Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy

Tải xuống

A. Phương pháp giải

+ Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng

- Ba điểm tạo thành một góc bẹt

- MN//d, MP//d. Theo tiên đề Ơ – clit MN ≡ MP ⇒ M, N, P thẳng hàng

- MN ⊥ d, MP ⊥ d. Qua một điểm nào ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng đã cho ⇒ MN ≡ MP ⇒ M, N, P thẳng hàng.

+ Chứng minh song song

- Sử dụng các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía

- Các định lý từ vuông góc đến song song, đường trung bình, định lý Thalet,…

+ Chứng minh vuông góc

- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng

- Các đường trung trực, đường cao, …

+ Chứng minh đồng quy

- Chứng minh một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.

- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.

- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ b.

- Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.

- Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.

Nhận xét

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1 : Tứ giác ABCD có Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 . Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.

Hướng dẫn giải

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Tứ giác ABCD có Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

ABCD là tứ giác nội tiếp

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD

⇒ OA = OB = OC = OD = R

Do OA = OC nên ΔOAC cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.

Do OB = OD nên ΔOBD cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD

Do OA = OB nên ΔOAB cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.

⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .

Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.

Ví dụ 2 : Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) ,(PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Gọi I, J, K lần lượt là tâm của ba đường tròn

Ta có: (I) cắt (J) tại A, (I) cắt (K) tại C , (J) cắt (K) tại B

Suy ra: D là điểm nằm trên (K)

DB cắt (I) tại M, DC cắt (J) tại N

Nối MA, NA, PA, PB, PC ta có các tứ giác nội tiếp AMBP, BDCP và APCN

+ Tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn (I) nên ta có:

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (tính chất tứ giác nội tiếp)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (hai góc kề bù)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

+ Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (J) nên ta có:

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (tính chất tứ giác nội tiếp)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (hai góc kề bù)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Từ (1) và (2) Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Mặt khác, PBDC là tứ giác nội tiếp (K)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 ( tính chất tứ giác nội tiếp)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 hay Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Vậy A, M, N thẳng hàng.

Ví dụ 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.

Hướng dẫn giải

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

M là điểm chính giữa cung nhỏ Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ta có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AC và cung MB)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ta lại có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 ( góc nội tiếp chắn cung MC) hay Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (hai góc kề bù)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Suy ra tứ giác DCEF nội tiếp đường tròn

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)

Xét đường tròn (O) ta có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Mà hai góc ở vị trí đồng vị

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC, đường cao BB’ và CC’ nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng OA vuông góc với B’C’.

Hướng dẫn giải

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ta có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 ( Do BB’, CC’ là các đường cao)

⇒ Hai đỉnh liên tiếp C’, B’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc

⇒ Tứ giác BCB’C’ nội tiếp đường tròn đường kính BC.

Do đó: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 ( hai góc đối nhau)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (hai góc kề bù)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Kẻ tia tiếp tuyến At của (O). Khi đó: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung cùng chắn cung AC)

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Mà hai góc ở vị trí so le trong

⇒ B’C’//At

Mà At OA

⇒ B’C’ OA.

Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Một điểm D nằm giữa A và B, đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh:

a. Hai tam giác ABC và EBD đồng dạng với nhau

b. Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn

c. AC // FG

d. Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy

Hướng dẫn giải

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

a. Xét đường tròn đường kính BD

Ta có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Xét ΔABC và ΔEBD , ta có:

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 chung

⇒ ΔABC ∼ ΔEBD (g – g)

b. Xét tứ giác ADEC, có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Suy ra tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn

Ta có: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

⇒ A, F cùng nhìn BC dưới một góc

⇒ Tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn.

c) Tứ giác BEGF nội tiếp đường tròn

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (1)

Tứ giác BFDE nội tiếp đường tròn

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (2)

Tứ giác ADEC nội tiếp đương tròn

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)(3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9

Mà hai góc ở vị trí so le trong

⇒ FG//AC.

d) Gọi giao điểm của AC, BF là H

Xét tam giác HBC, có: CF, AB là các đường cao

CF ∩ AB = {D}

⇒ D là trực tâm tam giác HBC

⇒ HD ⊥ BC (1)

Ta lại có

Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy - Toán lớp 9 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BD)

⇒ DE ⊥ BC (2)

Từ (1) và (2) suy ra H, D, E thẳng hàng

Vậy ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy tại H.

Tải xuống

Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.

chuong-3-goc-voi-duong-tron.jsp

Nhóm học tập 2k7