Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm

Bài viết Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm.

Cách phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp nhẩm nghiệm

A. Phương pháp giải

+ Giả sử đa thức có nghiệm là x = a.

Ta dùng phương pháp thêm ( bớt) , tách hạng tử và nhóm các hạng tử thích hợp để xuất hiện nhân tử chung là x – a.

+ Chú ý:

            • A.B + A.C = A.(B + C)

            • Đa thức bậc hai ax² + bx + c có hai nghiệm là x₁; x₂.

Khi đó: ax² + bx + c = a.(x = x₁).(x - x₂)

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Phân tích đa thức 3x² + bx + c thành nhân tử?

A. 3(x+ 1). (x – 9)

B. 3(x + 1). (x – 3)

C. 3(x – 1).(x + 9)

D. 3(x – 1). (x+ 3)

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Ta thấy x = 1 là 1 nghiệm của đa thức đã cho nên ta phân tích như sau:

3x² + 6x - 9 = (3x² - 3) + (6x - 6)

= 3(x + 1).(x - 1) + 6(x - 1)

= 3(x - 1).[(x + 1) + 2] = 3(x - 1).(x + 3)

Chọn D.

Ví dụ 2. Phân tích đa thức (x² + x)² + 4x² + 4x - 12 thành nhân tử?

A. (x - 1).(x² + x + 2)

B. (x + 1).(x² - x + 2)

C. (1 - x).(x² + x - 2)

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 làm nghiệm. Do đó, ta sẽ nhóm thích hợp để xuất hiện nhân tử chung x – 1 như sau:

+ x³ + x - 2 = (x³ - 1) + (x - 1)

= (x - 1).(x² + x + 1) + 1.(x - 1)

= (x - 1).(x² + x + 1 + 1) = (x - 1).(x² + x + 2)

Chọn A.

Ví dụ 3. Phân tích đa thức x⁴ - 3x³ + x² - 5 thành nhân tử?

A. (x - 1).(x³ + 4x² + 5x - 5)

B. (x + 1).(x³ - 4x² + 5x - 5)

C. (x + 1).(x³ - 4x² - 5x + 5)

D. Đáp án khác

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhân x = -1 là nghiệm.

Ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x + 1 là nhân tử chung như sau:

+ Ta có:

x⁴ - 3x³ + x² - 5 = (x⁴ + 2x³ + x²) - (5x³ + 5)

= x².(x² + 2x + 1)-5(x³ + 1)

= x².(x + 1)² - 5(x + 1).(x² - x + 1)

= (x + 1).[x².(x + 1) - 5(x² - x + 1)]

= (x + 1).(x³ + x² - 5x² + 5x - 5)

= (x + 1).(x³ - 4x² + 5x - 5)

Chọn B.

Ví dụ 4. Phân tích đa thức -7x² + 12x + 4 thành nhân tử

A. ( 2x + 2). (-7x -1)

B. ( - 7x + 3).(x+ 2)

C.( x- 2).(- 7x + 2)

D. ( - 7x – 2). (x- 2)

Lời giải

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 là nghiệm. Chúng ta nhóm các hạng tử để xuất hiện x – 2 như sau:

-7x² + 12x + 4 = -7x² + 14x - 2x + 4

= -7x.(x - 2) - 2(x - 2)

= (-7x - 2).(x - 2)

Chọn D.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Phân tích đa thức -8x² + 24x - 16 thành nhân tử?

A. ( - 8x + 16). (x- 1)

B. ( 8x – 1).( x + 16)

C. ( 4x – 1). (- 2x + 16)

D. ( 2x – 2).(- 4x + 8)

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta biến đổi làm xuất hiện nhân tử chung x- 1 như sau:

-8x² + 24x - 16 = (-8x² + 8x) + (16x - 16)

= - 8x(x - 1) + 16.(x - 1) = (-8x + 16).(x - 1)

Chọn A

Câu 2. Phân tích đa thức (x + 1).(x + 2).(x + 3).(x + 4) + 1thành nhân tử?

A. (x- 2). ( 20x – 3)

B. ( x- 2).( 20x + 30).

C. (x+ 2). ( 20x + 3)

D. (2x + 4). (10x – 15)

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 2 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 2 như sau:

20x² - 10x - 60 = 20x² - 80 - 10x + 20

= (20x² - 80) - (10x - 20) = 20.(x² - 4) - 10(x - 2)

= 20.(x + 2).(x - 2) - 10.(x - 2)

= (x - 2).[20(x + 2) - 10] = (x - 2).(20x + 40 - 10)

= (x - 2).(20x + 30)

Chọn B.

Câu 3. Phân tích đa thức -8x³ + 10x² + 4x - 6 thành nhân tử?

A. (x + 1)².(8x - 6)

B. (1 - x)².(-8x + 6)

C. (x - 1)².(-8x - 6)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 làm nhân tử chung như sau:

-8x³ + 10x² + 4x - 6

= -8x³ + 8x² + 2x² - 2x + 6x - 6

= (x - 1).(-8x² + 2x + 6)

= (x - 1).[(-8x² + 8x) - (6x - 6)]

= (x - 1).[-8x.(x - 1) - 6(x - 1)]

= (x - 1).(x - 1).(-8x - 6)

= (x - 1)².(-8x - 6)

Chọn C.

Câu 4. Phân tích đa thức -x⁵ + 8x² + 2x + 9 thành nhân tử

A. (1 - x).(-x⁴ - x³ - x² + 7x + 9)

B. (x + 1).(-x⁴ - x³ + x² + 7x + 9)

C. (1 - x).(-x⁴ - x³ - x² - 7x + 9)

D. (x - 1).(-x⁴ - x³ - x² + 7x + 9)

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = 1 là nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x – 1 như sau:

-x⁵ + 8x² + 2x - 9

= (-x⁵ + x²) + (7x² - 7) + (2x - 2)

= -x².(x³ - 1) + 7(x² - 1) + 2.(x - 1)

= -x².(x - 1).(x² + x + 1) + 7(x + 1).(x - 1) + 2(x - 1)

= (x - 1).[-x².(x² + x + 1) + 7(x + 1) + 2]

= (x - 1).(x⁴ -x³ - x² + 7x + 7 + 2)

= (x - 1).(-x⁴ - x³ - x² + 7x + 9)

Chọn D

Câu 5. Phân tích đa thức 4x⁴ + x³ - 4x - 1 thành nhân tử

A. (4x + 1).(x - 1).(x² + x + 1)

B. (2x + 2).(x - 1).(x² + x - 1)

C. (4x - 1).(x + 1).(x² + x + 1)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 1 làm nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x – 1 như sau:

4x⁴ + x³ - 4x - 1 = (4x⁴ - 4x) + (x³ - 1)

= 4x(x³ - 1) + (x³ - 1)

= (4x + 1).(x³ - 1)

= (4x + 1).(x - 1).(x² + x + 1)

Chọn A.

Câu 6. Phân tích đa thức 6x³ - 4x² - 3x + 7 thành nhân tử

A. (x + 1).(6x² + 8x + 7)

B. (x - 1).(6x² + 9x + 7)

C. (x + 1).(6x² - 10x + 7)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= -1 làm nghiệm. Ta nhóm để xuất hiện x + 1 như sau:

6x³ - 4x² - 3x + 7

= (6x³ + 6) - (4x² + 4x) + (x + 1)

= 6(x³ + 1) - 4x(x + 1) + 1.(x + 1)

= 6(x + 1).(x² - x + 1) - 4x.(x + 1) + 1.(x + 1)

= (x + 1).[6.(x² - x + 1) - 4x + 1]

= (x + 1).(6x² - 6x + 6 - 4x + 1)

= (x + 1).(6x² - 10x + 7)

Chọn C.

Câu 7. Phân tích đa thức -x³ + 2x² + 9x - 18 thành nhân tử

A. (3+ x). (3- x). ( 4- x)

B. (3 + x). (3- x). (x- 2)

C. (x + 2). ( x- 2). ( 6 -x)

D. (2 – x). ( x +1). ( x – 9)

Lời giải:

-x³ + 2x² + 9x - 18

= (-x³ + 2x²) + (9x - 18)

= -x².(x - 2) + 9(x - 2)

= (-x² + 9).(x - 2)

= (9 - x²).(x - 2)

= (3 + x).(3 - x).(x - 2)

Chọn B.

Câu 8. Phân tích đa thức -10x² + 5x + 75 thành nhân tử

A.( -10x – 25). (x – 3)

B. (5x + 5).(-2x + 15)

C.( - 5x + 15).( 2x + 6)

D. ( -10x + 20).( x + 3)

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x= 5 là nghiệm. Ta nhóm làm xuất hiện x - 5:

-10x² + 5x + 75

= (-10x² + 90) + (5x - 15)

= -10.(x² - 9) + 5.(x - 3)

= -10.(x + 3).(x - 3) + 5.(x - 3)

= (x - 3).[-10.(x + 3) + 5]

= (x - 3).(-10x - 25)

Chọn A.

Câu 9. Phân tích đa thức 17x² - 13x - 94 thành nhân tử

A. (x+ 2). ( 17x – 47)

B. (x + 5). ( 17x – 2)

C. (17x – 1).(x + 94)

D. Đáp án khác

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = - 2 làm nghiệm ta nhóm để xuất hiện x + 2:

17x² - 13x - 94

= 17x² - 68 - 13x - 26

= 17.(x² - 4) - 13.(x + 2)

= 17.(x + 2).(x - 2) - 13.(x + 2)

= (x + 2).[17(x - 2) - 13] = (x + 2).(17x - 47)

Chọn A.

Câu 10. Phân tích đa thức -2x³ + 8x - 30 thành nhân tử

A. (x + 3). (- x + 1).(2x + 10)

B. (x + 3).(-2x² + 6x - 10)

C. (x+ 3). ( 2x + 2). (x – 5)

D. (-x + 3).(2x² - 6x - 10)

Lời giải:

+ Nhẩm nghiệm: Đa thức đã cho nhận x = -3 là nghiệm. Ta làm xuất hiện nhân tử chung x + 3 như sau:

-2x³ + 8x - 30 = -2x³ + 8x + 24 - 54

= (-2x³ - 54) + (8x + 24) = -2(x³ + 27) + 8.(x + 3)

= -2.(x + 3).(x² - 3x + 9) + 8.(x + 3)

= (x + 3).[-2(x² - 3x + 9) + 8]

= (x + 3).(-2x² + 6x - 18 + 8)

= (x + 3).(-2x² + 6x - 10)

Chọn B.

   

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 3x² – 24x – 27;

b) 2x² – 4x – 6.

Bài 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) x⁴ + 3x³ + x² – 10x + 5;

b) x⁴ – 3x³ – 4x² – 5x – 5.

Bài 3. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) –7x² + 12x + 4;

b) –8x² + 24x – 16.

Bài 4. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a) 20x² – 10x – 60;

b) – 8x³ + 10x² + 4x – 6.

Bài 5. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

a)  –2x³ + 8x – 30;

b) 17x² – 13x – 94.

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 8 chọn lọc, có đáp án hay khác:

• Cách chia đơn thức cho đơn thức (cực hay, có lời giải)
• Cách chia đa thức cho đơn thức (cực hay, có lời giải)
• Cách chia đa thức một biến đã sắp xếp (cực hay, có lời giải)
• Cách chứng minh đa thức chia hết cho đơn thức, đa thức
• Cách tìm n để biểu thức có giá trị nguyên cực hay

Xem thêm các loạt bài Để học tốt Toán lớp 8 hay khác:

• Giải bài tập Toán 8
• Giải sách bài tập Toán 8
• Top 75 Đề thi Toán 8 có đáp án

---