Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay

Tải xuống

A. Phương pháp giải

+ Chứng minh các điểm cùng cách đều một điểm O một khoảng bằng R. Khi đó các điểm đó sẽ thuộc đường tròn tâm O, bán kính R.

+ Sử dụng cung chứa góc: Chứng minh các điểm liên tiếp cùng nhìn một đoạn AB cố định dưới một góc α bằng nhau. Hay chính là các điểm đó cùng thuộc một cung chứa góc α dựng trên đoạn AB, nên các điểm đó cùng thuộc một đường tròn chứa cung chứa góc α dựng trên đoạn AB.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Cho I, O lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp, tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC với A = 60o. Gọi H là giao điểm của các đường cao BB' và CC'. Chứng minh các điểm B, C, O, H, I cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

+ Xét trên đường tròn (O):

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 là góc ở tâm chắn cung BC

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn cung BC

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

+ Tứ giác AC’HB’ có:

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 ( BB’, CC’ là các đường cao)

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

+ Do I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

Suy ra BI, CI lần lượt là các tia phân giác của Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 .

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Xét tam giác IBC, ta có: Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 (3)

Từ (1), (2) và (3)Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Do đó, H, I và O cùng nhìn BC cố định dưới một góc 120o.

Suy ra, H, I và O thuộc cung chứa góc 120o dựng trên đoạn BC.

⇒ B, O, I, H, C cùng thuộc đường tròn chứa cung 120o dựng trên đoạn BC.

Ví dụ 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E ( E nằm giữa A và D). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F.

a. Chứng minh IF ⊥ AB tại J

b. Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, AF, IF. Chứng minh 4 điểm J, P, Q, R cùng nằm trên một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

a. Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB

Mà BE giao AD tại I

⇒ I là trực tâm của tam giác AFB

⇒ IF là đường cao của tam giác AFB

⇒ IF ⊥ AB tại J (đpcm)

b. ΔPJR vuông tại J (IJ ⊥ AB) ⇒ Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 ⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR (*)

P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF

⇒ PQ // BF

Mà AD BF

⇒ AD ⊥ PQ

R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA

⇒ RQ // AD

Mà AD ⊥ PQ

⇒ RQ ⊥ PQ

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.

Ví dụ 3 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Trên AC lấy điểm D. Hình chiếu của D lên BC là E, điểm đối xứng của E qua BD là F. Chứng minh 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

ΔBAD có góc A bằng 90o A nằm trên đường tròn đường kính BD.

ΔBED có góc E bằng 90o (E là hình chiếu của D lên BC) ⇒ E nằm trên đường tròn đường kính BD.

F đối xứng với E qua BD nên F cũng nằm trên đường tròn đường kính BD (tính chất đối xứng của đường tròn).

Vây 5 điểm A, B, E, D, F cùng nằm trên đường tròn đường kính BD tâm O là trung điểm của BD.

Ví dụ 4 : Cho hình vuông ABCD, hai đường chéo cắt nhau tại O. Qua O vẽ hai đường thẳng vuông góc với nhau cắt các cạnh AB, BC, CD, DA lần ượt tại M, N, P, Q. Chứng minh 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

+ Xét ΔAMO và ΔCPO , ta có:

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 (hai góc so le trong)

OA = OC (tính chất hình vuông)

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 (hai góc đối đỉnh)

⇒ ΔAMO = ΔCPO (g – c – g)

⇒ OM = OP (hai cạnh tương ứng) (1)

+ Chứng minh tương tự với cặp ΔBNO và ΔDQO

⇒ ON = OQ (hai cạnh tương ứng) (2)

+ Xét ΔBNO và ΔCPO , ta có:

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

OB = OC (tính chất hình vuông)

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 (hai góc cùng phụ với Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 )

⇒ ΔBNO = ΔCPO (g – c – g)

⇒ ON = OP (3)

+ Tứ giác MNPQ, có OM = OP, ON = OQ

⇒ MNPQ là hình bình hành ( theo dấu hiệu nhận biết)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: MP = QN

⇒ MNPQ là hình chữ nhật

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Do đó M và P cùng thuộc đường tròn đường kính QN

Vậy M, N, P, Q cùng thuộc một đường tròn đường kính QN.

Ví dụ 5 : "Góc sút" của quả phạt đền 11 mét là bao nhiêu độ? Biết rằng chiều rộng cầu môn là 7,32m. Hãy chỉ ra hai vị trí khác trên sân có cùng "góc sút" như quả phạt đền 11 mét.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Gọi vị trí đặt quả bóng để sút phạt đền là M, và bề ngang cầu môn là PQ thì M nằm trên đường trung trực của PQ.

Gọi H là trung điểm của PQ, ta có: Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Gọi Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Do M nằm trên đường trung trực của PQ nên MH vuông góc PQ.

Tam giác MPH vuông tại H, áp dụng tỉ số lượng giác trong tam giác vuông ta có:

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Vậy góc sút phạt đền là 2α ≈ 37o12’

+ Vẽ cung chứa góc 37o12’ dựng trên đoạn thẳng PQ. Bất cứ điểm nào trên cung vừa vẽ cũng có cùng “góc sút” như quả phạt đền 11m.

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Cho tam giác ABC cân tại A, các đường cao AI, BK, CL cắt nhau tại H. Khi đó:

a. Bốn điểm A, B, K, H nằm trên một đường tròn

b. Bốn điểm B, L, K, H nằm trên một đường tròn

c. Bốn điểm B, C, K, L nằm trên một đường tròn

d. Bốn điểm A, C, L, H nằm trên một đường tròn

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

+ B, H, K cùng nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm A, B, K, H không cùng nằm trên một đường tròn; bốn điểm B, L, K, H cùng không cùng nằm trên một đường tròn.

+ C, L, H cùng nằm trên một đường thẳng nên bốn điểm A, C, L, H không cùng nằm trên một đường tròn.

+ Ta có: Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Suy ra K, L cùng thuộc đường tròn đường kính BC, nên bốn điểm B, C, L, K cùng nằm trên một đường tròn.

Câu 2 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E (D nằm giữa A và E). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, IF cắt AB tại J. Gọi P, Q, R, M và N lần lượt là trung điểm của AB, BF, IF, BI và IA. Khi đó 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn:

A. đường kính PR

B. đường kính DQ

C. đường kính SE

D. đường kính JR

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

+ Ta có: Ta có D, E thuộc đường tròn đường kính AB

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 ( góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AD, BE là đường cao của tam giác AFB

Mà BE giao AD tại I

⇒ I là trực tâm của tam giác AFB

⇒ IF là đường cao của tam giác AFB

⇒ IF ⊥ AB tại J (đpcm)

+ ΔPJR vuông tại J (IJ ⊥ AB) ⇒ Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 ⇒ J nằm trên đường tròn đường kính PR (*)

P, Q là trung điểm của AB và BF ⇒ PQ là đường trung bình của ΔABF

⇒ PQ // BF

Mà AD ⊥ BF

⇒ AD ⊥ PQ

R, Q là trung điểm IF và BF ⇒ RQ là đường trung bình của ΔIFA

⇒ RQ // AD

Mà AD ⊥ PQ

⇒ RQ ⊥ PQ

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

⇒ Q nằm trên đường tròn đường kính PR (**)

Từ (*) và (**) suy ra bốn điểm P, Q, R, J cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.

Mà 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn

Suy ra 8 điểm Q, R, E, N, J, P, M , D cùng nằm trên đường tròn đường kính PR.

Câu 3 : Cho hình thoi ABCD, đường trung trực của cạnh AB cắt BD tại E và cắt AC tại F. Khi đó.

A. E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

B. F là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD

C. E là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD

D. F là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Vì ABCD là hình thoi

⇒ AC ⊥ BC , O là trung điểm của BD

Hay AC là đường trung trực của BD

Xét tam giác ABD, hai đường trung trực cắt nhau tại F

Do đó, F là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.

Câu 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AB trên đó lấy hai điểm D và E ( D nằm giữa A và E). AD cắt BE tại I, AE cắt BD tại F, FI cắt AB tại J. Chọn phát biểu sai.

A. I, D, E, F cùng thuộc một đường tròn

B. I, D, B, J cùng thuộc một đường tròn

C. I, J, E, A cùng thuộc một đường tròn

D. I, J, F, D cùng thuộc một đường tròn

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Vì I, J, F nằm trên cùng một đường thẳng nên bốn điểm I, J, F, D không cùng thuộc một đường tròn.

Câu 5 : Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8cm, BC = 6cm. Độ dài bán kính của đường tròn đi qua 4 điểm A, B, C, D bằng:

A. 5cm

B. 8cm

C. 6cm

D. 10cm

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Vì ABCD là hình chữ nhật nên Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

⇒ A, C cùng thuộc đường tròn đường kính BD

⇒ A, B, C, D cùng thuộc đường tròn đường kính BD

Gọi O là trung điểm của BC.

Xét tam giác ABD vuông tại A, ta có:

BD2 = AB2 + BD2 = 82 + 62 = 100

⇒ DB = 10cm

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9.

Vậy bán kính đường tròn đi qua 4 điểm là 5 cm.

Câu 6 : Từ điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O), kẻ cát tuyến MAB đi qua O và các tiếp tuyến MC, MD. Gọi K là giao điểm của AC và BD. Bốn điểm nào sau đây cùng thuộc một đường tròn

A. B, C, M, K thuộc cùng một đường tròn.

B. D, M, A, B cùng thuộc một đường tròn.

C. M, A, O, B cùng thuộc một đường tròn.

D. D, M, C, A cùng thuộc một đường tròn.

Hướng dẫn giải

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Đáp án A

Ta có tiếp tuyến tại C cắt tiếp tuyến tại D tại M. Khi đó:

MC = MD (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

⇒ M thuộc vào trung trực của CD

OC = OD = R

⇒ O thuộc vào trung trực của CD

Do đó, MO là đường trung trực của CD hay AB là đường trung trực của CD.

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Suy ra Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 (hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Mặt khác Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 (góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung CA)

Do đó : Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

⇒ Hai đỉnh liên tiếp B, C cùng nhin cạnh MK dưới góc bằng nhau

Nên B,C thuộc cùng một cung chứa góc dựng trên đoạn MK nên M, C, B, K cùng thuộc một đường tròn .

Câu 7 : Cho tam giác ABC vuông tại A. Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với phân giác trong góc Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 tại D. Bốn điểm A, B, C, D cùng nằm trên đường tròn có tâm là:

A. M trung điểm của AB

B. N là trung điểm của BD

C. P là trung điểm của AC

D. Q là trung điểm của BC

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Ta có : Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

⇒ A, D cùng thuộc đường tròn đường kính BC

Do đó bốn điểm A, B, C, D cùng thuộc một đường tròn có tâm là trung điểm của BC.

Câu 8 : Lấy một điểm M nằm ngoài một đường tròn (O;R) sao cho Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 . Từ M kẻ hai tia tiếp tuyến MQ, MP ( P, Q là các tiếp điểm ) và một cát tuyến MAB ( A nằm giữa M và B). Gọi I là trung điểm của AB. Bán kính đường tròn đi qua 5 điểm M, P, I, O, Q là:

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải

Đáp án D

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Ta có I là trung điểm của AB

⇒ OI ⊥ AB tại I

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Ta lại có : Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 ( MP, MQ là tiếp tuyến của (O))

Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9

Suy ra P, Q, I cùng thuộc đường tròn đường kính OM, có tâm là trung điểm của OM

Do đó 5 điểm P, Q, I, O, M cùng thuộc đường tròn đường kính OM, có bán kính bằng Cách chứng minh nhiều điểm cùng thuộc một đường tròn cực hay - Toán lớp 9 .

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp

Nhóm học tập 2k7