Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu.

Giải phương trình chứa ẩn ở mẫu lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Để giải phương trình chứa ẩn ở mẫu ta thường thực hiện các bước như sau:

- Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình.

- Bước 2: Quy đồng mẫu hai vế của phương trình rồi khử mẫu.

- Bước 3: Giải phương trình vừa tìm được.

- Bước 4: (Kết luận). Trong các giá trị tìm được của ẩn ở Bước 3, giá trị nào thỏa mãn điều kiện xác định chính là nghiệm của phương trình đã cho.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{2x-5}{x+5}=3$;

b) $\frac{2}{1+x}=\frac{1}{3-7x}$;

c) $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{2x-5}{x+5}=3$.

Điều kiện xác định: x ≠ −5.

Ta có: $\frac{2x-5}{x+5}=3$

$\frac{2x-5}{x+5}=3$ − 3 = 0

$\frac{2x-5-3x-15}{x+5}=0$

$\frac{-x-20}{x+5}=0$

Suy ra −x – 20 = 0 khi x = −20 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = −20.

b) $\frac{2}{1+x}=\frac{1}{3-7x}$

Điều kiện xác định: x ≠ −1 và x ≠ $\frac{3}{7}$.

Ta có: $\frac{2}{1+x}=\frac{1}{3-7x}$

$\frac{2}{1+x}-\frac{1}{3-7x}=0$

$\frac{2\left(3-7x\right)-1-x}{\left(1+x\right)\left(3-7x\right)}=0$

$\frac{5-15x}{\left(1+x\right)\left(3-7x\right)}=0$

5 – 15x = 0

x = $\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\frac{1}{3}$.

c) $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$.

Điều kiện xác định: x ≠ 1 và x ≠ 2.

Ta có: $\frac{4}{x-1}-\frac{5}{x-2}=-3$

$\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}-\frac{5\left(x-1\right)}{\left(x-2\right)\left(x-1\right)}=\frac{-3\left(x-1\right)\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$

4(x – 2) – 5(x – 1) = −3(x – 1)(x – 2)

4x – 8 – 5x + 5 = −3x² + 9x – 6

3x² – 10x + 3 = 0

3x² – 9x – x + 3 = 0

3x(x – 3) – (x – 3) = 0

(x – 3)(3x – 1) = 0

Suy ra x – 3 = 0 hoặc 3x – 1 = 0 khi x = 3 hoặc x = $\frac{1}{3}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 hoặc x = $\frac{1}{3}$.

Ví dụ 2. Giải các phương trình sau:

a) $\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}$;

b) $\frac{12}{1-9x^2}=\frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x}$.

Hướng dẫn giải

a) $\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}$

Điều kiện xác định: x ≠ 2.

Ta có: $\frac{1}{x-2}+3=\frac{3-x}{x-2}$

$\frac{1+3x-6}{x-2}=\frac{3-x}{x-2}$

3x – 5 = 3 – x

3x + x = 3 + 5

4x = 8

x = 2 (loại)

Vậy phương trình không có nghiệm thỏa mãn.

b) $\frac{12}{1-9x^2}=\frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x}$

Điều kiện xác định: x ≠ $\frac{1}{3}$ và x ≠ $-\frac{1}{3}$.

Ta có: $\frac{12}{1-9x^2}=\frac{1-3x}{1+3x}-\frac{1+3x}{1-3x}$

$\frac{12}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}=\frac{{\left(1-3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}-\frac{{\left(1+3x\right)}^2}{\left(1+3x\right)\left(1-3x\right)}$

12 = (1 – 3x)² – (1 + 3x)²

9x² – 6x + 1 – 9x² − 6x – 1 = 12

−12x = 12

x = −1 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = −1.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình $\frac{4}{x-1}=\frac{x}{x-2}$ có nghiệm là

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình vô số nghiệm.

C. x = 1.

D. x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ 1 và x ≠ 2.

Giải phương trình, ta có:

$\frac{4}{x-1}=\frac{x}{x-2}$ suy ra $\frac{4\left(x-2\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}=\frac{x\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x-2\right)}$

Suy ra 4(x – 2) = x(x – 1) hay x² – 5x + 8 = 0.

Ta có: ∆ = 5² – 4.8 = 25 – 32 = −6 < 0.

Do đó, phương trình x² – 5x + 8 = 0 vô nghiệm.

Vậy phương trình $\frac{4}{x-1}=\frac{x}{x-2}$ vô nghiệm.

Bài 2. Nghiệm của phương trình $\frac{11}{x}=\frac{9}{x+1}+\frac{2}{x-4}$ là

A. x = 44.

B. x = 22.

C. x = −44.

D. x = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ 0, x ≠ −1, x ≠ 4.

Giải phương trình, ta có: $\frac{11}{x}=\frac{9}{x+1}+\frac{2}{x-4}$

$\frac{11.\left(x+1\right).\left(x-4\right)}{x\left(x+1\right).\left(x-4\right)}=\frac{9x\left(x-4\right)}{x\left(x+1\right).\left(x-4\right)}+\frac{2x\left(x+1\right)}{x\left(x+1\right).\left(x-4\right)}$

11(x + 1)(x – 4) = 9x(x – 4) + 2x(x + 1)

11(x² – 3x – 4) = 9x² – 36x + 2x² + 2x

11x² – 33x – 44 = 11x² – 34x

x – 44 = 0

x = 44 (thỏa mãn).

Vậy phương trình có nghiệm là x = 44.

Bài 3. Phương trình $\frac{x-1}{x-2}-3+x=\frac{1}{x-2}$ có nghiệm là

A. x = 4 hoặc x = −2.

B. x = −4 hoặc x = 2.

C. x = −4.

D. x = 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: x ≠ 2.

Ta có: $\frac{x-1}{x-2}-3+x=\frac{1}{x-2}$

$\frac{x-1+\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{x-2}=\frac{1}{x-2}$

x – 1 + (x + 3)(x – 2) = 1

x – 1 + x² + x – 6 – 1 = 0

x² + 2x – 8 = 0

x² – 2x + 4x – 8 = 0

x(x – 2) + 4(x – 2) = 0

(x + 4)(x – 2) = 0

Suy ra x + 4 = 0 hoặc x – 2 = 0 khi x = −4 (thỏa mãn) hoặc x = 2 (loại).

Vậy nghiệm của phương trình là x = −4.

Bài 4. Phương trình $\frac{3}{4\left(x-5\right)}+\frac{15}{50-2x^2}=\frac{7}{6x+30}$ có nghiệm là

A. x = 5.

B. x = −5.

C. Phương trình vô nghiệm.

D. Phương trình vô số nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: x ≠ 5 và x ≠ −5.

Ta có: $\frac{3}{4\left(x-5\right)}+\frac{15}{50-2x^2}=\frac{7}{6x+30}$

$\frac{3}{4\left(x-5\right)}-\frac{15}{2\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=\frac{7}{6\left(x+5\right)}$

$\frac{9\left(x+5\right)}{12\left(x-5\right)\left(x+5\right)}-\frac{15.6}{12\left(x-5\right)\left(x+5\right)}=\frac{14\left(x-5\right)}{6\left(x+5\right)\left(x-5\right)}$

9(x + 5) – 90 = 14(x – 5)

9x + 45 – 90 = 14x – 70

5x = 25

x = 5 (loại).

Vậy phương trình không có nghiệm thỏa mãn.

Bài 5. Nghiệm của phương trình $\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x\left(x-2\right)}+\frac{x-4}{x\left(x+2\right)}=0$ là

A. x = 2 hoặc x = 3.

B. x = 2 hoặc x = −3.

C. x = 2.

D. x = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện xác định: x ≠ 0, x ≠ 2 và x ≠ −2.

Ta có: $\frac{2}{x^2-4}-\frac{1}{x\left(x-2\right)}+\frac{x-4}{x\left(x+2\right)}=0$

$\frac{2x}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}-\frac{x+2}{x\left(x-2\right)\left(x+2\right)}+\frac{\left(x-4\right)\left(x-2\right)}{x\left(x+2\right)\left(x-2\right)}=0$

2x – x – 2 + x² – 6x + 8 = 0

x² – 5x + 6 = 0

x² – 2x  − 3x + 6 = 0

x(x – 2) – 3(x – 2) = 0

(x – 2)(x – 3) = 0

Suy ra x – 2 = 0 hoặc x – 3 = 0 khi x = 2 (loại) hoặc x = 3 (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 3.

Bài 6. Phương trình $\frac{1}{3-x}-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x-3}-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2-2x-3}$ có nghiệm là

A. x = $\frac{3}{5}$.

B. x = $-\frac{3}{5}$.

C. x = $\frac{2}{5}$.

D. x = 1.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ −1 và x ≠ 3.

Ta có: $\frac{1}{3-x}-\frac{1}{x+1}=\frac{x}{x-3}-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{x^2-2x-3}$

$\frac{-x-1}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}-\frac{x-3}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\frac{x\left(x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}-\frac{{\left(x-1\right)}^2}{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}$

−x – 1 – x + 3 = x² + x – x² + 2x – 1

2 – 2x = 3x – 1

5x = 3

x = $\frac{3}{5}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = $\frac{3}{5}$.

Bài 7. Tổng các nghiệm của phương trình $\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1}$ là

A.x = 0 hoặc x = $\frac{5}{3}$.

B. x = 0.

C. x = $\frac{3}{5}$.

D. x = 0 hoặc x = $\frac{3}{5}$.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Điều kiện xác định: x ≠ 1.

Ta có: $\frac{1}{x-1}+\frac{2x^2-5}{x^3-1}=\frac{4}{x^2+x+1}$

$\frac{x^2+x+1}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}+\frac{2x^2-5}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}=\frac{4\left(x-1\right)}{\left(x-1\right)\left(x^2+x+1\right)}$

x² + x + 1 + 2x² – 5 = 4x – 4

3x² – 5x = 0

x(3x – 5) = 0

Suy ra x = 0 hoặc 3x – 5 = 0.

Do đó, x = 0 hoặc x = $\frac{5}{3}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trình là x = 0 hoặc x = $\frac{5}{3}$.

Bài 8. Phương trình $\frac{8}{x-8}+\frac{11}{x-11}=\frac{9}{x-9}+\frac{10}{x-10}$ có nghiệm là

A. x = $\frac{19}{2}$.

B. x = 0.

C. x = $\frac{19}{2}$ hoặc x = 0.

D. x = $-\frac{19}{2}$ hoặc x = 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định: x ≠ 8, x ≠ 9, x ≠ 10, x ≠ 11.

Ta có: $\frac{8}{x-8}+\frac{11}{x-11}=\frac{9}{x-9}+\frac{10}{x-10}$

$\frac{8}{x-8}+1+\frac{11}{x-11}+1=\frac{9}{x-9}+1+\frac{10}{x-10}+1$

$\frac{x}{x-8}+\frac{x}{x-11}=\frac{x}{x-9}+\frac{x}{x-10}$

$\frac{x}{x-8}+\frac{x}{x-11}-\frac{x}{x-9}-\frac{x}{x-10}=0$

$x\left(\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-11}-\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x-10}\right)=0$

TH1: x = 0 (thỏa mãn)

TH2: $\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-11}-\frac{1}{x-9}-\frac{1}{x-10}=0$

$\frac{1}{x-8}+\frac{1}{x-11}=\frac{1}{x-9}+\frac{1}{x-10}$

$\frac{x-11+x-8}{\left(x-8\right)\left(x-11\right)}=\frac{x-10+x-9}{\left(x-9\right)\left(x-10\right)}$

$\frac{2x-19}{\left(x-8\right)\left(x-11\right)}=\frac{2x-19}{\left(x-9\right)\left(x-10\right)}$

(2x – 19)(x² – 19x + 88) – (2x – 19)(x² – 19x + 90) = 0

(2x – 19)(x² – 19x + 88 – x² + 19x – 90) = 0

−2(2x – 19) = 0 khi 2x – 19 = 0 hay x = $\frac{19}{2}$ (thỏa mãn).

Vậy nghiệm của phương trinh là x = $\frac{19}{2}$ hoặc x = 0.

Bài 9. Hiệu các nghiệm của phương trình $\frac{4x}{x^2+4x+3}-1=6\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2x+2}\right)$ là

A. x = 0 hoặc x = −3.

B.x = 0 hoặc x = 3.

C.x = 0.

D. x = −3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Điều kiện xác định là: x ≠ −3 và x ≠ −1.

Ta có: $\frac{4x}{x^2+4x+3}-1=6\left(\frac{1}{x+3}-\frac{1}{2x+2}\right)$

$\frac{4x-x^2-4x-3}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}=\frac{6\left(x+1\right)}{\left(x+3\right)\left(x+1\right)}-\frac{3\left(x+3\right)}{\left(x+1\right)\left(x+3\right)}$

−x² – 3 = 6x + 6 – 3x – 9

x² + 3x = 0

x(x + 3) = 0

Suy ra x = 0 hoặc x + 3 = 0

Do đó, x = 0 (thỏa mãn) hoặc x = −3 (loại).

Vậy x = 0 là nghiệm của phương trình.

Bài 10. Nghiệm của phương trình $\frac{x+4}{x-1}+\frac{x-4}{x+1}=\frac{x+8}{x-2}+\frac{x-8}{x+2}+6$ là

A. Phương trình vô số nghiệm.

B. Phương trình vô nghiệm.

C. x = 5.

D. x = 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ 1, x ≠ −1, x ≠ 2, x ≠ −2.

Ta có: $\frac{x+4}{x-1}+\frac{x-4}{x+1}=\frac{x+8}{x-2}+\frac{x-8}{x+2}+6$

$\frac{x-1+5}{x-1}+\frac{x+1-5}{x+1}=\frac{x-2+10}{x-2}+\frac{x+2-10}{x+2}+6$

$1+\frac{5}{x-1}+1-\frac{5}{x+1}=1+\frac{10}{x-2}+1-\frac{10}{x+2}+6$

$1+\frac{5}{x-1}+1-\frac{5}{x+1}=1+\frac{10}{x-2}+1-\frac{10}{x+2}+6$

$5\left(\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}\right)-10\left(\frac{1}{x-2}+\frac{-1}{x+2}\right)=6$

$\frac{10}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}-\frac{40}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=6$

10(x² – 4) – 40(x² – 1) = 6(x² – 4)(x² – 1)

10x² – 40 – 40x² + 40 = 6(x⁴ – 5x² + 4)

6x⁴ + 24 = 0

Nhận thấy 6x⁴ + 24 > 0 với mọi x.

Nên phương trình đã cho vô nghiệm.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn
• Viết bất đẳng thức diễn tả một khẳng định
• So sánh các số
• Chứng minh bất đẳng thức
• Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---