Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số.

Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c.

Bước 1. Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = ax² và y = bx + c.

              Suy ra ax² = bx + c hay ax² – bx – c = 0 (*)

Bước 2. Tính biệt thức ∆ của phương trình (*) theo tham số.

Bước 3. Tìm điều kiện của tham số thỏa mãn yêu cầu bài toán:

⦁ Để (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆ > 0.

⦁ Để (d) tiếp xúc (P) tại điểm M thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆  = 0.

⦁ Để (d) không cắt (P) thì phương trình (*) phải vô nghiệm, tức là ∆ < 0.

⦁ Để (d) có điểm chung với (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là ∆ ≥ 0.

? Chú ý: Ta có thể dùng biệt thức ∆' nếu có b = 2b' và xét dấu của ∆' tương tự như trên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị là parabol (P) và hàm số y = x – 1 có đồ thị là đường thẳng (d). Tìm a để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P).

Hướng dẫn giải

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = ax² và y = x – 1.

Suy ra ax² = x – 1 hay ax² – x + 1 = 0 (*)

Phương trình (*) có ∆ = (–1)² – 4.a.1 = 1 – 4a.

Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay 1 – 4a = 0, nên $a=\frac{1}{4}$ (thỏa mãn điều kiện).

Vậy $a=\frac{1}{4}.$

Ví dụ 2. Cho parabol (P) là đồ thị hàm số $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng (d) là đồ thị hàm số y = mx + m – 1 (với m là tham số). Chứng minh đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

Hướng dẫn giải

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

$y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và y = mx + m – 1.

Suy ra $-\frac{1}{2}{x}^2=mx+m–1$ hay x² + 2mx + 2m – 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆' = m² – 1.(2m – 2) = m² – 2m + 2 = m² – 2m + 1 + 1 = (m – 1)² + 1.

Với mọi m ta luôn có (m – 1)² ≥ 0, nên (m – 1)² + 1 ≥ 1 > 0 hay ∆' > 0.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Như vậy, đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d): y = mx + m – 1 luôn cắt parabol (P): $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của tham số m.

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = 3x + m² + 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. (d) và (P) không có điểm chung với mọi m.

B. (d) tiếp xúc với (P) với mọi m.

C. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

D. Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = 3x + m² + 1.

Suy ra x² = 3x + m² + 1 hay x² – 3x – m² – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–3)² – 4.1.(–m² – 1) = 9 + 4m² + 4 = 4m² + 13.

Với mọi m ta luôn có m² ≥ 0, nên 4m² + 13 ≥ 13 > 0 hay ∆ > 0.

Do đó phương trình (*) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

Vậy đường thẳng (d) luôn cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt với mọi m.

Bài 2. Với giá trị nào của m thì đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x² có điểm chung?

A. m < 0.

B. m > 0.

C. m ≤ 0.

D. m ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 4x² và y = –m

Suy ra 4x² = –m. (*)

Để đường thẳng (d): y = –m và (P): y = 4x² có điểm chung thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là –m ≥ 0, hay m ≤ 0.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 3. Với giá trị nào của tham số m thì đường thẳng (d): y = mx – m + 2 tiếp xúc với parabol (P): y = 2x²?

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = –2.

D. m = 4.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 2x² và y = mx – m + 2

Suy ra 2x² = mx – m + 2 hay 2x² – mx + m – 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆ = (–m)² – 4.2.(m – 2) = m² – 8m + 16 = (m – 4)².

Để đường thẳng (d) tiếp xúc parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay (m – 4)² > 0, suy ra m – 4 = 0 nên m = 4.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 4. Điều kiện của tham số m và n để parabol (P): y = x² không có điểm chung với đường thẳng là (d): y = mx + n là

A. m² + 4n < 0.

B. m² + 4n ≥ 0.

C. m² + 2n < 0.

D. m² + 2n ≥ 0.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = mx + n

Suy ra x² = mx + n hay x² – mx – n = 0. (*)

Phương trình (*) có:

∆ = (–m)² – 4.1.(–n) = m² + 4n.

Để đường thẳng (d) và parabol (P) không có điểm chung thì phương trình (*) không có nghiệm, tức là ∆ < 0, hay m² + 4n < 0.

Vậy ta chọn phương án A.

Bài 5. Với giá trị nào của m thì parabol y = mx² (m ≠ 0) cắt đường thẳng là (d): y = 2x – 2 tại hai điểm phân biệt?

A. $m<\frac{1}{2}.$

B. $m\le \frac{1}{2}.$

C. $m<\frac{1}{2};m\ne 0.$

D. $m>\frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = mx² và y = 2x – 2

Suy ra mx² = 2x – 2 hay mx² – 2x + 2 = 0. (*)

Phương trình (*) có: ∆' = (–1)² – m.2 = 1 – 2m.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, tức là ∆' > 0, hay 1 – 2m > 0, nên $m<\frac{1}{2}.$

Kết hợp điều kiện m ≠ 0, ta được: $m<\frac{1}{2};m\ne 0.$

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 6. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, biết điểm có hoành độ bằng 1 là một điểm chung của parabol (P): y = 2x² và đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2, với m là tham số. Khi đó giá trị của m là

A. m = 1.

B. m = 2.

C. m = 3.

D. m = 5.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Thay x = 1 vào hàm số y = 2x², ta được: y = 2.1² = 2.

Như vậy, đường thẳng (d): y = (m – 1)x – 2 cắt (P): y = 2x² tại một điểm có tọa độ là (1; 2).

Thay x = 1, y = 2 vào hàm số y = (m – 1)x – 2, ta được:

2 = (m – 1).1 – 2

2 = m – 1 – 2

2 = m – 3

m = 5.

Vậy ta chọn phương án D.

Bài 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = –3x² và đường thẳng y = (m + 1)x + 1. Số giá trị của m để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) là

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = –3x² và y = (m + 1)x + 1.

Suy ra –3x² = (m + 1)x + 1 hay 3x² + (m + 1)x + 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = [(m + 1)]² – 4.3.1 = m² + 2m + 1 – 12 = m² + 2m – 11.

Để (d) tiếp xúc với (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm kép, tức là ∆ = 0, hay m² + 2m – 11 = 0.

Xét phương trình trên có ∆_m' = 1² – 1.(–11) = 12 > 0 nên phương trình có hai nghiệm m phân biệt.

Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn yêu đều đề bài.

Bài 8. Cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = mx + 2m – 1. Với giá trị nào của tham số m thì (d) cắt (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung?

A. $m<\frac{1}{2}.$

B. $m\le \frac{1}{2}.$

C. $m>\frac{1}{2}.$

D. $m\ge \frac{1}{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

– Ta chứng minh phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

+ Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0.

Xét ∆ = b² – 4ac.

Do ac < 0 nên – 4ac > 0

Lại có b² ≥ 0 nên ∆ > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Ta có: 

$x_1\cdot x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$$=\frac{\left(-b-\sqrt{\Delta }\right)\left(-b+\sqrt{\Delta }\right)}{2a\cdot 2a}$

$=\frac{{\left(-b\right)}^2-{\left(\sqrt{\Delta }\right)}^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}$

$=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$

Vì ac < 0 nên hai số a và c trái dấu nhau, do đó $\frac{c}{a}<0.$

Suy ra tích hai nghiệm của phương trình đã cho trái dấu nhau.

Như vậy, nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có ac < 0 thì phương trình này có hai nghiệm trái dấu.

+ Xét phương trình bậc hai ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu.

Để phương trình có hai nghiệm phân biệt thì ∆ = b² – 4ac > 0.

Khi đó, phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a};x_2=\frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}.$

Ta có: 

$x_1\cdot x_2=\frac{-b-\sqrt{\Delta }}{2a}\cdot \frac{-b+\sqrt{\Delta }}{2a}$$=\frac{\left(-b-\sqrt{\Delta }\right)\left(-b+\sqrt{\Delta }\right)}{2a\cdot 2a}$

$=\frac{{\left(-b\right)}^2-{\left(\sqrt{\Delta }\right)}^2}{4a^2}=\frac{b^2-\Delta }{4a^2}$

$=\frac{b^2-\left(b^2-4ac\right)}{4a^2}=\frac{4ac}{4a^2}=\frac{c}{a}.$

Vì hai nghiệm x₁, x₂ trái dấu nên $\frac{c}{a}<0,$ suy ra hai số a và c trái dấu nhau, do đó ac < 0.

Như vậy, nếu phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu thì phương trình này có ac < 0.

Vậy, phương trình ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi ac < 0.

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = mx + 2m – 1.

Suy ra x² = mx + 2m – 1 hay x² – mx – 2m + 1 = 0. (*)

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm A, B nằm về hai phía của trục tung, tức hoành độ của hai điểm A, B trái dấu nhau, thì phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu, tức là ac < 0, hay 1.(–2m + 1) < 0, suy ra – 2m < –1, do đó $m>\frac{1}{2}.$

Bài 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): y = x² và đường thẳng (d): y = –m² – 4m + 5. Số giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt là

A. 0.

B. 3.

C. 5.

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = x² và y = –m² – 4m + 5.

Suy ra x² = –m² – 4m + 5. (*)

Để (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt thì phương trình (*) phải có hai nghiệm phân biệt, do đó –m² – 4m + 5 > 0 hay m² + 4m – 5 < 0.

Giải bất phương trình:

m² + 4m – 5 < 0

m² – m + 5m – 5 < 0

m(m – 1) + 5(m – 1) < 0

(m – 1)(m + 5) < 0.

Từ bất phương trình trên ta suy ra được m – 1 và m + 5 là hai số trái dấu nhau.

Mà với mọi m ta luôn có m – 1 < m + 5.

Do đó m – 1 là số âm và m + 5 là số dương.

Tức là m – 1 < 0 và m + 5 > 0

Suy ra m < 1 và m > –5

Hay –5 < m < 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–4; –3; –2; –1; 0}.

Vậy có 5 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Bài 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho parabol (P): $y=-\frac{1}{2}{x}^2$ và đường thẳng (d): $y=mx+m^2-\frac{1}{2}.$  Có bao nhiêu giá trị nguyên của m để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P)?

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

$y=-\frac{1}{2}{x}^2$và $y=mx+m^2-\frac{1}{2}.$

Suy ra $-\frac{1}{2}{x}^2=mx+m^2-\frac{1}{2}$ hay x² + 2mx + 2m² – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆' = m² – 1.(2m² – 1) = m² – 2m² + 1 = 1 – m².

Để đường thẳng (d) có điểm chung với parabol (P) thì phương trình (*) phải có nghiệm, tức là ∆' ≥ 0, hay 1 – m² ≥ 0 nên m² – 1 ≤ 0.

Giải bất phương trình:

m² – 1 ≤ 0

(m – 1)(m + 1) ≤ 0

Suy ra m – 1 ≤ 0 và m + 1 ≥ 0 (do m – 1 < m + 1)

Do đó m ≤ 1 và m ≥ –1

Hay –1 ≤ m ≤ 1.

Theo bài, m có giá trị nguyên nên m ∈ {–1; 0; 1}.

Vậy có 3 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình
• Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète
• Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó
• Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử
• Xác định tham số để phương trình bậc hai thỏa mãn điều kiện về dấu của các nghiệm

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---