Tổng hợp lý thuyết Chương 4 Đại Số 9 hay, chi tiết

Tổng hợp lý thuyết Chương 4 Đại Số 9 hay, chi tiết

1. Hàm số y = ax2 (a ≠ 0)

Quảng cáo

Hàm số y = ax2 (a ≠ 0) : Hàm số xác định với mọi số thực x

Tính chất biến thiên:

    + Nếu a > 0 thì hàm số đồng biến khi x > 0, nghịch biến khi x < 0.

    + Nếu a < 0 thì hàm đồng biến khi x < 0, nghịch biến khi x > 0.

Đồ thị hàm số là một đường Parabol nhận gốc tọa độ O làm đỉnh, nhận trục tung làm trục đối xứng. Khi a > 0 thì Parabol có bề lõm quay lên trên, khi a < 0 thì Parabol có bề lõm quay xuống dưới.

Lý thuyết Tổng hợp Chương 4 Đại Số 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

2. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng: ax2 + bx + c = 0. Trong đó x là ẩn số; a, b, c là những số cho trước gọi là các hệ số và a ≠ 0.

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và biệt thức Δ = b2 - 4ac.

    + Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lý thuyết Tổng hợp Chương 4 Đại Số 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    + Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép là Lý thuyết Tổng hợp Chương 4 Đại Số 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    + Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Đối với phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) và b = 2b'; Δ' = b'2 - ac.

    + Nếu Δ' > 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt

Lý thuyết Tổng hợp Chương 4 Đại Số 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    + Nếu Δ' = 0, phương tình có nghiệm kép là Lý thuyết Tổng hợp Chương 4 Đại Số 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

    + Nếu Δ' < 0, phương trình đã cho vô nghiệm.

3. Định lý Vi – ét và ứng dụng

Quảng cáo

Định lý Viet: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình

ax2 + bx + c = 0, (a ≠ 0) thì

Lý thuyết Tổng hợp Chương 4 Đại Số 9 - Lý thuyết Toán lớp 9 đầy đủ nhất

Chú ý: Trước khi sử dụng định lý Viet, chúng ta cần kiểm tra điều kiện phương trình có nghiệm, nghĩa là Δ ≥ 0.

Một số ứng dụng cơ bản của định lý Viet

    + Nhẩm nghiệm của một phương trình bậc hai:

Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = 1; x2 = c/a.

Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có hai nghiệm là x1 = -1; x2 = -c/a.

    + Tính giá trị của biểu thức g(x1, x2) trong đó g(x1, x2) là biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm x1, x2 của phương trình (*):

        Bước 1: Kiểm tra điều kiện Δ ≥ 0, sau đó áp dụng định lý Viet.

        Bước 2: Biểu diễn biểu thức g(x1, x2) theo S = x1 + x2, P = x1.x2 từ đó tính được g(x1, x2).

Một số biểu thức đối xứng giữa hai nghiệm thường gặp:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

    + Lập phương trình bậc hai có hai nghiệm là x1, x2 cho trước:

        ⋅ Bước 1: Tính S = x1 + x2; P = x1.x2.

        ⋅ Bước 2: Phương trình bậc hai nhận hai nghiệm x1, x2 là X2 - S.X + P = 0.

4. Phương trình quy về phương trình bậc hai

Quảng cáo

a) Phương trình trùng phương

Phương trình trùng phương là phương trình có dạng ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

Giải phương trình ax4 + bx2 + c = 0 (a ≠ 0)

    + Đặt ẩn phụ x2 = t, t ≥ 0

    + Giải phương trình ẩn phụ mới: at2 + bt + c = 0

    + Với mỗi giá trị tìm được của t, lại giải phương trình x2 = t.

b) Phương trình chứa ẩn ở mẫu

Khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức, ta làm như sau:

    + Bước 1: Tìm điều kiện xác định của phương trình

    + Bước 2: Quy đồng mẫu thức hai vế rồi khử mẫu thức

    + Bước 3: Giải phương trình vừa nhận được

    + Bước 4: Trong các giá trị tìm được của ẩn, loại các giá trị không thỏa mãn điều kiện xác định, các giá trị thỏa mãn điều kiện xác định là nghiệm của phương trình đã cho.

B. Bài tập tự luận

Câu 1: Biết đồ thị của hàm số Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án, (a ≠ 0) đi qua điểm M (3; -6) . Hãy xác định giá trị của a

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 2: Cho hàm số y = 2x2 có đồ thị là (P). Tìm trên (P) các điểm có tung độ bằng 4, vẽ đồ thị (P).

Thay y = 4 ta có 4 = 2x2 ⇔ x2 = 2 ⇔ x = ± √2

Vậy các điểm cần tìm là (√2; 4) và (-√2; 4) .

Bảng giá trị

x -2 -1 0 1 2
y = 2x2 8 2 0 2 8

Đồ thị

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 3: Tìm hàm số y = ax2 biết đồ thị của nó đi qua điểm A(-1; 2) Với hàm số tìm được hãy tìm các điểm trên đồ thị có tung độ là 8.

+ Ta có đồ thị hàm số y = ax2 đi qua điểm A(-1; 2) nên ta có:

2 = a.(-1)2 ⇔ a = 2

Vậy hàm số cần tìm là y = ax2

+ Các điểm trên đồ thị có tung độ là 8.

Gọi điểm cần tìm là M(x0; y0)

Ta có: y0 = 8 ⇒ 8 = 2.x02 ⇔ x02 = ±2

Vậy các điểm cần tìm trên đồ thị có tung độ là 8 là: M(-2; 8); M(2; 8)

Câu 4: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng d: (2m - 1)x - m + 2 (m là tham số)

a) Chứng minh rằng với mọi m đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

b) Tìm các giá trị của m để đường thẳng d luôn cắt (P) tại hai điểm phân biệt A(x1; y1), B(x2; y2) thỏa x1y1 + x2y2 .

a) Phương trình hoành độ giao điểm

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Do đó, phương trình (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy Parabol luông cắt đường thẳng tại hai điểm phân biệt.

b) Vì x1, x2 là nghiệm của phương trình (*) nên.

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 5: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = 4x + 9 .

a) Vẽ đồ thị (P)

b) Viết phương trình đường thẳng (d1) biết (d1) song song với đường thẳng (d) và (d1) tiếp xúc (P)

a) Vẽ đồ thị (P): y = x2

x -2 -1 0 1 2
y 4 1 0 1 4>

Ta có đồ thị hàm số

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 6: Cho parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d): y = -2ax - 4a (với a là tham số )

a) Tìm tọa độ giao điểm của (d) và (P) khi a = - 1/2 .

b) Tìm tất cả các giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) taị hai điểm phân biệt có hoành độ x1; x2 thỏa mãn |x1| + |x2| = 3 .

a) Phương trình hoành độ (d) và (P) là x2 = -2ax - 4a

x2 + 2ax + 4a = 0

Khi a = - 1/2 thì phương trình trở thành x2 - x - 2 = 0

Có a - b + c = 0 nên phương trình có 2 nghiệm là x = -1; x = 2

* Với x = - 1 thì y = 1 ta được điểm A(-1; 1)

* Với x = 2 thì y = 4 ta được điểm B( 2; 4 ).

Vậy giao điểm cần tìm là: A(-1; 1); B(2; 4)

b) Phương trình hoành độ (d) và (P) là x2 + 2ax + 4a = 0 (*)

để đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có 2 nghiệm phân biệt

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 7: Cho hai hàm số y = x2 và y = mx + 4, với m là tham số.

a) Khi m = 3 , tìm tọa độ các giao điểm của hai đồ thị hàm số trên.

b) Chứng minh rằng với mọi giá trị m , đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1(x1; y1) và A2(x2; y2) Tìm tất cả các giá trị của m sao cho (y1)2 + (y2)2 = 72 .

a) Phương trình hoành độ giao điểm của y = x2 và y = mx + 4 là x2 - mx - 4 = 0 (1)

Thay m = 3 vào phương trình (1) ta có: x2 - 3x - 4 = 0

Ta có: a - b + c = 1 - (-3) + (-4) = 0

Vậy phương trình x2 - 3x - 4 = 0 có hai nghiệm x = -1; x = 4

Với x = -1 ⇒ y = 1 ⇒ A(-1; 1)

Với x = 4 ⇒ ⇒ y = 16 ⇒ B(4; 16)

Vậy với m = 3 thì hai đồ thị hàm số giao nhau tại 2 điểm A(-1; 1) và B(4; 16) .

b) Ta có số giao điểm của hai đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm của phương trình (1)

Phương trình (1) có: Δ = m2 - 4.(-4) = m2 + 16 > 0 ∀ m ∈ R

Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt x1; x2

Vậy đồ thị của hai hàm số đã cho luôn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A1(x1; y1) và A2(x2; y2) với mọi m

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 8: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho parabol (P) có phương trình Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án và hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt là xA = -1, xB = 2

a) Tìm tọa độ của hai điểm A, B.

b) Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua hai điểm A, B.

c) Tính khoảng cách từ điểm O (gốc tọa độ) tới đường thẳng (d) .

a) Vì A, B thuộc (P) nên:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

b) Gọi phương trình của đường thẳng (d) là y = ã + b .

Ta có hệ phương tình:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

c) (d) cắt trục Oy tại điểm C(0; 1) và cắt trục Ox tại điểm D(-2; 0) và OD = 2 .

Gọi h là khoảng cách từ O tới (d)

Áp dụng hệ thức về cạnh và đường cao trong tam giác vuông OCD , ta có:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 9: Cho parabol (P): y = 2x2 và đường thẳng (d): y = x + 1.

a) Vẽ đồ thị của (P) và (d) trên cùng hệ trục tọa độ.

b) Bằng phép tính, xác định tọa độ giao điểm A và B của (P) và (d) Tính độ dài đoạn thẳng AB

a) Vẽ đồ thị: (như hình vẽ bên)

b) Tọa độ giao điểm của (P) và (d)

Phương trình hoành độ giao điểm: 2x2 - x - 1 = 0

Ta có a + b + c nên phương trình có hai nghiệm - 1/2 ; 1

Suy ra tọa độ hai giao điểm là: A(-1/2; 1/2) và B(1; 2)

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

b) Tính độ dài

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Câu 10: Một người đi xe đạp từ A đến B cách nhau 24km. Khi đi từ B trở về A người đó tăng vận tốc thêm 4km/h so với lúc đi, nên thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút. Tính vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B.

Đổi 30 phút 1/2 giờ.

Gọi vận tốc của xe đạp khi đi từ A đến B là x (km/h, ). Thời gian xe đi từ A đến B là 24/x (giờ).

Đi từ B về A, người đó đi với vận tốc x + 4 (km/h). Thời gian xe đi từ B về A là Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án (giờ) Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:

Do thời gian về ít hơn thời gian đi là 30 phút nên ta có phương trình:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Giải phương trình

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Đối chiếu với điều kiện ta có vận tốc của xe đạp đi từ A đến B là 12km/h.

Câu 11: Quãng đường AB dài 120 km. Lúc 7h sang một xe máy đi từ A đến B. Đi được 3/4 quãng đường xe bị hỏng phải dừng lại 10 phút để sửa rồi đi tiếp với vận tốc kém vận tốc lúc đầu 10km/h. Biết xe máy đến B lúc 11h40 phút trưa cùng ngày. Giả sử vận tốc xe máy trên 3/4 quãng đường đầu không đổi và vận tốc xe máy trên 1/4 quãng đường sau cũng không đổi. Hỏi xe máy bị hỏng lúc mấy giờ?

Gọi vận tốc trên 3/4 quãng đường ban đầu là x (km/h), điều kiện: x > 10

Thì vận tốc trên 1/4 quãng đường sau là x - 10 (km/h)

3/4 quãng đường đầu dài 3/4 . 120 = 90 ( km)

Thời gian trên 3/4 quãng đường ban đầu là 90/x (h)

Thời gian đi trên 1/4 quãng đường sau là: Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án (h)

Thời gian đi cả hai quãng đường là: 11 giờ 40 phút – 7 giờ - 10 phút = 4 giờ 30 phút = 9/2 giờ.

Nên ta có phương trình:

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Giải phương trình ta được x = 30 thỏa mãn điều kiện

Do đó thời gian đi trên 3/4 quãng đường ban đầu 90/30 = 3 (giờ)

Vậy xe hỏng lúc: 7 + 3 = 10 giờ.

Câu 12: Một công nhân theo kế hoạch phải làm 85 sản phẩm trong một khoảng thời gian dự định. Nhưng do yêu cầu đột xuất, người công nhân đó phải làm 96 sản phẩm. Do người công nhân mỗi giờ đã làm tăng thêm 3 sản phẩm nên người đó đã hoàn thành công việc sớm hơn so với thời gian dự định là 20 phút. Tính xem theo dự định mỗi giờ người đó phải làm bao nhiêu sản phẩm, biết rằng mỗi giờ chỉ làm được không quá 20 sản phẩm.

Gọi số sản phẩm công nhân dự định làm trong một giờ là x (0 < x ≤ 20) .

Thời gian dự kiến người đó làm xong 85 sản phẩm là 85/x (giờ)

Thực tế mỗi giờ làm tăng thêm 3 sản phẩm nên số sản phẩm làm được mỗi giờ là x + 3 .

Do đó 96 sản phẩm được làm trong Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án (giờ)

Thời gian hoàn thành công việc thực tế sớm hơn so với dự định là 20 phút = 1/3 giờ nên ta có phương trình

Toán lớp 9 | Lý thuyết - Bài tập Toán 9 có đáp án

Giải phương trình ta được x = 15 hoặc x = -51

Đối chiếu điều kiện ta loại nghiệm .

Theo dự định mỗi giờ người đó phải làm 15 sản phẩm.

Các bài Tổng hợp Lý thuyết và Bài tập Toán lớp 9 có đáp án và lời giải chi tiết khác:

Giới thiệu kênh Youtube VietJack

Ngân hàng trắc nghiệm lớp 9 tại khoahoc.vietjack.com

CHỈ CÒN 250K 1 KHÓA HỌC BẤT KÌ, VIETJACK HỖ TRỢ DỊCH COVID

Phụ huynh đăng ký mua khóa học lớp 9 cho con, được tặng miễn phí khóa ôn thi học kì. Cha mẹ hãy đăng ký học thử cho con và được tư vấn miễn phí. Đăng ký ngay!

Tổng đài hỗ trợ đăng ký khóa học: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng....miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

Nhóm học tập facebook miễn phí cho teen 2k6: fb.com/groups/hoctap2k6/

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:

Loạt bài Chuyên đề: Lý thuyết - Bài tập Toán lớp 9 Đại số và Hình học có đáp án có đầy đủ Lý thuyết và các dạng bài được biên soạn bám sát nội dung chương trình sgk Đại số 9 và Hình học 9.

Nếu thấy hay, hãy động viên và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.


Nhóm học tập 2k7