Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy
Bài viết Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy lớp 9 với phương pháp giải chi tiết giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy.
Ứng dụng của tứ giác nội tiếp chứng minh song song, vuông góc, thẳng hàng, đồng quy
A. Phương pháp giải
+ Chứng minh 3 điểm M, N, P thẳng hàng
- Ba điểm tạo thành một góc bẹt
- MN//d, MP//d. Theo tiên đề Ơ – clit MN ≡ MP ⇒ M, N, P thẳng hàng
- MN ⊥ d, MP ⊥ d. Qua một điểm nào ngoài một đường thẳng chỉ kẻ được một đường thẳng đi qua điểm đó và vuông góc với đường thẳng đã cho ⇒ MN ≡ MP ⇒ M, N, P thẳng hàng.
+ Chứng minh song song
- Sử dụng các cặp góc so le trong, đồng vị, trong cùng phía
- Các định lý từ vuông góc đến song song, đường trung bình, định lý Thalet,…
+ Chứng minh vuông góc
- Chứng minh góc tạo bởi hai đường thẳng bằng
- Các đường trung trực, đường cao, …
+ Chứng minh đồng quy
- Chứng minh một điểm đồng thời thuộc cả ba đường thẳng đó.
- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng này nằm trên đường thẳng thứ ba.
- Chứng minh giao điểm của hai đường thẳng thứ nhất và thứ hai trùng với giao điểm của hai đường thẳng thứ hai và thứ b.
- Sử dụng tính chất đồng quy của ba đường trung tuyến, đường cao, phân giác, trung trực trong tam giác.
- Sử dụng tính chất của đường chéo của các tứ giác đặc biệt.
Nhận xét
B. Ví dụ minh họa
Ví dụ 1 : Tứ giác ABCD có . Chứng minh rằng các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua một điểm.
Hướng dẫn giải
Tứ giác ABCD có
ABCD là tứ giác nội tiếp
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD
⇒ OA = OB = OC = OD = R
Do OA = OC nên ΔOAC cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AC.
Do OB = OD nên ΔOBD cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của BD
Do OA = OB nên ΔOAB cân tại O. Suy ra, O thuộc đường trung trực của AB.
⇒ O thuộc đường trung trực của AC, BD, AB .
Vậy các đường trung trực của AC, BD, AB cùng đi qua O.
Ví dụ 2 : Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P. Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba đường tròn đó là A, B, C. Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đường tròn (PAB) ,(PAC) lần lượt tại M, N. Chứng minh ba điểm M,A,N thẳng hàng.
Hướng dẫn giải
Gọi I, J, K lần lượt là tâm của ba đường tròn
Ta có: (I) cắt (J) tại A, (I) cắt (K) tại C , (J) cắt (K) tại B
Suy ra: D là điểm nằm trên (K)
DB cắt (I) tại M, DC cắt (J) tại N
Nối MA, NA, PA, PB, PC ta có các tứ giác nội tiếp AMBP, BDCP và APCN
+ Tứ giác APBM nội tiếp trong đường tròn (I) nên ta có:
(tính chất tứ giác nội tiếp)
Mà (hai góc kề bù)
+ Tứ giác APCN nội tiếp trong đường tròn (J) nên ta có:
(tính chất tứ giác nội tiếp)
Mà (hai góc kề bù)
Từ (1) và (2)
Mặt khác, PBDC là tứ giác nội tiếp (K)
( tính chất tứ giác nội tiếp)
hay
Vậy A, M, N thẳng hàng.
Ví dụ 3 : Cho đường tròn tâm O bán kính R và hai dây AB, CD bất kì. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AB. Gọi E và F tương ứng là giao điểm của MC, MD với dây AB. Gọi I và J tương ứng là giao điểm của DE, CF với đường tròn (O). Chứng minh IJ song song với AB.
Hướng dẫn giải
M là điểm chính giữa cung nhỏ
Ta có: (góc có đỉnh nằm trong đường tròn chắn cung AC và cung MB)
Ta lại có: ( góc nội tiếp chắn cung MC) hay
Mà (hai góc kề bù)
Suy ra tứ giác DCEF nội tiếp đường tròn
( hai góc nội tiếp cùng chắn cung CE)
Xét đường tròn (O) ta có: (hai góc nội tiếp cùng chắn cung CI)
Mà hai góc ở vị trí đồng vị
Ví dụ 4 : Cho tam giác ABC, đường cao BB’ và CC’ nội tiếp đường tròn (O). Chứng minh rằng OA vuông góc với B’C’.
Hướng dẫn giải
Ta có: ( Do BB’, CC’ là các đường cao)
⇒ Hai đỉnh liên tiếp C’, B’ cùng nhìn cạnh BC dưới một góc
⇒ Tứ giác BCB’C’ nội tiếp đường tròn đường kính BC.
Do đó: ( hai góc đối nhau)
Mà (hai góc kề bù)
Kẻ tia tiếp tuyến At của (O). Khi đó: (góc nội tiếp và góc tạo bởi tia tiếp tuyến với dây cung cùng chắn cung AC)
Mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒ B’C’//At
Mà At OA
⇒ B’C’ OA.
Ví dụ 5 : Cho tam giác ABC vuông ở A. Một điểm D nằm giữa A và B, đường tròn đường kính BD cắt BC tại E. Các đường thẳng CD, AE cắt đường tròn tại F, G. Chứng minh:
a. Hai tam giác ABC và EBD đồng dạng với nhau
b. Tứ giác ADEC và tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn
c. AC // FG
d. Các đường thẳng AC, DE và BF đồng quy
Hướng dẫn giải
a. Xét đường tròn đường kính BD
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
Xét ΔABC và ΔEBD , ta có:
chung
⇒ ΔABC ∼ ΔEBD (g – g)
b. Xét tứ giác ADEC, có:
Suy ra tứ giác ADEC nội tiếp đường tròn
Ta có: (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn) hay
⇒
⇒ A, F cùng nhìn BC dưới một góc
⇒ Tứ giác AFBC nội tiếp đường tròn.
c) Tứ giác BEGF nội tiếp đường tròn
⇒ (1)
Tứ giác BFDE nội tiếp đường tròn
⇒ (2)
Tứ giác ADEC nội tiếp đương tròn
⇒ ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung EC)(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra:
Mà hai góc ở vị trí so le trong
⇒ FG//AC.
d) Gọi giao điểm của AC, BF là H
Xét tam giác HBC, có: CF, AB là các đường cao
CF ∩ AB = {D}
⇒ D là trực tâm tam giác HBC
⇒ HD ⊥ BC (1)
Ta lại có
(góc nội tiếp chắn nửa đường tròn đường kính BD)
⇒ DE ⊥ BC (2)
Từ (1) và (2) suy ra H, D, E thẳng hàng
Vậy ba đường thẳng AC, DE, BF đồng quy tại H.
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 9 chọn lọc, có lời giải chi tiết hay khác:
- Cách xác định tâm và bán kính đường tròn ngoại tiếp, đường tròn nội tiếp
- Tính các đại lượng liên quan đến đa giác ngoại tiếp, nội tiếp đường tròn
- Cách tính độ dài đường tròn, cung tròn cực hay, chi tiết
- Tính số đo cung do nhiều cung tạo thành và so sánh độ dài hai cung
- Cách tính diện tích hình tròn, hình quạt tròn cực hay, chi tiết
Tủ sách VIETJACK shopee luyện thi vào 10 cho 2k9 (2024):
Săn shopee siêu SALE :
- Sổ lò xo Art of Nature Thiên Long màu xinh xỉu
- Biti's ra mẫu mới xinh lắm
- Tsubaki 199k/3 chai
- L'Oreal mua 1 tặng 3
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.
Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
- Soạn Văn 9
- Soạn Văn 9 (bản ngắn nhất)
- Văn mẫu lớp 9
- Đề kiểm tra Ngữ Văn 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Toán 9
- Giải sách bài tập Toán 9
- Đề kiểm tra Toán 9
- Đề thi vào 10 môn Toán
- Chuyên đề Toán 9
- Giải bài tập Vật lý 9
- Giải sách bài tập Vật Lí 9
- Giải bài tập Hóa học 9
- Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Hóa học 9 (có đáp án)
- Giải bài tập Sinh học 9
- Giải Vở bài tập Sinh học 9
- Chuyên đề Sinh học 9
- Giải bài tập Địa Lí 9
- Giải bài tập Địa Lí 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập Địa Lí 9
- Giải Tập bản đồ và bài tập thực hành Địa Lí 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9
- Giải bài tập Tiếng anh 9 thí điểm
- Giải sách bài tập Tiếng Anh 9 mới
- Giải bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập Lịch sử 9 (ngắn nhất)
- Giải tập bản đồ Lịch sử 9
- Giải Vở bài tập Lịch sử 9
- Giải bài tập GDCD 9
- Giải bài tập GDCD 9 (ngắn nhất)
- Giải sách bài tập GDCD 9
- Giải bài tập Tin học 9
- Giải bài tập Công nghệ 9