Xác định hệ số a khi biết đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(x₀; y₀) lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xác định hệ số a khi biết đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(x₀; y₀) lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xác định hệ số a khi biết đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(x₀; y₀).

Xác định hệ số a khi biết đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(x₀; y₀) lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm M(x₀; y₀) nên ta có:

$y_0=a{x}_0^2$

$a=\frac{y_0}{x_0^2}.$

? Chú ý: Điểm M(x₀; y₀) khác gốc tọa độ.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho hàm số y = (m + 2)x². Tìm m để đồ thị hàm số trên đi qua điểm A(–1; 3).

Hướng dẫn giải

Để đồ thị hàm số y = (m + 2)x² đi qua điểm A(–1; 3) thì x = –1, y = 3 thỏa mãn hàm số y = (m + 2)x².

Thay x = –1, y = 3 vào hàm số y = (m + 2)x², ta được:

3 = (m + 2).(–1)²

3 = m + 2

m = 1.

Vậy với m = 1 thì đồ thị hàm số y = (m + 2)x² đi qua điểm A(–1; 3).

Ví dụ 2. Hàm số y = mx² (m ≠ 0) có đồ thị là parabol (P). Tìm giá trị của m, biết rằng parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = x – 3 tại điểm có hoành độ bằng 5.

Hướng dẫn giải

Thay x = 5 vào hàm số y = x – 3, ta được: y = 5 – 3 = 2.

Như vậy, parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = x – 3 tại điểm có tọa độ (5; 2).

Thay x = 5 và y = 2 vào hàm số y = mx², ta được:

2 = m.5²

2 = m.25

$m=\frac{2}{25}$ (thỏa mãn m ≠ 0).

Vậy $m=\frac{2}{25}$

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Đồ thị của hàm số nào sau đây đi qua điểm A(–3; 12)?

A. $y=\frac{3}{4}{x}^2.$                 

B. $y=\frac{4}{3}{x}^2.$                 

C. y = 4x².                     

D. y = 3x².

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Gọi hàm số của đồ thị cần tìm có dạng y = ax² (a ≠ 0).

Vì đồ thị của hàm số nào sau đây đi qua điểm A(–3; 12) nên ta có:

12 = a.(–3)²

12 = a.9

$a=\frac{4}{3}$ (thỏa mãn).

Khi đó, ta có hàm số $y=\frac{4}{3}{x}^2.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 2. Giá trị m > 0 để đồ thị hàm số y = (m² – 2)x² đi qua điểm A(1; 2) là

A. m = 1.                       

B. m = 2.                        

C. m = 3.                        

D. m = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Vì đồ thị hàm số y = (m² – 2)x² đi qua điểm A(1; 2) nên ta có:

2 = (m² – 2).1²

2 = m² – 2

m² = 4

m = 2 (thỏa mãn m > 0) hoặc m = –2 (không thỏa mãn m > 0).

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 3) thuộc đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0). Hỏi điểm nào dưới đây thuộc đồ thị hàm số đã cho?

A. A(2; 12).                   

B. B(–2; –12).                

C. C(–3; 12).                  

D. D(3; 12).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Vì điểm A(1; 3) thuộc đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) nên ta có:

3 = a.1²

3 = a

a = 3 (thỏa mãn).

Khi đó, ta có hàm số y = 3x².

⦁ Thay x = 2 vào hàm số y = 3x², ta được: y = 3.2² = 12. Do đó điểm A(2; 12) thuộc đồ thị hàm số y = 3x².

⦁ Thay x = –2 vào hàm số y = 3x², ta được: y = 3.(–2)² = 12 ≠ –12. Do đó điểm B(–2; –12) không thuộc đồ thị hàm số y = 3x².

⦁ Thay x = –3 vào hàm số y = 3x², ta được: y = 3.(–3)² = 27 ≠ 12. Do đó điểm C(–3; 12) không thuộc đồ thị hàm số y = 3x².

⦁ Thay x = 3 vào hàm số y = 3x², ta được: y = 3.3² = 27 ≠ 12. Do đó điểm D(3; 12) không thuộc đồ thị hàm số y = 3x².

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 4. Giá trị của m để đồ thị hàm số y = (–3m + 1)x² đi qua điểm A(x; y) với (x; y) là nghiệm của hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x-3y=-2\\ x-2y=-3\end{array}\right.$ là

A. $m=\frac{1}{3}.$                     

B. $m=-\frac{1}{3}.$                     

C. m = 3.                        

D. m = –3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Sử dụng máy tính cầm tay, ta giải được hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4x-3y=-2\\ x-2y=-3\end{array}\right.$ có nghiệm là (1; 2). Như vậy ta có tọa độ điểm A là A(1; 2).

Do đồ thị hàm số y = (–3m + 1)x² đi qua điểm A(1; 2) nên ta có:

2 = (–3m + 1).1²

2 = –3m + 1

–3m = 1

$m=-\frac{1}{3}.$

Vậy $m=-\frac{1}{3}$ là giá trị cần tìm.

Bài 5. Cho hàm số y = ax² (a ≠0) có đồ thị như hình vẽ sau:

Hệ số a của hàm số trên là

A. a = –2.                       

B. a = 2.                         

C. $a=-\frac{1}{4}.$                     

D. $a=\frac{1}{4}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Quan sát đồ thị, ta thấy đồ thị hàm số y = ax² (a ≠0) đi qua điểm (2; –1).

Thay x = 2 và y = –1 vào hàm số y = ax² (a ≠0), ta được:

–1 = a.2²

–1 = a.4

$a=-\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = 5x – 4. Giá trị của a để đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm có hoành độ bằng –2 là                         

A. $a=\frac{7}{2}.$                    

B. $a=-\frac{7}{2}.$                 

C. $a=-\frac{1}{98}.$                  

D. $a=\frac{1}{98}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Thay x = –2 vào hàm số y = 5x – 4, ta có: y = 5.(–2) – 4 = –14.

Như vậy, parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 5x – 4 tại điểm có tọa độ (–2; –14).

Do parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm (–2; –14) nên ta có:

–14 = a.(–2)²

–14 = a.4

$a=-\frac{7}{2}.$

Vậy ta chọn phương án B.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $\left(P\right):y=\sqrt{5m+1}\cdot x^2$ và đường thẳng (d): y = 5x + 4. Giá trị của m để đường thẳng (d) cắt (P) tại điểm có tung độ bằng 9 là

A. m = 5.                       

B. m = 5.                        

C. m = 15.                      

D. m = 16.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện: $m>-\frac{1}{5}.$

Thay y = 9 vào hàm số y = 5x + 4, ta được:

9 = 5x + 4, suy ra 5x = 5 nên x = 1.

Như vậy, parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 5x + 4 tại điểm có tọa độ (1; 9).

Do parabol $\left(P\right):y=\sqrt{5m+1}\cdot x^2$ đi qua điểm (1; 9) nên ta có:

$9=\sqrt{5m+1}\cdot 1^2$

$9=\sqrt{5m+1}$

5m + 1 = 81

5m = 80

m = 16 (thỏa mãn).

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 8. Hàm số y = (m² + 3m – 3)x² (với m² + 3m – 3 ≠ 0). Tổng các giá trị của m biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(1; 1) là

A. 1.

B. –1.                             

C. –3.                             

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Đồ thị hàm số y = (m² + 3m – 3)x² đi qua điểm A(1; 1) nên ta có:

1 = (m² + 3m – 3).1²

1 = m² + 3m – 3  (thỏa mãn m² + 3m – 3 ≠ 0)

m² + 3m – 4 = 0           

m² – m + 4m – 4 = 0

m(m – 1) + 4(m – 1) = 0

(m – 1)(m + 4) = 0

m – 1 = 0 hoặc m + 4 = 0

m = 1 hoặc m = –4.

Khi đó, tổng các giá trị của m là: 1 + (–4) = –3.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm (–2; –4). Tổng bình phương hoành độ của các điểm trên parabol (P) (khác gốc tọa độ) cách đều hai trục tọa độ là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Do parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) đi qua điểm (–2; –4) nên ta có:

–4 = a.(–2)²

–4 = a.4

a = –1 (thỏa mãn).

Khi đó, ta có hàm số (P): y = –x².

Gọi A(x₀; y₀) là điểm thuộc (P): y = –x² mà cách đều hai trục tọa độ.

Ta có: $y_0=-x_0^2$ và d(A; Ox) = |y₀|; d(A; Oy) = |x₀|.

Do đó: |y₀| = |x₀|

Hay $\left|-x_0^2\right|=\left|x_0\right|$

$\left|x_0^2\right|-\left|x_0\right|=0$

|x₀|(|x₀| – 1) = 0

|x₀| = 0 hoặc |x₀| – 1 = 0

x₀ = 0 hoặc |x₀| = 1

x₀ = 0 (loại) hoặc x₀ = 1 hoặc x₀ = –1.

Như vậy, hoành độ các điểm cần tìm là x = 1 và x = –1.

Tổng bình phương các hoành độ đó là: 1² + (–1)² = 1 + 1 = 2.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol $\left(P\right):y=\left(\sqrt{3m+4}-\frac{7}{4}\right)x^2$ và đường thẳng (d): y = 3x – 5. Biết đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại một điểm có tung độ bằng 1. Hoành độ giao điểm còn lại của đường thẳng (d) và parabol (P) là

A. 2.

B. –10.                           

C. 8.

D. 10.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Điều kiện $m\ge -\frac{4}{3}$ và $m\ne -\frac{5}{16}.$

Thay y = 1 vào hàm số y = 3x – 5, ta được: y = 3.1 – 5 = –2.

Như vậy, parabol (P) cắt đường thẳng (d): y = 3x – 5 tại điểm có tọa độ (2; 1).

Thay x = 2, y = 1 vào hàm số $y=\left(\sqrt{3m+4}-\frac{7}{4}\right)x^2,$ ta được:

$1=\left(\sqrt{3m+4}-\frac{7}{4}\right)\cdot 2^2$

$1=\left(\sqrt{3m+4}-\frac{7}{4}\right)\cdot 4$

$\sqrt{3m+4}-\frac{7}{4}=\frac{1}{4}$

$\sqrt{3m+4}=2$

3m + 4 = 4

3m = 0

m = 0 (thỏa mãn).

Khi đó, ta có $\left(P\right):y=\frac{1}{4}{x}^2.$

Gọi (x₀; y₀) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d) và parabol (P).

Khi đó ta có y₀ = 3x₀ – 5 và $y_0=\frac{1}{4}{x}_0^2.$

Suy ra $\frac{1}{4}{x}_0^2=3x_0-5$ hay $x_0^2-12x_0+20=0$

Giải phương trình:

$x_0^2-12x_0+20=0$

$x_0^2-2x_0-10x_0+20=0$

x₀(x₀ – 2) – 10(x₀ – 2) = 0

(x₀ – 2)(x₀ – 10) = 0

x₀ – 2 = 0 hoặc x₀ – 10 = 0

x₀ = 2 hoặc x₀ = 10.

Vậy hoành độ giao điểm còn lại của đường thẳng (d) và parabol (P) là 10.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng thực tế của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)
• Nhận biết phương trình bậc hai một ẩn và xác định các hệ số của nó
• Giải phương trình bậc hai một ẩn có dạng đặc biệt (khuyết số hạng bậc nhất hoặc khuyết số hạng tự do)
• Xác định số nghiệm của phương trình bậc hai và bài toán tìm tham số để phương trình bậc hai chứa tham số thỏa mãn yêu cầu về số nghiệm
• Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---