Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn

Tải xuống

A. Phương pháp giải

+ Đa giác ngoại tiếp đường tròn là

Nắm vững các kiến thức liên quan đến đa giác nội tiếp, đa giác ngoại tiếp đường tròn.

+ Các công thức tính diện tích tam giác, hình thang, hình chữ nhật, hình vuông,…

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Trên đường tròn (O; R) lần lượt đặt theo cùng một chiều kẻ từ điểm A, cung AB = 45o , cung BC = 90o , cung CD = 45o .

a) Tứ giác ABCD là hình gì? Vì sao?

b) Tính chu vi và diện tích tứ giác ABCD theo R.

Hướng dẫn giải

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Ta có Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

⇒ A, O, D thẳng hàng.

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 suy ra ΔBOC vuông cân ở O nên: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (góc ở tâm chắn cung AB)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Mà hai góc này ở vị trí so le trong, suy ra BC // AD (1)

Lại có: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 ⇒ BD = AC (2)

Từ (1) và (2) suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân.

b) Vì tam giác BOC vuông cân tại O nên: BC2 = OB2 + OC2 = 2R2

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Gọi I là điểm chính giữa của cung BC, nối AI cắt OB tại H.

Dễ thấy ΔAHO vuông cân tại H, có Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Do đó: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Xét ΔABH vuông tại H nên:

AB2 = 2 + BH2

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 , do đó Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Vậy chu vi hình thang ABCD là:

AB + BC + CD + DA = Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Dễ thấy: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Do đó diện tích của hình thang ABCD là:

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

Ví dụ 2 : Một tam giác đều, một hình vuông và một hình lục giác đều cùng nội tiếp đường tròn (O ; R).

a) Tính độ dài mỗi cạnh của các hình trên theo R.

b) Chứng tỏ rằng bán kính của đường tròn nội tiếp lục giác đều bằng một nửa cạnh của tam giác đều.

Hướng dẫn giải

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

a) Xét tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O ; R). (h.a)

Kẻ đường cao AH, ta có Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Do đó BC = 2HC = BC = 2HC = Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

– Xét hình vuông ABCD nội tiếp đường tròn (O ; R). (h.b)

ΔBOC vuông cân nên Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

– Xét lục giác đều ABCDEF nội tiếp đường tròn (O ; R). (h.c)

ΔBOC đều nên BC = R.

b) Kẻ OH ⊥ DE (h.c), OH là bán kính của đường tròn nội tiếp lục giác đều.

Ta có Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

Cạnh của tam giác đều nội tiếp đường tròn (O ; R) bằng Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 , do đó bán kính của đường tròn nội tiếp lục giác đều bằng nửa cạnh của tam giác đều.

Ví dụ 3 : Chứng minh rằng diện tích của một hình thang vuông ngoại tiếp một đường tròn bằng tích của hai cạnh đáy.

Hướng dẫn giải

Xét hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn (O), Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Đặt CD = a, AB = b, BC = c, AD = d.

Kẻ BH ⊥ CD.

Trong tam giác vuông BHC ta có:

BH2 + HC2 = BC2 nên d2 + (a - b)2 = c2 (1)

Do ABCD là tứ giác ngoại tiếp nên a + b = c + d

⇒ c = a + b – d, do đó c2 = (a + b - d)2

Từ (1) và (2) suy ra d2 - (a + b)2 = (a + b - d)2

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Vậy diện tích hình thang vuông ngoại tiếp một đường tròn bằng tích của hai cạnh đáy.

Ví dụ 4 : Cho hình thang vuông ABCD có AB là cạnh đáy nhỏ, CD là cạnh đáy lớn. M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD. Biết rằng hình thang ABCD ngoại tiếp đường tròn bán kính R. Tính diện tích tam giác ADM.

Hướng dẫn giải

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp hình thang vuông ABCD. E, F, G, H lần lượt là các tiếp điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp các cạnh AB, CD, AD, BC. Gọi M là giao điểm của AC và BD.

Giả sử Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

Ta có OB là phân giác của Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (tính chất hai tiếp tuyến AB và BC cắt nhau)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (1)

OC là phân giác của Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (tính chất hai tiếp tuyến CD và BC cắt nhau)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (2)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (hai góc kề bù) (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Xét ΔBOC vuông tại O, có OH ⊥ BC : OH2 = BH.CH

Ta xét tứ giác AEFD có : Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

AEFD là hình chữ nhật

⇒ AE = DF = OE = OH .

Ta có : EB = BH, CF = CH (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Do đó M nằm trên đoạn EF.

Đường cao ứng với đỉnh M của ΔADM có độ dài R và cạnh đáy là 2R. Suy ra S ΔADM = R2 .

Vì diện tích các tam giác ADM và BCM bằng nhau, nên trong trường hợp Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 , ta cũng có S ΔBCM = R2 .

Ví dụ 5 : Cho ngũ giác đều ABCDE. Gọi I là giao điểm của AD và BE. Hệ thức nào sau đây đúng. Chứng minh AE2 = AI.AD

Hướng dẫn giải

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Ta có: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn cung AB

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 là góc nội tiếp chắn cung AE

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 ( hai góc nội tiếp chắn hai cung bằng nhau)

Xét ΔAEI và ΔADE , có:

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 : góc chung

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (cmt)

⇒ ΔAEI ∼ ΔADE (g - g)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1 : Xét các câu sau đây:

(1) Nếu qua bốn đỉnh của một tứ giác có một đường tròn thì tứ giác đó gọi là tứ giác nội tiếp đường tròn.

(2) Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc dối diện nhau bằng 1 góc vuông.

(3) Nếu một tứ giác có tổng số đo hai góc đối diện bằng 1 góc vuông thì tứ giác đó nội tiếp được một đường tròn.

(4) Nếu hai đỉnh P, Q liên tiếp cùng nhìn đoạn thẳng MN dưới cùng một góc thì tứ giác MNPQ nội tiếp.

Trong các câu trên:

A. Chỉ có 1 câu đúng

B. Chỉ có 2 câu đúng

C. Chỉ có 3 câu đúng

D. Không có câu nào sai

Hướng dẫn giải

Đáp án B

Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc dối diện nhau bằng

Và một tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng thì tứ giác đó nội tiếp đường tròn.

Nên (2) và (3) sai.

Câu 2 : Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn tâm O (AB < AC). Hai đường cao BE và CF cắt nhau tại H. Tia AO cắt đường tròn tại D.

Xác định câu sai trong các câu sau

A. Tứ giác BHCD là hình bình hành

B. Tứ giác BFEC nội tiếp được đường tròn

C. Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

D. Tứ giác BHCD không nội tiếp được đường tròn.

Hướng dẫn giải

Đáp án C

+ Ta có: A, O, D thẳng hàng nên AD là đường kính. Dó đó Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

⇒ AC ⊥ CD, AB ⊥ BD

Mà BE ⊥ AC , CF ⊥ AB

⊥ BH \\ CD (cùng vuông góc với AC)

Và CH \\ BD (cùng vuông góc với AB)

⇒ BHCD là hình bình hành. Suy ra A đúng.

+ Ta có Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

⇒ E, F là hai đỉnh liên tiếp cùng nhìn BC dưới một góc 90o nên BFEC nội tiếp. Suy ra B đúng.

+ Do BFEC nội tiếp nên Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 . Suy ra C sai.

+ Do BHCD là hình bình hành nên không nội tiếp đường tròn. Suy ra D đúng.

Câu 3 : Cho tam giác đều ABC và M là điểm thuộc cung BC ( không chứa A) của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Nếu cho MB = 60cm và MC = 90cm thì MA sẽ bằng:

A. 150cm

B. 210cm

C. 30cm

D. 75cm

Hướng dẫn giải

Đáp án A

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Trên MA lấy điểm I sao cho BM = BI.

⇒ ΔBMI cân tại B

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (hai góc nội tiếp cùng chắn Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 )

⇒ ΔBMI đều

⇒ IM = BM (1)

Ta lại có:

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 ( ΔABC đều)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (ΕMBI đều)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Xét ΔAIB và ΔCMB , ta có:

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (hai góc nội tiếp cùng chắn Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 )

AB = BC ( ΔABC đều)

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 (cmt)

⇒ ΔAIB = ΔCMB (g - c- g)

⇒ AI = CM (hai cạnh tương ứng) (2)

Từ (1) và (2) suy ra: MA = MB + MC = 60 + 90 = 150 cm

Vậy MA = 150 cm.

Câu 4 : Tính diện tích của hình 8 cạnh đều nội tiếp trong một đường tròn tâm O, bán kính R.

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Ta có Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Từ B kẻ BH ⊥ OA

⇒ ΔOBH vuông cân tại H, ta có: OB2 = OH2 + BH2

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Diện tích tam giác OAB là: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Gọi S là diện tích của hình 8 cạnh đều, khi đó: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9 .

Câu 5 : Tính số cạnh của một đa giác đều nội tiếp đường tròn tâm O, bán kính R, biết độ dài cạnh AB của nó bằng R.

A. 4

B. 5

C. 6

D. 8

Hướng dẫn giải

Đáp án C

Áp dụng công thức: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Ta có: Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn - Toán lớp 9

Vậy đa giác đều có sáu cạnh.

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp

Nhóm học tập 2k7