Tính cạnh, góc và diện tích tam giác lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Tính cạnh, góc và diện tích tam giác lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Tính cạnh, góc và diện tích tam giác.

Tính cạnh, góc và diện tích tam giác lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Cách giải bài tập

• Làm xuất hiện tam giác vuông để áp dụng các hệ thức giữa cạnh và các góc trong tam giác bằng cách kẻ thêm đường cao.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 12 cm, $\hat{B}=60°$. Tính góc C, AB, BC và diện tích tam giác ABC.

Hướng dẫn giải

Vì ∆ABC vuông tại A nên $\hat{A}=90°$, suy ra $\hat{B}+\hat{C}=90°$

Suy ra $\hat{C}=90°-60°=30°$.

AB = cot $\hat{B}$. AC = 12.cot 60° = 12. $\frac{\sqrt{3}}{3}$ = $4\sqrt{3}$ ≈ 6,9 cm.

BC² = AC² + AB² = 12² + ($4\sqrt{3}$)² = 192

Suy ra BC = $\sqrt{192}=8\sqrt{3}\approx 13,9$ (cm).

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}AB.AC=\frac{1}{2}.4\sqrt{3}.12=24\sqrt{3}\approx 41,6$ (cm²)

Ví dụ 2. Cho tam giác ABC biết AB = 3 cm, BC = 3 cm và $\widehat{BAC}=40°$. Tính diện tích tam giác ABC. (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Hướng dẫn giải

Ta có: AB = BC = 3 cm nên tam giác ABC cân tại B.

Suy ra $\widehat{BAC}=\widehat{BCA}=40°$.

Kẻ đường cao BH vuông góc với AC tại H.

Ta có: BH = sin 40°.AB = sin 40°. 3 ≈ 1,93 cm.

AH = cos 40°.AB = cos 40°. 3 ≈ 2,30 cm.

Do tam giác ABC cân tại B, có BH là đường cao nên H là trung điểm của AC.

Suy ra AC = 2AH = 4,6 cm.

Diện tích tam giác ABC là: $S=\frac{1}{2}.AC.BH=\frac{1}{2}.4,6.1,93\approx 4,44$ cm².

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = 30 cm và tanB = $\frac{5}{12}$. Độ dài cạnh BC là

A. 12,5 cm.

B. 32,5 cm.

C. 30 cm.

D. 22,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Ta có:

tanB = $\frac{5}{12}$ hay $\frac{AC}{AB}=\frac{5}{12}$ suy ra AC = $\frac{5}{12}$.BA = 12,5 cm.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta có:

AB² + AC² = BC²

30² + 12,5² = BC²

Suy ra BC =32,5 cm.

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông tại C có AB = 5 cm và cotB = $\frac{5}{8}$. Độ dài đoạn thắng AC là (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 4,24 cm.

B. 4,20 cm,

C. 4,23 cm.

D. 4,25 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABC vuông tại C, ta có:

cotB = $\frac{5}{8}$ hay $\frac{CB}{AC}=\frac{5}{8}$ suy ra CB = $\frac{5}{8}$AC.

Áp dụng định lí Pythagore vào tam giác ABC, ta được:

CB² + CA² = AB²

$\frac{25}{64}$AC² + AC² = 5²

Suy ra $\frac{89}{64}$AC² = 5², do đó AC ≈ 4,24 cm.

Sử dụng dữ kiện của bài toán dưới đây để trả lời Bài 3, 4.

Cho tam giác ABC có $\hat{B}=38°,\hat{C}=30°$ và BC = 11 cm. Gọi N là chân đường cao vuông góc từ A xuống BC.

Bài 3. Độ dài đoạn thrẳng AN là (kết quả làm tròn đến hàng phầm trăm)

A. 3,65 cm.

B. 3,56 cm.

C. 3,25 cm.

D. 3,52 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Xét tam giác ABN vuông tại N, ta có: AN = tan38°.NB hay BN = $\frac{AN}{\tan 38°}$.

Xét tam giác ANC vuông tại N, ta có: AN = tan30°.NC hay NC = $\frac{AN}{\tan 30°}$.

Mà BC = BN + NC = $\frac{AN}{\tan 38°}$ + $\frac{AN}{\tan 30°}$ = AN.$\left(\frac{1}{\tan 30°}+\frac{1}{\tan 38°}\right)$

Suy ra AN = $\frac{BC}{\left(\frac{1}{\tan 30°}+\frac{1}{\tan 38°}\right)}=\frac{11}{\frac{1}{\tan 30°}+\frac{1}{\tan 38°}}\approx 3,65$ cm.

Bài 4. Độ dài đoạn thẳng AC là (kết quả làm tròn đến hàng phần mười).

A. 3,6 cm.

B. 7,3 cm.

C. 7,2 cm.

D. 7,5 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Trong tam giác vuông ANC vuông tại N, $\hat{C}=30°$.

Ta có: AN = AC.sin 30°, suy ra $AC=\frac{AN}{\sin 30°}=\frac{3,65}{0,5}=7,3$ (cm).

Bài 5. Tính diện tích tam giác ABC là

A. 20 cm².

B. 21 cm².

C. 20,1 cm².

D. 20,075 cm²

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta có: S_ABC = $\frac{1}{2}AN.BC=\frac{1}{2}.3,65.11=20,075$ cm².

Bài 6. Cho tam giác ABC, đường cao AH = 5 cm có $\hat{B}=70°,\hat{C}=35°$. Diện tích tam giác ABC là (Các kết quả được làm tròn đến hàng phần trăm)

A. 8,96 cm².

B. 22,4 cm².

C. 15 cm².

D. 20 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác ABH vuông tại H, ta có:

BH = AH.cot B = 5.cot70° ≈ 1,82 cm.

Xét tam giác AHC vuông tại H, ta có:

HC = AH.cot 35° = 5.cot 35° ≈ 7,14 cm.

Ta có: BC = BH + HC = 1,82 + 7,14 = 8,96 cm.

Diện tích tam giác ABC là:

S = $\frac{1}{2}AH.BC=\frac{1}{2}\mathrm{.5.8},96=22,4$ cm².

Bài 7. Cho hình bình hành ABCD có AC ⊥ AD và AD = 3,5; $\hat{D}=50°$. Tính diện tích của hình bình hành (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)

A. 14.

B. 14,6.

C. 14,5.

D. 14,9.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét ∆ADC vuông tại A, ta có: AC = AD.tan$\widehat{ADC}$ = 3,5.tan 50°.

Khi đó gọi S là diện tích hình bình hành, ta có:

S = AD.AC = 3,5.3,5.tan 50° ≈ 14,6.

Bài 8. Trong một tam giác vuông, đường cao ứng với cạnh huyền chia tam giác thành hai phần có diện tích bằng 54 cm² và 96 cm². Độ dài cạnh huyền bằng

A. 27 cm.

B. 48 cm.

C. 25 cm.

D. 21 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Ta có: S_ABH.S_ACH = 54.96

Suy ra $\frac{1}{4}$AB².BH.CH = 54.96

AH⁴ = 4.54.96 = 12⁴

Suy ra AH = 12.

Lại có S_ABC = $\frac{1}{2}AH.BC$

Suy ra BC = $\frac{2S_{ABC}}{AH}=\frac{2\left(54+96\right)}{12}=25$ (cm).

Bài 9. Cho tam giác BAC là tam giác đều cạnh 8 cm và $\widehat{AMB}=42°$. Tính AM (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ hai).

A. 10,3 cm.

B. 6,9 cm.

C. 10,34 cm.

D. 6,93 cm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Kẻ đường cao AH (H ∈ BC).

Do ∆ABC đều nên AH cũng là đường trung tuyến.

Suy ra BH = HC = 4 cm.

Từ ∆ABH vuông tại H, ta có:

sin M = $\frac{AH}{AM}$ suy ra $AM=\frac{AH}{\sin \hat{M}}=\frac{4\sqrt{3}}{0,669}\approx 10,34$ (cm).

Bài 10. Cho tam giác như hình vẽ dưới đây. Tính diện tích tam giác OMN (làm tròn đến kết quả hàng đơn vị).

A. 10,79 cm².

B. 11 cm².

C. 10,8 cm².

D. 10,795 cm².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Xét tam giác OPN vuông tại P nên ta có:

OP = ON.sin$\hat{N}$ = 9.sin 38° ≈ 5,54 (cm).

NP = ON.cos$\hat{N}$ = 9.cos 38° ≈ 7,09 (cm).

Xét tam giác OPM vuông tại P nên ta có:

MP = $\frac{OP}{\tan \hat{M}}=\frac{5,54}{\tan 60°}=\frac{5,54}{\sqrt{3}}=3,2$ (cm).

Ta có: MN = NP – MP = 7,09 – 3,2 – 3,89 (cm).

Do đó, S_OMN = $\frac{1}{2}OP.MN=\frac{1}{2}.5,55.3,89\approx 11$ cm².

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính tỉ số lượng giác trong tam giác vuông
• Một số bài toán thực tế liên quan đến tỉ số lượng giác của góc nhọn
• Chứng minh đẳng thức liên quan đến tỉ số lượng giác
• Giải tam giác vuông
• Ứng dụng tỉ số lượng giác của góc nhọn để ước lượng khoảng cách, chiều cao

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---