Bài toán thực tế về phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Một số bài toán thực tế liên quan đến phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn.

Bài toán thực tế về phương trình quy về phương trình bậc nhất một ẩn lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

• Các bước giải bài toán bằng cách lập phương trình:

Bước 1: Lập phương trình.

- Chọn ẩn số và đặt điều kiện thích hợp cho ẩn số.

- Biểu diễn các đại lượng chưa biết khác theo ẩn và các đại lượng đã biết.

- Lập phương trình biểu thị mối quan hệ giữa các đại lượng.

Bước 2: Giải phương trình

Bước 3: Trả lời

Kiểm tra xem trong các nghiệm của phương trình, nghiệm nào thỏa mãn điều kiện của ẩn, nghiệm nào không rồi kết luận.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Một người đi xe đạp từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 50 km. Sau đó 1 giờ 30 phút một xe máy cũng đi từ tỉnh A đến tỉnh B sớm hơn 1 giờ. Tính vận tốc của mỗi xe? Biết rằng vận tốc xe máy gấp 2,5 vận tốc xe đạp.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của người đi xe đạp là x (x > 0, km/h).

Vận tốc của người đi xe máy là: 2,5x (km/h).

Thời gian của người đi xe đạp là: $\frac{50}{x}$ (h).

Thời gian của người đi xe máy là : $\frac{20}{x}$ (h).

Do xe máy đi sau 1 giờ 30 phút ( = 1,5h) và đến sớm hơn 1h nên ta có phương trình: $\frac{50}{x}$ = $\frac{20}{x}$ + 1,5 + 1

$\frac{100}{2x}=\frac{40}{2x}+\frac{3x}{2x}+\frac{2x}{2x}$

100 = 40 + 5x

5x = 60

x = 12 (thỏa mãn)

Vậy vận tốc của người đi xe đạp là 12 km/h.

Ví dụ 2. Một đội xe nhận vận chuyển 96 tấn hàng. Nhưng khi sắp khởi hành có thêm 2 xe nữa, nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Hỏi lúc đầu đội xe có bao nhiêu chiếc?

Hướng dẫn giải

Gọi số xe lúc đầu của đội là x (x ∈ ℕ^*, chiếc).

Số xe khi sắp khởi hành là: x + 2 (chiếc).

Ban đầu, mỗi xe phải chở số hàng là: $\frac{96}{x}$ (tấn).

Lúc sau, mỗi xe phải chở số hàng là: $\frac{96}{x+2}$ (tấn).

Vì thêm 2 xe nên mỗi xe chở ít hơn lúc đầu 1,6 tấn hàng. Do đó, ta có phương trình:

$\frac{96}{x}-\frac{96}{x+2}=1,6$

96(x + 2) – 96x = 1,6x(x + 2)

96x + 192 – 96x = 1,6x² + 3,2x

1,6x² + 3,2x – 192 = 0

1,6x² – 16x + 19,2x – 192 = 0

1,6x(x – 10) + 19,2(x – 10) = 0

(x – 10)(1,6x + 19,2) = 0

Do đó x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = −12 (loại).

Vậy ban đầu có 12 xe.

3. Bài tập tự luyện

Giải các bài toán sau bằng cách lập phương trình.

Bài 1. Một ô tô dự định đi từ tỉnh A đến tỉnh B cách nhau 120 km trong một thời gian quy định. Sau khi đi được một giờ thì ô tô bị chắn đường bởi tàu hỏa 10 phút. Do đó, để đến tỉnh B đúng hạn, xe phải tăng vận tốc thêm 6 km/h. Tính vận tốc ô tô lúc đầu.

A. 48 km/h.

B. 90 km/h.

C. 45 km/h.

D. 60 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đổi 10 phút = $\frac{1}{6}$ giờ.

Gọi vận tốc của ô tô lúc đầu là x (x > 0, km/h).

Vận tốc của ô tô lúc sau là x + 6 (km/h).

Thời gian ô tô dự kiến đi đến B lúc đầu là: $\frac{120}{x}$ (giờ).

Trong 1 giờ đầu, ô tô đi được quãng đường x (km) nên quãng đường còn lại là 120 – x (km).

Thời gian ô tô đi trên quãng đường còn lại là $\frac{120-x}{x+6}$ (giờ)

Do xe đến B đúng hạn nên ta có phương trình:

$\frac{120-x}{x+6}$ + 1 + $\frac{1}{6}$ = $\frac{120}{x}$

$\frac{120-x}{x+6}$ + $\frac{7}{6}$ = $\frac{120}{x}$

6x(120 – x) + 7x(x + 6) = 720(x + 6)

720x – 6x² + 7x² + 42x = 720x + 4320

x² + 42x – 4320 = 0

x² – 48x + 90x – 4320 = 0

x(x – 48) + 90(x – 48) = 0

(x – 48)(x + 90) = 0

Suy ra x = 48 (thỏa mãn) hoặc x = −90 (loại).

Vậy vận tốc lúc đầu của ô tô là 48 km/h.

Bài 2. Một tàu thủy chạy trên khúc sông dài 80 km, cả đi lẫn về mất 8 giờ 20 phút. Tính vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng, biết rằng vận tốc của dòng nước là 4 km/h.

A. 20 km/h.

B. 15 km/h.

C. $\frac{4}{5}$km/h.

D. 12 km/h.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Đổi 8 giờ 20 phút = $\frac{25}{3}$giờ

Gọi vận tốc của tàu thủy khi nước yên lặng là x (x > 4, km/h).

Vận tốc của tàu khi xuôi dòng là x + 4 (km/h).

Vận tốc của tàu khi ngược dòng là: x – 4 (km/h).

Thời gian tàu đi xuôi dòng là: $\frac{80}{x+4}$ (h).

Thời gian tàu đi ngược dòng là: $\frac{80}{x-4}$ (h).

Thời gian cả đi lẫn về hết 8 giờ 20 phút ($\frac{25}{3}$ giờ) nên ta có phương trình:

$\frac{80}{x+4}+\frac{80}{x-4}=\frac{25}{3}$

240(x – 4) + 240(x + 4) = 25(x – 4)(x + 4)

240x – 960 + 240x + 960 = 25x² – 400

25x² − 480x – 400 = 0

25x² – 500x + 20x – 400 = 0

25x(x – 20) + 20(x – 20) = 0

(x – 20)(25x + 20) = 0

Suy ra x = 20 (thỏa mãn) hoặc x = $\frac{-4}{5}$ (loại).

Vậy vận tốc của tàu khi nước yên lặng là 20 km/h.

Bài 3. Hai địa điểm A và B cách nhau 56 km. Lúc 6 giờ 45 phút một người đi xe đạp từ A với vận tốc 10 km/h. Sau đó 2 giờ, một người đi xe đạp từ B đến A với vận tốc 14 km/h. Hỏi đến mấy giờ họ gặp nhau và chỗ gặp nhau cách A bao nhiêu km?

A. 3 giờ 30 phút.

B. 9 giờ 45 phút.

C. 10 giờ 15 phút.

D. 10 giờ 25 phút.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đổi 6 giờ 45 phút = 6,75 giờ.

Gọi thời gian của người đi xe đạp xuất phát từ A đến điểm gặp là x (x > 0, giờ)

Quãng đường xa đạp đi được sau 2 giờ là: 2.10 = 20 (km).

Thời gian còn lại đến điểm gặp sau 2 giờ là: x – 2 (giờ)

Quãng đường còn lại của người đi xe đạp đi từ A sau 2 giờ là: 10(x – 2) (km).

Quãng đường người đi từ B đến điểm gặp là 14(x – 2) (km).

Theo đề, hai địa điểm A và B cách nhau 56 km nên ta có phương trình:

20 + 10(x – 2) + 14(x – 2) = 56

24x = 84

x = 3,5 (thỏa mãn)

Do đó, thời gian từ lúc người đi xe đạp xuất phát từ A đến điểm gặp là 3,5 giờ hay 3 giờ 30 phút.

Suy ra thời gian hai người đó gặp nhau là: 6,75 + 3,5 = 10,25 (giờ) hay 10 giờ 15 phút.

Khoảng cách từ điểm gặp tới A là: 10.3,5 = 35 (km).

Vậy hai xe gặp nhau lúc 10 giờ 15 phút và cách A 35 km.

Bài 4. Lúc 7 giờ, một người đi xe máy khởi hành từ A với vận tốc 40 km/h. Sau đó, lúc 8 giờ 30 phút một người khác đi ô tô từ A đuổi theo với vận tốc 60 km/h. Hỏi hai người gặp nhau lúc mấy giờ?

A. 3 giờ.

B. 10 giờ 30 phút.

C. 11 giờ 30 phút.

D. 5 giờ 30 phút.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đổi 8 giờ 30 phút = 8,5 giờ.

Quãng đường mà xe máy đi được từ khi bắt đầu đến khi ô tô khởi hành là:

40(8,5 – 7) = 60 (km).

Gọi x là thời gian để hai xe gặp nhau (x > 0, km/h).

Quãng đường xe máy đi từ 8 giờ 30 phút đến lúc gặp nhau là 40x (km).

Quãng đường mà ô tô đi từ 8 giờ 30 phút đến lúc gặp nhau là 60x (km).

Hai xe đi cùng chiều và cùng vị trí xuất phát nên quãng đường hai xe đi được đến lúc gặp xe bằng nhau, do đó ta có: 40x + 60 = 60x

Suy ra x = 3 (thỏa mãn).

Vậy hai xe gặp nhau lúc 8 giờ 30 phút + 3 giờ = 11 giờ 30 phút.

Bài 5. Hai lớp 8A và 8B có tổng cộng 94 học sinh biết rằng 25% số học sinh lớp 8A và 20% số học sinh lớp 8B đạt loại giỏi. Tổng số học sinh đạt loại giỏi của hai lớp là 21. Số học sinh lớp 8A là

A. 40 học sinh.

B. 42 học sinh.

C. 43 học sinh.

D. 44 học sinh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi số học sinh của lớp 8A là x (x ∈ ℕ^*, học sinh).

Số học sinh lớp 8B là: 94 – x (học sinh)

Số học sinh giỏi lớp 8A là 25%x = 0,25x (học sinh).

Số học sinh giỏi lớp 8B là: 20% (94 – x) = 18,8 – 0,2x (học sinh).

Tổng số học sinh giỏi của hai lớp là 21 nên ta có phương trình:

0,25x + 18,8 – 0,2x = 21

0,05x = 2,2

x = 44 (thỏa mãn)

Do đó, số học sinh lớp 8A là 44 học sinh, số học sinh lớp 8B là 40 học sinh.

Bài 6. Một tổ sản xuất phải làm 600 sản phẩm trong một thời gian quy định với năng suất quy định. Sau khi làm xong 400 sản phẩm tổ sản xuất tăng năng suất lao động, mỗi ngày tăng thêm 10 sản phẩm so với quy định. Vì vậy mà công việc được hoàn thành sớm hơn quy định một ngày. Hỏi mỗi ngày tổ sản suất phải làm bao nhiêu sản phẩm theo quy định?

A. 40 sản phẩm.

B. 50 sản phẩm.

C. 60 sản phẩm.

D. 55 sản phẩm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số sản phẩm mà mỗi ngày tổ phải làm theo quy định là x (x ∈ ℕ^*, sản phẩm).

Thời gian tổ hoàn thành công việc theo quy định là: $\frac{600}{x}$ (ngày)

Thời gian tổ làm 400 sản phẩm theo quy định là: $\frac{400}{x}$ (ngày).

Sau khi tăng năng xuất, mỗi ngày tổ làm số sản phẩm là: x + 10 (sản phẩm).

Thời gian làm 200 sản phẩm còn lại là $\frac{200}{x+10}$ (ngày).

Vì sau khi tăng năng suất, tổ hoàn thành sớm hơn 1 ngày nên ta có phương trình:

$\frac{600}{x}-\left(\frac{400}{x}+\frac{200}{x+10}\right)=1$

$\frac{200}{x}-\frac{200}{x+10}=1$

200(x + 10) – 200x = x(x + 10)

x² + 10x – 2000 = 0

x² – 40x + 50x – 2000 = 0

x(x – 40) + 50(x – 40) = 0

(x – 40)(x + 50) = 0

Do đó x = 40 (thỏa mãn) hoặc x = −50 (loại).

Vậy số sản phẩm tổ dự định làm trong 1 ngày là 40 sản phẩm.

Bài 7. Cho hai số biết tổng của chúng bằng 19 và tổng các bình phương của chúng là 185. Tìm số lớn.

A. 11.

B. 8.

C. 7.

D.12.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số lớn là x (0 < x < 19).

Số bé là 19 – x.

Theo đề, tổng các bình phương của chúng bằng 185 nên ta có phương trình:

x² + (19 – x)² = 185

x² + x² – 38x + 361 –185 = 0

2x² – 38x + 176 = 0

2x² – 16x – 22x + 176 = 0

2x(x – 8) – 22(x – 8) = 0

(x – 8)(2x – 22) = 0

Suy ra x = 8 hoặc x = 11.

Do x là số lớn nên x = 11.

Vậy số lớn là 11.

Bài 8. Một hình chữ nhật có diện tích 40 m². Nếu tăng chiều dài thêm 2 m và giảm chiều rộng đi 1 m thì diện tích không đổi. Tính chiều dài của mảnh vườn đó.

A. 10 m.

B. 8 m.

C. 5 m.

D. 4 m.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi chiều dài của mảnh vườn là x (x > 0, m).

Chiều rộng mảnh vườn là: $\frac{40}{x}$ (m).

Chiều dài mới khi tăng thêm 2 m là: x + 2 (m).

Chiều rộng khi giảm 1 m là: $\frac{40}{x}$ − 1 (m).

Theo đề, nếu tăng chiều dài 2 m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích không đổi nên ta có phương trình:

(x + 2) $\left(\frac{40}{x}-1\right)$ = 40

40 – x + $\frac{80}{x}$ −2 = 40

x² + 2x – 80 = 0

x² – 8x + 10x – 80 = 0

x(x – 8) + 10(x – 8) = 0

(x – 8)(x + 10) = 0

Suy ra x = 8 (thỏa mãn) hoặc x = −10 (loại).

Vậy chiều dài của mảnh vườn là 8 m.

Bài 9. Số học sinh khá của hai khối 7 và 8 là 270 học sinh. Biết rằng $\frac{3}{4}$ số học sinh khá của khối 7 bằng 60% số học sinh khá của khối 8. Tính số học sinh khá của mỗi khối.

A. Khối 7 có 120 học sinh, khối 8 có 150 học sinh.

B. Khối 7 có 150 học sinh, khối 8 có 120 học sinh.

C. Khối 7 có 130 học sinh, khối 8 có 140 học sinh.

D. Khối 7 có 145 học sinh, khối 8 có 125 học sinh.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Có 60% = $\frac{3}{5}$.

Gọi số học sinh khá của khối 7 là x (x ∈ ℕ^*, x < 270 học sinh).

Số học sinh khá của khối 8 là: 270 – x (học sinh).

Theo đề, $\frac{3}{4}$ số học sinh khá của khối 7 bằng 60% số học sinh khá của khối 8 nên ta có phương trình: $\frac{3}{4}$x = $\frac{3}{5}$(270 – x)

$\frac{3}{4}$x = 162 − $\frac{3}{5}$x

$\frac{27}{20}$x = 162

x = 120 (thỏa mãn).

Vậy số học sinh khá khối 7 là 120 học sinh, số học sinh khá khối 8 là 150 học sinh.

Bài 10. Một đoàn xe chở 480 tấn hàng. Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe phải chở ít hơn 8 tấn. Hỏi lúc đầu đoàn xe có bao nhiêu chiếc?

A. 12.

B. 14.

C. 10.

D. 9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi số xe lúc đầu của đoàn là x (x ∈ ℕ^*, chiếc).

Số xe của đoàn lúc sau là: x + 3 (chiếc)

Lúc đầu mỗi xe phải chở số tấn hàng là: $\frac{480}{x}$ (tấn).

Lúc sau, mỗi xe phải chở số tấn hàng là: $\frac{480}{x+3}$ (tấn).

Khi sắp khởi hành có thêm 3 xe nữa nên mỗi xe phải chở ít hơn 8 tấn nên ta có phương trình  $\frac{480}{x}-\frac{480}{x+3}=8$

480(x + 3) – 480x = 8x(x + 3)

480x + 1440 – 480x = 8x² + 24x

8x² + 24x − 1440 = 0

8x² – 96x + 120x – 1440 = 0

8x( x – 12) + 120(x – 12) = 0

(x – 12)(8x + 120) = 0

Suy ra x – 12 = 0 hoặc 8x + 120 = 0.

Do đó, x = 12 (thỏa mãn) hoặc x = −15 (loại).

Vậy lúc đầu đoàn có 12 chiếc xe.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Viết bất đẳng thức diễn tả một khẳng định
• So sánh các số
• Chứng minh bất đẳng thức
• Một số bài toán thực tế liên quan đến bất đẳng thức
• Nhận biết bất phương trình bậc nhất một ẩn

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---