đa thức x4 - x2 - 6 thành nhân tử
A. (x2 - 2).(x2 + 3)
B. (x2 + 2).(x2 - 3)
C. (x2 - 2).(x2 - 3)
D. (x2 + 2).(x2 + 3)
Lời giải:
Đặt t = x2, khi đó:
x4 - x2 - 6 = t2 - t - 6
= (t2 - 4) - (t + 2) = (t + 2).(t - 2) - 1.(t + 2)
= (t + 2).(t - 2 - 1) = (t + 2).(t - 3)
= (x2 + 2).(x2 - 3)
Chọn B.
Câu 9. Phân tích đa thức (x3 + 3)2 - 3(x3 + 3) + 2 thành nhân tử
A. (x3 + 2).(x + 1).(x2 - x + 1)
B. (x3 + 2).(x - 1).(x2 + x + 1)
C. (x3 - 2).(x + 1).(x2 - x + 1)
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đặt t = x3 + 3, ta có:
(x3 + 3)2 - 3(x3 + 3) + 2 = t2 - 3t + 2
= (t2 - t) - (2t - 2) = t(t - 1) - 2(t - 1)
= (t - 1).(t - 2)
= (x3 + 3 - 1).(x3 + 3 - 2)
= (x3 + 2).(x3 + 1) = (x3 + 2).(x + 1).(x2 - x + 1)
Chọn A.
Câu 10. Phân tích đa thức (3 - x3)2 + x3 - 9 thành nhân tử
A. (3 - x3).x3
B. -(5 - x3).x3
C. (6 - x3).x3
D. Đáp án khác
Lời giải:
Đặt t = 3 -x3 => x3 = 3 - t
Ta có:
(3 - x3)2 + x3 - 9
= t2 + 3 - t - 9 = t2 - t - 6
= (t2 - 3t) + (2t - 6)
= t(t - 3) + 2(t - 3) = (t + 2).(t - 3)
= (3 - x3 + 2).(3 - x3 - 3)
= -(5 - x3).x3
Chọn B.
D. Bài tập tự luyện
Bài 1. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 – 4)(x2 – 10) – 72;
b) (x2 + x)2 – 2(x2 + x) – 15.
Bài 2. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + x + 1)(x2 + x + 2) – 12.
b) (x2 + 3x) (x2 + 3x – 3) – 5.
Bài 3. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + 4x + 8)2 + 3x3 + 14x2 + 24x.
b) (x2 + 2x + 7) – (x2 + 2x + 4)( x2 + 2x + 3).
Bài 4. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + 2x)2 + 9x2 + 18x + 20.
b) (x2 + 8x + 7)(x + 3)(x + 5) + 15.
Bài 5. Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
a) (x2 + 3x + 1)( x2 + 3x + 2) – 6
b) x2 + 6xy + 9y2 – 3(x + 3y) – 4
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:
- Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm
- Cách chia đơn thức cho đơn thức (cực hay, có lời giải)
- Cách chia đa thức cho đơn thức (cực hay, có lời giải)
- Cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (cực hay, có lời giải)
- Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức
Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:
Tủ sách VIETJACK shopee lớp 6-8 cho phụ huynh và giáo viên (cả 3 bộ sách):
ĐỀ THI, GIÁO ÁN, SÁCH LUYỆN THI DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 8
Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi, sách dành cho giáo viên và gia sư dành cho phụ huynh tại https://tailieugiaovien.com.vn/ . Hỗ trợ zalo VietJack Official
Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Loạt bài Lý thuyết & 700 Bài tập Toán lớp 8 có lời giải chi tiết có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài có lời giải chi tiết được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 8 và Hình học 8.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Giải Tiếng Anh 8 Global Success
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Smart World
- Giải sgk Tiếng Anh 8 Friends plus
- Lớp 8 - Kết nối tri thức
- Soạn văn 8 (hay nhất) - KNTT
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) KNTT
- Giải sgk Toán 8 - KNTT
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - KNTT
- Giải sgk Lịch Sử 8 - KNTT
- Giải sgk Địa Lí 8 - KNTT
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - KNTT
- Giải sgk Tin học 8 - KNTT
- Giải sgk Công nghệ 8 - KNTT
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - KNTT
- Giải sgk Âm nhạc 8 - KNTT
- Lớp 8 - Chân trời sáng tạo
- Soạn văn 8 (hay nhất) - CTST
- Soạn văn 8 (ngắn nhất) - CTST
- Giải sgk Toán 8 - CTST
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - CTST
- Giải sgk Lịch Sử 8 - CTST
- Giải sgk Địa Lí 8 - CTST
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - CTST
- Giải sgk Tin học 8 - CTST
- Giải sgk Công nghệ 8 - CTST
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - CTST
- Giải sgk Âm nhạc 8 - CTST
- Lớp 8 - Cánh diều
- Soạn văn 8 Cánh diều (hay nhất)
- Soạn văn 8 Cánh diều (ngắn nhất)
- Giải sgk Toán 8 - Cánh diều
- Giải sgk Khoa học tự nhiên 8 - Cánh diều
- Giải sgk Lịch Sử 8 - Cánh diều
- Giải sgk Địa Lí 8 - Cánh diều
- Giải sgk Giáo dục công dân 8 - Cánh diều
- Giải sgk Tin học 8 - Cánh diều
- Giải sgk Công nghệ 8 - Cánh diều
- Giải sgk Hoạt động trải nghiệm 8 - Cánh diều
- Giải sgk Âm nhạc 8 - Cánh diều
