Bài toán thực tế về giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến giải bài toán bằng cách lập phương trình.

Bài toán thực tế về giải bài toán bằng cách lập phương trình lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp

• Để giải quyết dạng toán thực tế bằng cách lập hệ phương trình, ta thực hiện các bước sau:

- Bước 1: Phân tích đề bài và gọi ẩn số (Xác định các đại lượng)

- Bước 2: Dựa vào dữ kiện bài toán để viết phương trình.

- Bước 3: Giải hệ phương trình đã lập.

- Bước 4: Kiểm tra điều kiện và kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Tại một buổi biểu diễn nhằm gây quỹ từ thiện, ban tổ chức đã bán được 500 vé. Trong đó có 2 loại vé: vé loại I giá 100 000 đồng, vé loại II giá 75 000 đồng. Tổng số tiền thu được từ bán vé là 44 500 000 đồng. Tính số vé bán ra của mỗi loại.

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là số vé loại I, II mà vab tổ chức bán ra (x, y ∈ ℕ)

Vì ban tổ chức bán được 500 vé nên ta có phương trình: x + y = 500 (1)

Tổng số tiền vé thu được là 44 500 000 đồng nên ta có phương trình:

100 000x + 75 000y = 44 500 000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=500\\ 100000x+75000y=44500000\end{array}\right.$.

Thế x = 500 – y vào phương trình (2) ta được 25 000y = 5 500 000 suy ra y = 220 (thỏa mãn).

Thay y = 220 vào (1) được x = 280 (thỏa mãn).

Vậy số vé loại I là 280 vé, số vé loại II là 220 vé.

Ví dụ 2. Giải bài toán đố sau:

“Quýt, cam mười bảy quả tươi

Đem chia cho một trăm người cùng vui

Chia ba mỗi quả quýt rồi

Còn cam mỗi quả chia mười vừa xinh

Trăm người, trăm miếng ngọt lành

Quýt, cam mỗi loại tính rành là bao”

Hướng dẫn giải

Gọi x, y lần lượt là số quả quýt và số quả cam với x, y ∈ ℕ^*.

Quýt, cam mười bảy quả tươi nên có x + y = 17 (1)

Ta có phương trình chia quýt, cam như sau: 3x + 10y = 100 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=17\\ 3x+10y=100\end{array}\right.$

Thực hiện thế x = 17 – y vào phương trình (2) được 7y = 49 suy ra y = 7 (thỏa mãn).

Với y = 7 thay vào (1) suy ra x = 10 (thỏa mãn).

Vậy số quả quýt là 10, số quả cam là 7 quả.

 3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong một phòng học có một số bàn, nếu xếp mỗi bàn 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ ngồi, nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì thừa 1 bàn. Hỏi lớp đó có bao nhiêu bàn và bao nhiêu học sinh?

A. 10 bàn và 36 học sinh.

B. 15 bàn và 25 học sinh.

C. 10 bàn và 30 học sinh.

D. 15 bàn và 35 học sinh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số bàn trong phòng học là x (bàn), số học sinh của lớp là y (học sinh).

Điều kiện x, y ∈ N*.

Nếu xếp mỗi bàn 3 học sinh thì 6 học sinh không có chỗ, ta có phương trình:

3x + 6 = y  hay 3x – y = −6(1)

Nếu xếp mỗi bàn 4 học sinh thì thừa một bàn, ta có phương trình:

(x – 1)4 = y hay 4x – y = 4 (2)

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}3x-y=-6\\ 4x-y=4\end{array}\right.$.

Thay y = 4x – 4 vào (1) ta được 3x – 4x + 4 = −6 suy ra x = 10 (thỏa mãn).

Với x = 10 thì y = 36 (thỏa mãn)

Vậy số bàn trong phòng học là 10 bàn và số học sinh là 36.

Bài 2. Ban đầu, khán đài nhà thi đấu các nội dung thuộc môn Bơi chưa 1188 ghế được xếp thành các dãy, số lượng ghế ở các dãy bằng nhau. Để phục vụ nhu cầu khán giả, khán đài sau đó đã lắp thêm 2 dãy ghế và mỗi dãy được lắp thêm 4 ghế. Vì thế, khán đài được tăng thêm 254 ghế. Hãy tính số dãy ghế ban đầu của khán đài.

A. 12 dãy.

B. 24 dãy.

C. 16 dãy

D. 14 dãy

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số dãy ghế ban đầu của khán đài là x, số ghế mỗi dãy là y (x, y ∈ ℕ*).

Vì ban đầu, khán đài của nhà thì đấu chứa 1188 ghế nên ta có phương trình xy = 1188 (1)

Lúc sau, có số dãy ghế là x + 2 (dãy) và có y + 4 (ghế).

Vì lúc sau khán đài tăng thêm 254 ghế nên ta có phương trình

(x + 2)(y + 4) = xy + 254 hay 4x + 2y = 246 (2).

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}xy=1188\\ 4x+2y=246\end{array}\right.$

Thay y = 123 – 2x vào phương trình (1) ta được:

x(123 – 2x) = 1188 hay 2x² – 123x + 1188 = 0

Giải phương trình, có ∆ = 123² – 4.2.1188 = 5615 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt x₁ =  $\frac{99}{2}$(loại) và x₂ = 12 (thỏa mãn).

Vậy số dãy ghế ban đầu của khán đài là 12 dãy.

Bài 3. Bạn A dự định mua 2 kg quả xoài và 2 kg quả vải hết 100 nghìn đồng. Thực tế, A mua 3 kg quả xoài và 1 kg quả vải hết 90 nghìn đồng. Tính giá tiền của 1 kg xoài và 1 kg vải.

A. 1kg xoài giá 20 nghìn đồng, 1 kg vải giá 30 nghìn đồng.

B. 1kg xoài giá 30 nghìn đồng, 1 kg vải giá 20 nghìn đồng.

C. 1kg xoài giá 15 nghìn đồng, 1 kg vải giá 35 nghìn đồng.

D. 1kg xoài giá 35 nghìn đồng, 1 kg vải giá 15 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y lần lượt là giá tiền của 1 kg xoài và 1 kg vải (0 < x, y, nghìn đồng).

Theo đề ta có 2 kg quả xoài và 2 kg quả vải hết 100 nghìn đồng nên 2x + 2y = 100 hay

x + y = 50 (1).

Thực tế, mua 3 kg quả xoài và 1 kg quả vải hết 90 nghìn đồng nên có 3x + y = 90 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=50\\ 3x+y=90\end{array}\right.$ .

Thay y = 50 – x vào (2) ta được 3x + 50 – x = 90 hay 2x = 40 suy ra x = 20 (thỏa mãn).

Với x = 20 thì y = 30 (thỏa mãn).

Vậy giá tiền 1 kg xoài là 20 nghìn đồng, giá tiền 1 kg vải là 30 nghìn đồng.

Bài 4. Lớp 9A giao cho An đi mua bánh kẹo tổ chức liên hoan. An mua tất cả 15 hộp bánh và 5 túi kẹo với số tiền phải trả là 850 nghìn đồng. Biết rằng giá mỗi hợp bánh là như nhau, giá mỗi túi kẹo là như nhau và giá mỗi hộp bánh hơn túi keoh là 10 nghìn đồng. Tính giá tiền để mua một hộp bánh.

A. 45 nghìn đồng.

B. 35 nghìn đồng.

C. 50 nghìn đồng.

D. 55 nghìn đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y (nghìn đồng) lần lượt là giá tiền của một hộp bánh và một túi kẹo (0 < x, y).

An mua 15 hộp bánh và 5 túi kẹo nên số tiền phải trả là 850 nghìn đồng nên ta có phương trình: 15x + 5y = 850 (1).

Vì giá một hộp bánh hơn giá một túi kẹo 10 nghìn đồng nên ta có phương trình

x – y = 10 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}15x+5y=850\\ x-y=10\end{array}\right.$.

Thay x = y + 10 vào (2) ta được 15.(y + 10) + 5y = 850 suy ra y = 35 (thỏa mãn).

Với y = 35 thì x = 45 (thỏa mãn).

Vậy số tiền phải trả cho một hộp bánh là 45 nghìn đồng, giá tiền cho một túi kẹo là 35 nghìn đồng.

Bài 5. Một đoàn khách đi du lịch gồm 40 người dự định tham quan núi Bà Đen bằng cáp treo. Nhưng khi tới nơi 5 bạn trẻ muốn khám phá bằng đường bộ nên lúc xuống sẽ đi cáp treo để trải nghiệm nên 5 bạn chỉ mua vé lượt xuống, do đó đoàn đã chi ra 9 450 000 đồng để mua vé. Hỏi giá cáp treo khứ hồi và giá vé 1 lượt là bao nhiêu? Biết rằng giá vé 1 lượt rẻ hơn vé khứ hồi 110 000 đồng.

A. 140 000 đồng.

B. 250 000 đồng.

C. 120 000 đồng.

D. 200 000 đồng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y (đồng) lần lượt là giá vé cáp treo khứ hồi và giá vé cáp treo 1 lượt (0 < y < x và x > 110 000).

Vì giá vé cáp treo 1 lượt rẻ hơn vé khứ hồi 110 000 nên ta có phương trình:

x – y = 110 000 (1)

Có 35 người mua vé khứ hồi và 5 người mua vé 1 lượt nên ta có phương trình:

35x + 5y = 9 450 000 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x-y=110000\\ 35x+5y=9450000\end{array}\right.$.

Thay x = y + 110 000 vào (2) ta được:

35. (y + 110 000) + 5y = 9 450 000 suy ra y = 140 000 (thỏa mãn).

Với y = 140 000 thì x = 250 000 (thỏa mãn).

Vậy giá vé cáp treo khứ hồi là 250 000 đồng và giá vé cáp treo 1 lượt là 140 000 đồng.

Bài 6. Hai giá sách có 450 cuốn. Nếu chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì sẽ bằng $\frac{4}{5}$ số sách ở giá thứ nhất. Hỏi số sách ở giá thứ hai bằng bao nhiêu?

A. 300 quyển.

B.150 quyển.

C. 250 quyển.

D. 350 quyển.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số sách ở giá thứ nhất là x ( cuốn).

Số sách ở giá thứ hai là y (cuốn), (x, y ∈ N*; x > 50, x < 450, y < 450)

Hai giá sách có tất cả 450 cuốn nên x + y = 450 (1)

Khi chuyển 50 cuốn từ giá thứ nhất sang giá thứ hai thì số sách ở giá thứ nhất khi đó là

 x − 50 và số sách ở giá thứ hai là y + 50

Theo đầu bài ta có: y + 50 = $\frac{4}{5}$(x – 50) hay 4x – 5y = 450 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=450\\ 4x-5y=450\end{array}\right.$

Thay x = 450 – y vào (2) ta được 4(450 – y) – 5y = 450 suy ra y = 150 (thỏa mãn).

Thay y = 150 vào (1) suy ra x = 300 (thỏa mãn).

Vậy số sách ở giá thứ nhất là 300 quyển, giá thứ hai là 150 quyển.

Bài 7. Theo các chuyên gia về sức khỏe, người trưởng thành cần đi bộ từ 5000 bước mỗi ngày sẽ rất tốt cho sức khỏe. Để rèn luyện sức khỏe, anh Sơn và chị Hà đặt ra mục tiêu mỗi ngày mỗi người phải đi bộ ít nhất 6000 bước. Hài người cùng đi bộ ở công viên và thấy rằng, nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sơn bước nhiều hơn chị Hà 20 bước. Hai người cùng giữ nguyên tốc độ đi như vậy nhưng chị Hà đi trong 5 phút thì lại nhiều hơn anh Sơn đi trong 3 phút là 160 bước. Hỏi mỗi ngày anh Sơn và đi bộ trong 1 giờ thì họ đã đạt được bao nhiêu bước? (Giả sử tốc độ đi bộ hàng ngày của hai người không đổi).

A. 105 bước.

B. 95 bước.

C. 6300 bước.

D. 5700 bước.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi số bước anh Sơn đi bộ trong 1 phút là x (bước), số bước chị Hà đi bộ trong 1 phút là y (bước) .

Điều kiện (x, y ∈ N*; y < x).

Trong 2 phút anh Sơn đi được 2x (bước), chị Hà đi được 2y (bước).

Nếu cùng đi trong 2 phút thì anh Sươn đi nhiều hơn chị Hà 20 nên ta có 2x – 2y = 20 hay x – y = 10 (1).

Do chị Hà đi 5 phút nhiều hơn anh Sơn đi 3 phút là 160 bước nên ta có phương trình:

5y – 3x = 160 (2)

Từ (1) và (2) có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x-y=10\\ 5y-3x=160\end{array}\right.$.

Thay x = 10 + y vào phương trình (2) ta được 5y – 3(10 + y) = 160 suy ra y = 95 (thỏa mãn).

Thay y = 95 vào (1) ta được x = 105 (thỏa mãn).

Mỗi ngày anh Sơn đi bộ trong 1 giờ nên số bước anh đi được là: 105.60 = 6300 (bước).

Mỗi ngày chị hà đi bộ trong 1 giờ nên số bước chị đi được là 95.60 = 5700 (bước).

Anh Sơn đã đạt được mục tiêu (6000 bước).

Chị Hà thì không đạt được mục tiêu (chị đi được 5700 bước).

Bài 8. Hai bình nước A và B chứa lần lượt 56l và 44l nước. Nếu rót từ bình A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A sẽ là nửa bình. Nếu rót nước từ bình B sang bình A thì lượng nước còn lại trong bình B là $\frac{1}{3}$ bình. Tính dung tích của mỗi bình.

A. Dung tích bình A là 80 lít và dung tích bình B là 60 lít.

B. Dung tích bình A là 60 lít và dung tích bình B là 80 lít.

C. Dung tích bình A là 65 lít và dung tích bình B là 75 lít

D. Dung tích bình A là 75 lít và dung tích bình B là 65 lít.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi x, y lần lượt là dung tích bình A và B (0 < x, y, lít).

Vì bình A chứa 56 lít, bình B chứa 44 lít nên nếu rót bình A sang đầy bình B thì lượng nước còn lại trong bình A bằng nửa bình, do đó ta có phương trình:

56 – (y – 44) = $\frac{1}{2}$x  hay x + 2y = 200 (1).

Tương tự, nếu rót từ bình B sang bình A thì lượng nước còn lại là $\frac{1}{3}$ bình nên ta có phương trình: 44 – (x – 56) = $\frac{1}{3}$y hay 3x + y = 300 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}x+2y=200\\ 3x+y=300\end{array}\right.$.

Thay x = 200 – 2y vào (2) ta được 3.(200 – 2y) + y = 300 suy ra y = 60 (thỏa mãn).

Với y = 60 thì x = 80 (thỏa mãn).

Vậy thể tích bình A là 80 lít và bình B là 60 lít.

Bài 9. Trên cánh đồng đang cấy 60 ha lúa mới và 40 ha lúa cũ, thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc. Hỏi năng suất lúa mới trên 1 ha là bao nhiêu, biết rằng 3 ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4 ha trồng lúa cũ là 1 tấn.

A. 4 tấn.

B. 5 tấn.

C. 3 tấn.

D. 6 tấn.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi x, y (tấn) lần lượt là năng suất của giống lúa mới và giống lúa cũ trên 1ha.

Điều kiện: x > 0, y > 0.

Vì 60ha lúa giống mới và 40ha lúa giống cũ thu hoạch được tất cả 460 tấn thóc ta có:

60x + 40y = 460 (1)

Vì 3ha trồng lúa mới thu hoạch được ít hơn 4ha trồng lúa cũ là 1 tấn nên ta có:

4y – 3x = 1 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}60x+40y=460\\ 4y-3x=1\end{array}\right.$hay $\left\{\begin{array}{l}6x+4y=46\\ 4y-3x=1\end{array}\right.$.

Thực hiện trừ theo vế hai phương trình của hệ ta được 9x = 45 suy ra x = 5 (thỏa mãn).

Với x = 5 thì y = 4 (thỏa mãn).

Vậy năng suất lúa giống mới là 5 tấn/ha, năng suất giống lúa cũ là 4 tấn/ha.

Bài 10. Nam có 360 viên bi trong hộp. Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng $\frac{5}{7}$ số viên bi ở hộp thứ hai. Hỏi hộp thứ hai có bao nhiêu viên bi?

A. 120 viên bi.

B. 240 viên bi.

C. 300 viên bi.

D. 180 viên bi.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi số viên bi trong hộp thứ nhất và hộp thứ hai lần lượt là x, y (0 < x, y < 360, viên)

Vì Nam có 360 viên bi nên ta có phương trình x + y = 360 (viên bi) (1)

Nếu Nam chuyển 30 viên bi từ hộp thứ hai sang hộp thứ nhất thì số viên bi ở hộp thứ nhất bằng $\frac{5}{7}$ số viên bi ở hộp thứ hai nên ta có phương trình :

x + 30 = $\frac{5}{7}$(y – 30) hay 7x – 5y = −360 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}x+y=360\\ 7x-5y=-360\end{array}\right.$.

Thay x = 360 – y vào phương trình (2) ta được: 7.(360 – y) – 5y = −360 suy ra y = 240 (thỏa mãn).

Với y = 240 thì x = 120 (thỏa mãn).

Vậy số viên bi ở hộp thứ nhất là 120 viên, số viên bi ở hộp thứ hai là 240 viên.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tìm điều kiện xác định của phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Giải phương trình tích hoặc phương trình đưa được về dạng phương trình tích
• Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu
• Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
• Viết bất đẳng thức diễn tả một khẳng định

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---