Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) .

Dùng công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) bằng cách dùng công thức nghiệm, ta có thể làm như sau:

Bước 1. Tính biệt thức ∆ = b² – 4ac.

Bước 2. Xét dấu của ∆ để tìm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn đã cho nếu có:

        ⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

        ⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b}{2a}.$

        ⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

? Chú ý: Để giải phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), với b = 2b' và ∆' = b'² – ac, ta có thể dùng công thức nghiệm thu gọn:

        ⦁ Nếu ∆' > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-b^{\text{'}}-\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a};x_2=\frac{-b^{\text{'}}+\sqrt{{\Delta }^{\text{'}}}}{a}.$

        ⦁ Nếu ∆' = 0 thì phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-b^{\text{'}}}{a}.$

        ⦁ Nếu ∆' < 0 thì phương trình vô nghiệm.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

a) 2x² – 7x + 3 = 0.

b) 6x² + x + 5 = 0.

c) x² – 8x + 16 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 2x² – 7x + 3 = 0 có các hệ số a = 2, b = –7, c = 3.

Ta có ∆ = (–7)² – 4.2.3 = 25 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-\left(-7\right)-5}{2\cdot 2}=\frac{1}{2};x_2=\frac{-\left(-7\right)+5}{2\cdot 2}=3.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $\frac{1}{2};3.$

b) Phương trình 6x² + x + 5 = 0 có các hệ số a = 6, b = 1, c = 5.

Ta có ∆ = 1² – 4.6.5 = –119 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình x² – 8x + 16 = 0 có các hệ số a = 1, b = –8, c = 16.

Ta có ∆ = (–8)² – 4.1.16 = 0 nên phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-\left(-8\right)}{2\cdot 1}=4.$

Vậy phương trình có nghiệm kép là 4.

Ví dụ 2. Dùng công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

a) 4x² – 2x – 6 = 0.

b) –x² – 10x – 25 = 0.

c) x² – 4x + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình 4x² – 2x – 6 = 0 có các hệ số a = 4, b' = –1, c = –6.

Ta có ∆' = (–1)² – 4.(–6) = 25 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$ nên phương trình có hai nghiệm phân biệt:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-5}{4}=-1;x_2=\frac{-\left(-1\right)+5}{4}=\frac{3}{2}.$

Vậy phương trình có hai nghiệm là $-1;\frac{3}{2}.$

b) Phương trình –x² – 10x – 25 = 0 có các hệ số a = –1, b' = –5, c = –25.

Ta có ∆' = (–5)² – (–1).(–25) = 0 nên phương trình có nghiệm kép: $x_1=x_2=\frac{-\left(-5\right)}{-1}=-5.$

Vậy phương trình có nghiệm kép là –5.

c) Phương trình x² – 4x + 5 = 0 có các hệ số a = 1, b' = –2, c = 5.

Ta có ∆' = (–2)² – 1.5 = –1 < 0 nên phương trình vô nghiệm.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b² – 4ac = 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có vô số nghiệm.

C. Phương trình có nghiệm kép.

D. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b² – 4ac = 0 nên phương trình này có nghiệm kép.

Bài 2. Phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b² – 4ac ≥ 0. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình vô nghiệm.

B. Phương trình có nghiệm.

C. Phương trình có nghiệm kép.

D. Phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b² – 4ac ≥ 0 tức là ∆ > 0 hoặc ∆ = 0 nên phương trình này có hai nghiệm phân biệt hoặc có nghiệm kép.

Như vậy, phương trình đã cho có nghiệm. Ta chọn phương án B.

Bài 3. Cho phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0. Khi đó, phương trình đã cho có nghiệm là

A. $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}.$

B. $x_1=\frac{b-\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

C. $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{a};x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{a}.$

D. $x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Vì phương trình bậc hai một ẩn ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có biệt thức ∆ = b² – 4ac > 0 nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Phương trình 3x² – 7x + 2 = 0 có nghiệm là

A. x = 1; x = $\frac{2}{3}.$

B. x = 2; x = $\frac{1}{3}.$

C. x = –1; x = $-\frac{2}{3}.$

D. x = –2; x = $\frac{2}{3}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình đã cho có ∆ = (–7)² – 4.3.2 = 25 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5.$

Do đó phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-7\right)-5}{2\cdot 3}=\frac{1}{3};x_2=\frac{-\left(-7\right)+5}{2\cdot 3}=2.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là x = 2; x = $\frac{1}{3}.$

Ta chọn phương án B.

Bài 5. Phương trình –4x² + 12x – 9 = 0 có nghiệm là

A. x = 0.

B. $x=-\frac{3}{2}.$

C. $x=\frac{3}{2}.$

D. $x=-\frac{3}{2};x=\frac{3}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Phương trình đã cho có ∆' = 6² – (–4).(–9) = 0 nên phương trình đã cho có nghiệm kép là $x=\frac{-6}{-4}=\frac{3}{2}.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 6. Cho hai phương trình: x² – 3x + 5 = 0 (1) và 2x² + 5x + 2 = 0 (2) cùng với các khẳng định sau:

(A) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt.

(B) Phương trình (2) có nghiệm.

(C) Phương trình (2) có một nghiệm là số nguyên và một nghiệm là số hữu tỉ.

Trong các khẳng định (A), (B) và (C) thì

A. Cả (A), (B) và (C) đều sai.

B. Chỉ có (B) đúng.

C. Chỉ có (C) đúng.

D. Có 2 khẳng định là đúng.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Xét phương trình x² – 3x + 5 = 0 (1) có ∆ = (–3)² – 4.1.5 = –11 < 0 nên phương trình (1) vô nghiệm. Do đó khẳng định (A) là sai.

Xét phương trình 2x² + 5x + 2 = 0 (2) có ∆ = 5² – 4.2.2 = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Do đó phương trình (2) có hai nghiệm phân biệt (phương trình có nghiệm) là:

$x_1=\frac{-5-3}{2\cdot 2}=-2\in \mathbb{Z};$$x_2=\frac{-5+3}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2}\in \mathbb{Q}.$

Như vậy, khẳng định (B) và (C) đều đúng.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 7. Cho phương trình x² – (2m + 1) + m = 0 với m là tham số. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có nghiệm duy nhất với mọi m.

B. Phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

C. Phương trình vô nghiệm khi $m<\frac{1}{2}.$

D. Phương trình có nghiệm kép khi $m=\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Phương trình x² – (2m + 1) + m = 0 có:

∆ = [–(2m + 1)]² – 4.1.m = 4m² + 1.

Với mọi m ta có 4m² ≥ 0 nên 4m² + 1 > 0 hay ∆ > 0.

Do đó phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. Tức là phương trình luôn có nghiệm với mọi m.

Bài 8. Phương trình 0,5x(x + 2) = (x – 1)² có nghiệm là

A. $x=3+\sqrt{7};x=3-\sqrt{7}.$

B. $x=-3+\sqrt{7};x=-3-\sqrt{7}.$

C. $x=3+\sqrt{7};x=-3-\sqrt{7}.$

D. $x=-3+\sqrt{7};x=3-\sqrt{7}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Giải phương trình:

0,5x(x + 2) = (x – 1)²

0,5x² + x = x² – 2x + 1

0,5x² – 3x + 1 = 0.

Phương trình trên có ∆ = (–3)² – 4.0,5.1 = 7 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-3\right)+\sqrt{7}}{2\cdot 0,5}=3+\sqrt{7};$$\hspace{0.17em}{x}_2=\frac{-\left(-3\right)-\sqrt{7}}{2\cdot 0,5}=3-\sqrt{7}.$

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là $x=3+\sqrt{7};x=3-\sqrt{7}.$

Bài 9. Phương trình $\frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$ có bao nhiêu nghiệm?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ –1, x ≠ –2.

$\frac{4}{x+1}=\frac{-x^2-x+2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

$\frac{4\left(x+2\right)}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}=\frac{-x^2-x+2}{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}$

4(x + 2) = –x² – x + 2

4x + 8 = –x² – x + 2

x² + 5x + 6 = 0.

Phương trình trên có ∆ = 5² – 4.1.6 = 1 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{1}=1.$

Do đó phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+1}{2\cdot 1}=-2$ (loại); $x_2=\frac{-5-1}{2\cdot 1}=-3$(thỏa mãn).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm là x = –3.

Bài 10. Phương trình $\frac{x+1}{x-1}+\frac{x-2}{x+2}+\frac{x-3}{x+3}+\frac{x+4}{x-4}=4$ có bao nhiêu nghiệm dương?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Điều kiện xác định: x ≠ 1, x ≠ –2, x ≠ –3, x ≠ 4.

(5x – 8)(x + 2)(x + 3) – (5x + 12)(x – 1)(x – 4) = 0

(5x² + 10x – 8x – 16)(x + 3) – (5x² – 5x + 12x – 12)(x – 4) = 0

(5x² + 2x – 16)(x + 3) – (5x² + 7x – 12)(x – 4) = 0

(5x³ + 15x² + 2x² + 6x – 16x – 48) – (5x³ – 20x² + 7x² – 28x – 12x + 48) = 0

5x³ + 15x² + 2x² + 6x – 16x – 48 – 5x³ + 20x² – 7x² + 28x + 12x – 48 = 0

30x² + 30x – 96 = 0.

5x² + 5x – 16 = 0

Phương trình này có ∆ = 5² – 4.5.(–16) = 345 > 0 nên phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-5+\sqrt{345}}{2\cdot 5}=\frac{-5+\sqrt{345}}{10}>0$ (thỏa mãn điều kiện xác định);

$x_2=\frac{-5-\sqrt{345}}{2\cdot 5}=\frac{-5-\sqrt{345}}{10}<0$ (thỏa mãn điều kiện xác định).

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm dương là $x=\frac{-5+\sqrt{345}}{10}.$

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c
• Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số
• Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình
• Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète
• Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---