Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c lớp 9 (cách giải + bài tập)

Chuyên đề phương pháp giải bài tập Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c lớp 9 chương trình sách mới hay, chi tiết với bài tập tự luyện đa dạng giúp học sinh ôn tập, biết cách làm bài tập Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c .

Xét sự tương giao của đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0) với đồ thị hàm số bậc nhất y = bx + c lớp 9 (cách giải + bài tập)

1. Phương pháp giải

Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c.

Bước 1. Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = ax² (1) và y = bx + c (2)

              Suy ra ax² = bx + c hay ax² – bx – c = 0 (*)

Bước 2. Tính biệt thức ∆ của phương trình (*).

Bước 3. Xác định số nghiệm của phương trình (*), từ đó kết luận sự tương giao của hai đồ thị hàm số.

⦁ Nếu ∆ > 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt hay (d) cắt (P) tại hai điểm A, B phân biệt.

Giải phương trình (*) có x_A, x_B thay vào (1) hoặc (2) ta tính được y_A, y_B.

⦁ Nếu ∆ = 0 thì phương trình (*) có nghiệm kép hay (d) tiếp xúc (P) tại điểm M.

Giải phương trình (*) có x_M, thay vào (1) hoặc (2) ta tính được y_M.

⦁ Nếu ∆ < 0 thì phương trình (*) vô nghiệm hay (d) không cắt (P).

? Chú ý: Ta có thể dùng biệt thức ∆' nếu có b = 2b' và xét dấu của ∆' tương tự như trên.

2. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hàm số $y=\frac{1}{4}{x}^2$ có đồ thị (P) và đường thẳng $\left(d\right):y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.$ Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Hướng dẫn giải

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

$y=\frac{1}{4}{x}^2$ (1) và $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}.$

Suy ra $\frac{1}{4}{x}^2=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}$ hay x² – 2x + 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆' = (–1)² – 1.1 = 0.

Do đó phương trình (*) có nghiệm kép là: $x_1=x_2=\frac{-\left(-1\right)}{1}=1.$

Với x = 1, thay vào (1), ta được: $y=\frac{1}{4}\cdot 1^2=\frac{1}{4}.$

Vậy đường thẳng (d) tiếp xúc với đồ thị (P) tại điểm có tọa độ là $\left(1;\frac{1}{4}\right).$

Ví dụ 2. Cho parabol (P): y = 2x² và đường thẳng (d): y = x + 1.

a) Vẽ parabol (P) và đường thẳng (d) trên cùng một hệ trục tọa độ Oxy.

b) Tìm tọa độ giao điểm của (P) và (d) bằng phép tính.

Hướng dẫn giải

a) ⦁ Vẽ đồ thị hàm số y = 2x².

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

x	–2	–1	0	1	2
y = 2x2	8	2	0	2	8

Biểu diễn các điểm (–2; 8), (–1; 2), (0; 0), (1; 2), (2; 8) trên mặt phẳng tọa độ Oxy rồi lần lượt nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số y = 2x² (hình vẽ).

⦁ Vẽ đồ thị hàm số y = x + 1.

Lập bảng một số giá trị tương ứng giữa x và y:

x	–1	0
y = x + 1	0	1

Biểu diễn các điểm (–1; 0), (0; 1) trên mặt phẳng tọa độ Oxy rồi nối chúng lại ta được đồ thị của hàm số y = x + 1 (hình vẽ).

b) Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của (d) và (P), khi đó ta có:

y = 2x² (1) và y = x + 1.

Suy ra 2x² = x + 1 hay 2x² – x – 1 = 0. (*)

Phương trình (*) có ∆ = (–1)² – 4.2.(–1) = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 2}=-\frac{1}{2};x_2=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 2}=1.$

Với $x_1=-\frac{1}{2},$ thay vào (1), ta được: $y_1=2\cdot {\left(-\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{1}{2}.$

Với x₂ = 1, thay vào (1), ta được: y₂ = 2.1² = 2.

Vậy đường thẳng (d) cắt đồ thị (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};\frac{1}{2}\right);$ (1; 2).

3. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c. Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì

A. Phương trình ax² + bx + c = 0 có nghiệm kép.

B. Phương trình ax² + bx + c = 0 có ∆ ≥ 0.

C. Phương trình ax² – bx – c = 0 có nghiệm kép.

D. Phương trình ax² – bx – c = 0 có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Để đường thẳng (d) tiếp xúc với parabol (P) thì phương trình ax² = bx + c hay ax² – bx – c = 0 có nghiệm kép.

Bài 2. Cho parabol (P): y = ax² (a ≠ 0) và đường thẳng (d): y = bx + c. Nếu phương trình ax² – bx – c = 0 có nghiệm kép thì

A. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

B. (d) và (P) không có điểm chung.

C. (d) tiếp xúc với (P).

D. Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Nếu phương trình ax² – bx – c = 0 có nghiệm kép thì (d) tiếp xúc với (P).

Bài 3. Cho parabol (P): y = 3x² và đường thẳng (d): y = x + 3. Số điểm chung của đường thẳng (d) và parabol (P) là:

A. 0.

B. 1.

C. 2.

D. Vô số.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x + 3 và parabol (P): y = 3x², khi đó ta có:

y = 3x²  và y = x + 3.

Suy ra 3x² = x + 3 hay 3x² – x – 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)² – 4.3.(–3) = 37 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt, tức hai đồ thị hàm số này có hai điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 4. Tọa độ giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và parabol y = –x² là

A. (1; –1) và (2; –4).

B. (1; 1) và (–2; 4).

C. (–1; –1) và (2; –4).

D. (1; –1) và (–2; –4).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x², khi đó ta có:

y = –x² (1) và y = x – 2.

Suy ra –x² = x – 2 hay x² + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=-2;x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 1}=1.$

Với x₁ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)² = –4.

Với x₂ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1² = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Ta chọn phương án D.

Bài 5. Đường thẳng nào sau đây không có điểm chung với parabol y = x²?

A. y = 2x + 1.

B. y = 2x.

C. y = 2x – 3.

D. y = 2x + 3.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x + 1 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = 2x + 1.

Suy ra x² = 2x + 1 hay x² – 2x – 1 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)² – 1.(–1) = 2 > 0.

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Tương tự như trên, ta có các đường thẳng y = 2x và y = 2x + 3 cũng cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = 2x – 3 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = 2x – 3.

Suy ra x² = 2x – 3 hay x² – 2x + 3 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = (–1)² – 1.3 = –2 < 0.

Do đó phương trình (*) vô nghiệm nên đường thẳng (d) không cắt parabol (P): y = x², tức là hai đồ thị hàm số này không có điểm chung.

Vậy ta chọn phương án C.

Bài 6. Cho parabol (P): $y=-\frac{1}{4}{x}^2$ và đường thẳng (d): y = k (với k < 0). Kết luận nào sau đây là đúng?

A. (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt.

B. (d) và (P) không có điểm chung.

C. (d) tiếp xúc với (P).

D. Không xác định được vị trí tương đối của (d) và (P).

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: A

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng (d): y = k và parabol (P): $y=-\frac{1}{4}{x}^2,$ khi đó ta có:

$y=-\frac{1}{4}{x}^2,$ và y = k.

Suy ra $-\frac{1}{4}{x}^2=k$ hay x² = –4k (*).

Với k < 0 ta có –4k > 0 nên phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt.

Như vậy, đường thẳng (d): y = k cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt.

Ta chọn phương án A.

Bài 7. Cho hàm số y = x² có đồ thị là (P). Đường thẳng đi qua hai điểm thuộc (P) có hoành độ bằng –1 và 2 là

A. y = –x + 2.

B. y = x + 2.

C. y = –x – 2.

D. y = x – 2.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: B

Cách 1. ⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = –x + 2 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = –x + 2.

Suy ra x² = –x + 2 hay x² + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=-2;x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 1}=1.$

Như vậy, đường thẳng y = –x + 2 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –2 và 1. Do đó phương án A không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Giải tương tự, ta có hai đường thẳng y = –x – 2 và y = x – 2 đều không cắt parabol (P): y = x² nên không thỏa mãn yêu cầu đề bài.

⦁ Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm (nếu có) của đường thẳng y = x + 2 và parabol (P): y = x², khi đó ta có:

y = x² và y = x + 2.

Suy ra x² = x + 2 hay x² – x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = (–1)² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-\left(-1\right)-3}{2\cdot 1}=-1;x_2=\frac{-\left(-1\right)+3}{2\cdot 1}=2.$

Như vậy, đường thẳng y = x + 2 cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm có hoành độ lần lượt là –1 và 2. Do đó phương án B thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Vậy ta chọn phương án B.

Cách 2. Thay x = –1 vào hàm số y = x², ta được: y = (–1)² = 1.

Thay x = 2 vào hàm số y = x², ta được: y = 2² = 4.

Do đó, đường thẳng (d) cần tìm cắt parabol (P): y = x² tại hai điểm phân biệt (–1; 1) và (2; 4).

Giả sử đường thẳng (d) cần tìm là đồ thị của hàm số y = ax + b.

Thay x = –1 và y = 1 vào hàm số trên, ta được: 1 = a.(–1) + b hay –a + b = 1.

Thay x = 2 và y = 4 vào hàm số trên, ta được: 4 = a.2 + b hay 2a + b = 4.

Ta có hệ phương trình: $\left\{\begin{array}{l}-a+b=1\\ 2a+b=4\end{array}\right..$

Giải hệ phương trình trên bằng máy tính cầm tay ta được nghiệm là (a; b) = (1; 2).

Vậy đường thẳng (d) cần tìm có hàm số là: y = x + 2. Ta chọn phương án B.

Bài 8. Cho đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với parabol (P): y = –x² tại điểm M. Độ dài đoạn thẳng OM là

A. $\sqrt{10}.$

B. $2\sqrt{10}.$

C. $3\sqrt{10}.$

D. $4\sqrt{10}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ $AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}$$=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng y = 6x + 9 và parabol (P): y = –x², khi đó ta có:

y = –x² (1) và y = 6x + 9.

Suy ra –x² = 6x + 9 hay x² + 6x + 9 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆' = 3² – 1.9 = 0.

Do đó phương trình (*) có nghiệm kép là: $x_1=x_2=\frac{-3}{1}=-3.$ 

Thay x = –3 vào hàm số y = –x², ta được: y = –(–3)² = –9.

Như vậy, đường thẳng y = 6x + 9 tiếp xúc với (P): y = –x² tại điểm M(–3; –9).

Vậy độ dài đoạn thẳng OM là:

$OM=\sqrt{{\left(-3-0\right)}^2+{\left(-9-0\right)}^2}$$=\sqrt{90}=3\sqrt{10}.$

Bài 9. Gọi A và B là hai giao điểm của đường thẳng y = x – 2 và parabol y = –x². Độ dài đoạn thẳng AB là

A. $\sqrt{2}.$

B. $2\sqrt{2}.$

C. $3\sqrt{2}.$

D. $4\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ $AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}$$=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = x – 2 và parabol (P): y = –x², khi đó ta có:

y = –x² (1) và y = x – 2.

Suy ra –x² = x – 2 hay x² + x – 2 = 0 (*).

Phương trình (*) có ∆ = 1² – 4.1.(–2) = 9 > 0 và $\sqrt{\Delta }=\sqrt{9}=3.$

Do đó phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt là:

$x_1=\frac{-1-3}{2\cdot 1}=-2;x_2=\frac{-1+3}{2\cdot 1}=1.$

Với x₁ = –2, thay vào (1), ta được: y = –(–2)² = –4.

Với x₂ = 1, thay vào (2), ta được: y = –1² = –1.

Như vậy, đường thẳng (d) cắt (P) tại hai điểm phân biệt có tọa độ là (–2; –4) và (1; –1).

Vậy độ dài đoạn thẳng AB là:

$AB=\sqrt{{\left(-2-1\right)}^2+{\left[-4-\left(-1\right)\right]}^2}$$=\sqrt{18}=3\sqrt{2}.$

Bài 10. Đường thẳng song song với trục hoành, cắt trục tung tại điểm 4 và cắt parabol (P): y = 2x² tại hai điểm A, B. Diện tích tam giác OAB (với O là gốc tọa độ) là

A. $\sqrt{2}.$

B. $2\sqrt{2}.$

C. $4\sqrt{2}.$

D. $8\sqrt{2}.$

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: C

– Giả sử A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B). Ta cần tính khoảng cách giữa hai điểm A và B là độ dài đoạn thẳng AB.

Qua A, B lần lượt kẻ đường thẳng song song với Ox, Oy. Hai đường thẳng này cắt nhau tại H. Khi đó tam giác ABH vuông tại H.

⦁ AH // Ox nên AH = |x_A – x_H| = |x_A – x_B|.

⦁ BH // Oy nên BH = |y_A – y_H| = |y_A – y_B|.

⦁ $AB=\sqrt{A{H}^2+B{H}^2}$$=\sqrt{{\left(x_A-x_B\right)}^2+{\left(y_A-y_B\right)}^2}$ (Áp dụng định lí Pythagore cho ∆ABH vuông tại H).

– Đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm 4 là đồ thị của hàm số y = 4.

Gọi (x; y) là tọa độ giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 và parabol (P): y = 2x², khi đó ta có:

y = 2x² (1) và y = 4.

Suy ra 2x² = 4 hay x² = 2, do đó $x=\sqrt{2}$ hoặc $x=-\sqrt{2}.$

Như vậy, đường thẳng (d): y = 4 cắt parabol (P): y = 2x² tại hai điểm phân biệt có tọa độ là $\left(\sqrt{2};4\right);\left(-\sqrt{2};4\right).$<

Độ dài đoạn thẳng AB là: $AB=\sqrt{{\left(-\sqrt{2}-\sqrt{2}\right)}^2+{\left(4-4\right)}^2}$$=2\sqrt{2}.$

Gọi H là giao điểm của đường thẳng (d): y = 4 với trục Oy tại điểm 4, khi đó H(0; 4).

Suy ra OH = |4| = 4.

Vậy diện tích tam giác OAB là:

$S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OH\cdot AB$$=\frac{1}{2}\cdot 4\cdot 2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$ (đơn vị diện tích).

Xem thêm các dạng bài tập Toán 9 hay, chi tiết khác:

• Ứng dụng công thức nghiệm trong bài toán tìm tham số thỏa mãn sự tương giao của đồ thị hàm số chứa tham số
• Tính tổng, tích và giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm x₁, x₂ của phương trình bậc hai một ẩn mà không giải phương trình
• Tính nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai dựa vào định lí Viète
• Lập phương trình bậc hai khi biết các nghiệm của nó và tìm hai số khi biết tổng, tích của hai số đó
• Ứng dụng định lí Viète trong phân tích đa thức ax² + bx + c thành nhân tử

• Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán,Văn, Anh lớp 9 có đáp án

---