Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết

Tải xuống

A. Phương pháp giải

+ Ta thường sử dụng các kiến thức về số đo của góc có đỉnh bên trong và bên ngoài đường tròn, góc nội tiếp, góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung để chứng minh các góc bằng nhau.

- Các góc nội tiếp, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung cùng chắn một cung

- Tính số đo góc cụ thể

+ Chứng minh hai đường thẳng vuông góc bằng cách:

- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng 90o

- Từ song song đến vuông góc

- Đường trung trực, đường cao,…

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O. Gọi P, Q, R lần lượt là giao điểm của các tia phân giác trong góc A, B, C với đường tròn. Chứng minh: AP ⊥ QR

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( vì AP là tia phân giác của góc Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 lần lượt là các góc nội tiếp chắn cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Tương tự Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi S là giao điểm của AP và QR. Khi đó:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ AP ⊥ QR

Vậy ⊥ QR

Ví dụ 2 : Các điểm A1,A2,A3,….A19,A20 được sắp xếp theo thứ tự đó trên đường tròn (O) và chia đường tròn thành 20 cung bằng nhau.Chứng minh rằng dây A1A8 vuông góc với dây A3A16

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi giao điểm của A1A8 và A3A16 là M.

Vì đường tròn được chia thành 20 cung bằng nhau nên số đo của mỗi cung là :

360o : 20 = 18o

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc có đỉnh bên trong đường tròn (O) nên:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Suy ra A1A8 ⊥ A3A16

Vậy dây A1A8 vuông góc với dây A3A16.

Ví dụ 3 : Qua điểm A nằm bên ngoài đường tròn (O) vẽ hai cát tuyến ABC và AMN sao cho hai đường thẳng BN và CM cắt nhau tại một điểm S nằm bên tròn đường tròn.

Chứng minh Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Góc Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc có đỉnh ở bên ngoài đường tròn (O) chắn hai cung NC và BM

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Góc Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc có đỉnh ở bên trong đường tròn (O) chắn hai cung NC và BM

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (1)

Ta có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (2)

Từ (1) và (2) suy ra Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Ví dụ 4 : A, B, C là ba điểm thuộc đường tròn (O) sao cho tiếp tuyến tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của góc (BAC) cắt đường tròn ở M, tia phân giác của góc D cắt AM ở I. Chứng minh DI ⊥ AM.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (AM là tia phân giác của Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi N là giao điểm của BD và AM

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc có đỉnh năm bên trong đường tròn chắn hai cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta lại có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AM)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Suy ra tam giác AND cân tại D

Tam giác AND cân tại D có DI là tia phân giác nên DI cũng là đường cao

Suy ra: DI ⊥ AM hay DI ⊥ AM

Ví dụ 5 : Cho đường tròn tâm O và dây cung AB. Vẽ đường kính CD vuông góc với AB (D thuộc cung nhỏ AB). Trên cung BC nhỏ, lấy điểm N. Các đường thẳng CN, DN cắt AB lần lượt tại E,F. Tiếp tuyến tại N của (O) cắt AB tại I. Chứng minh

a) Tam giác IEN, IFN cân

b) Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

a) Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung chắn cung ND)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc có đỉnh nằm ở bên trong đường tròn)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ⇒ ΔIFN cân tại I

+ Gọi H là giao của CD và AB

Xét tam giác vuông EHC, có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta lại có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc phụ nhau)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Suy ra Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ⇒ ΔIEN cân tại I.

b) Từ a ta có: IN = IF = IE

AE + AF = AF + IE + IF + AF = AF + IF + IF + AF = 2AI

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và dây AB bất kỳ. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. E và F là hai điểm bất kỳ trên dây AB. Gọi C và D tương ứng là giao điểm của ME, MF của đường tròn (O). Tính tổng Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

A. 360o

B. 180o

C. 270o

D. 90o

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có M là điểm chính giữa cung nhỏ AB

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (1)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn chắn hai cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn cung MD)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Câu 2 : Trên đường tròn (O; R) đặt liên tiếp các dây cung: AB = BC = CD < R. AB cắt CD tại E. Tiếp tuyến tại B và D với đường tròn (O) cắt nhau tại F. Biểu thức nào dưới đây đúng:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc có đỉnh năm bên ngoài đường tròn chắn hai cung AD và BC) (1)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung AD )

Mà AB = CB = CD ⇒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Từ (1) và (2)⇒ Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn cung CD

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung lần lượt chắn các cung Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc đối đỉnh)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Xét ΔEBC và ΔFBD , ta có:

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ ΔEBC ∼ ΔFBD (g - g)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Câu 3 : Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB, C là điểm tùy ý trên nửa đường tròn.Tiếp tuyến của (O) tại A cắt tia BC tại D.Tia phân giác của góc BAC cắt dây BC tại M và cung BC tại N. ΔDAM là tam giác gì?

A.Tam giác vuông

B.Tam giác vuông cân

C.Tam giác cân

D.Tam giác đều

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Vì AM là phân giác của Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AC, BN)

Ta lại có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung AN)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 cân tại D.

Câu 4 : Trên đường tròn (O) lấy ba cung liên tiếp AB = BC = CD sao cho số đo của chúng đều bằng 45o .Gọi I là giao điểm của hai tia AB và DC, H là giao điểm của hai dây AC và BD. Khẳng định nào sau đây đúng?

A.ΔIBC là tam giác vuông

B.ΔIBC là tam giác cân

C. ΔIBC là tam giác vuông cân

D. A,B,C đều đúng

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta có AB = BC = CD

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (hai góc nội tiếp cùng chắn hai cung bằng nhau)

⇒ ΔIAD cân tại I ⇒ IA = ID

Mà AB = CD

⇒ IB = IC ⇒ ΔIBC cân tại I

Ta lại có Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( góc có đỉnh nằm ngoài đường tròn chắn cung AD, BC)

Mặt khác Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 (vì Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 )

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

⇒ ΔIBC vuông cân.

Câu 5 : Cho tam giác đều ABC nội tiếp trog đường tròn tâm O; M là một điểm trên cung nhỏ AC (M khác A và C) sao cho Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .Góc giữa hai đường thẳng AC và BM là:

A.45

B.60

C.65

D.90

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Gọi giao điểm của BM và AC là H

Ta có: Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( góc nội tiếp chắn cung MC)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Ta lại có: ΔABC đều

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 ( góc nội tiếp chắn cung AB)

Cách chứng minh hai đường thẳng vuông góc cực hay, chi tiết - Toán lớp 9 .

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp

Nhóm học tập 2k7